高中数学高考第1部分板块2 核心考点突破拿高分专题6 第2讲基本初等函数、函数的应用(小题)(1)

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这是一份高中数学高考第1部分板块2 核心考点突破拿高分专题6 第2讲基本初等函数、函数的应用(小题)(1)，共19页。试卷主要包含了60，已知定义在R上的函数f满足等内容，欢迎下载使用。

第2讲　基本初等函数、函数的应用(小题)

热点一　基本初等函数的图象与性质
1.指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质，分01两种情况，着重关注两函数图象中异同.
2.幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，，－1五种情况.
例1　(1)(2019·天津市十二重点中学联考)已知a＝，b＝，c＝，则实数a，b，c的大小关系为(　　)
A.c C.a 答案　C
解析　由题得b＝＝2，
因为0.60.3>0.60.4>0.50.4，
∴<，
＝<＝0.4，
所以a (2)已知函数f(x)＝ex＋2(x<0)与g(x)＝ln(x＋a)＋2的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是(　　)
A. B.(－∞，e)
C. D.
答案　B
解析　由题意知，方程f(－x)－g(x)＝0在(0，＋∞)上有解，
即e－x＋2－ln(x＋a)－2＝0在(0，＋∞)上有解，
即函数y＝e－x与y＝ln(x＋a)的图象在(0，＋∞)上有交点.

函数y＝ln(x＋a)可以看作由y＝ln x左右平移得到，
当a＝0时，两函数有交点，
当a<0时，向右平移，两函数总有交点，
当a>0时，向左平移，由图可知，将函数y＝ln x的图象向左平移到过点(0,1)时，两函数的图象在(0，＋∞)上不再有交点，
把(0,1)代入y＝ln(x＋a)，得1＝ln a，即a＝e，∴a 跟踪演练1　(1)(2019·天津市和平区质检)已知log2a>log2b，则下列不等式一定成立的是(　　)
A.> B.ln(a－b)>0
C.2a－b<1 D.a 答案　D
解析　由log2a>log2b可得a>b>0，故a－b>0，逐一考查所给的选项：
A项，<；
B项，a－b>0，ln(a－b)的符号不能确定；
C项，2a－b>1；
D项，a (2)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax和g(x)＝loga(x＋2)(a>0且a≠1)的大致图象可能为(　　)

答案　A
解析　由题意知，当a>0时，函数f(x)＝2－ax为减函数.
若0 且函数g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上为减函数；
若a>1，则函数f(x)＝2－ax的零点x0＝∈(0,2)，
且函数g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上为增函数.
热点二　函数的零点
1.判断函数零点的方法：
(1)解方程法，即解方程f(x)＝0，方程有几个解，函数f(x)有几个零点；
(2)图象法，画出函数f(x)的图象，图象与x轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数；
(3)数形结合法，即把函数等价地转化为两个函数，通过判断两个函数图象的交点个数得出函数的零点个数；
(4)利用零点存在性定理判断.
2.解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.
例2　(1)(2019·石家庄质检)已知函数f(x)＝其中e为自然对数的底数，则函数g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3的零点个数为(　　)
A.4 B.5 C.6 D.3
答案　A
解析　当x≥0时，f(x)＝4x3－6x2＋1的导数为f′(x)＝12x2－12x，
当01时，f(x)单调递增，
可得f(x)在x＝1处取得最小值，最小值为－1，且f(0)＝1，

作出函数f(x)的图象，
g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3，可令g(x)＝0，t＝f(x)，
可得3t2－10t＋3＝0，
解得t＝3或，
当t＝，即f(x)＝时，g(x)有三个零点；
当t＝3时，可得f(x)＝3有一个实根，
综上，g(x)共有四个零点.
(2)已知函数f(x)＝又函数g(x)＝[f(x)]2＋tf(x)＋1(t∈R)有4个不同的零点，则实数t的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　因为f(x)＝
当x<0时，f(x)＝－x，
所以f(x)在(－∞，0)上为单调递减函数，
当x≥0时，f′(x)＝，
令f′(x)＝0，解得x＝1，当0≤x<1时，f′(x)>0，
所以f(x)在[0,1)上为单调递增函数，
当x≥1时，f′(x)<0，
所以f(x)在[1，＋∞)上为单调递减函数，且f(x)>0，
所以当x≥0时，f(x)在x＝1处取得极大值，
g(x)＝[f(x)]2＋tf(x)＋1(t∈R)有四个零点，
令f(x)＝m，则关于m的一元二次方程m2＋tm＋1＝0有两个不等实数根，
且一个在区间上，一个在区间上，
令h(m)＝m2＋tm＋1，
因为h(0)＝1>0，
所以只需h<0即可满足m2＋tm＋1＝0有两个不等实数根，一个在，一个在，
即2＋t＋1<0，解不等式得t<－，
所以t的取值范围为.
跟踪演练2　(1)(2019·凉山州质检)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2,0)时，f(x)＝x－1，则在区间(－2,6)内关于x的方程f(x)－log8(x＋2)＝0解的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　C
解析　对于任意的x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)，
∴f(x＋4)＝f[2＋(x＋2)]＝f[2－(x＋2)]＝f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)是一个周期函数，且T＝4.
又∵当x∈[－2,0)时，f(x)＝x－1，且函数f(x)是定义在R上的偶函数，
且f(6)＝1，则函数y＝f(x)与y＝log8(x＋2)在区间(－2,6)上的图象如图所示，

根据图象可得y＝f(x)与y＝log8(x＋2)在区间(－2,6)上有3个不同的交点.
(2)(2019·吉林调研)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－2x恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围为________.
答案　[－3，－1)∪[3，＋∞)
解析　由题意得g(x)＝
即g(x)＝如图所示，

因为g(x)恰有两个不同的零点，
即g(x)的图象与x轴有两个交点.
若当x≤a时，g(x)＝x2＋4x＋3有两个零点，
则令x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1，
则当x>a时，g(x)＝3－x没有零点，所以a≥3.
若当x≤a时，g(x)＝x2＋4x＋3有一个零点，
则当x>a时，g(x)＝3－x必有一个零点，
即－3≤a<－1，综上a∈[－3，－1)∪[3，＋∞).
热点三　函数建模与信息题
1.构建函数模型解决实际问题的失分点：
(1)不能选择相应变量得到函数模型；
(2)构建的函数模型有误；
(3)忽视函数模型中变量的实际意义.
2.解决新概念信息题的关键：
(1)依据新概念进行分析；
(2)有意识地运用转化思想，将新问题转化为我们所熟知的问题.
例3　(1)将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有升，则m的值为(　　)
A.5 B.6 C.8 D.10
答案　A
解析　根据题意知，因为5 min后甲桶和乙桶的水量相等，所以函数f(x)＝aent满足f(5)＝ae5n＝a，可得n＝ln ，设当k min后甲桶中的水只有升，所以f(k)＝，即ln ·k＝ln ，所以ln ·k＝2ln ，
解得k＝10，k－5＝5，即m＝5，故选A.
(2)(2019·闽粤赣三省十校联考)若函数y＝f(x)的图象上存在两个点A，B关于原点对称，则称点对[A，B]为y＝f(x)的“友情点对”，点对[A，B]与[B，A]可看作同一个“友情点对”，若函数f(x)＝恰好有两个“友情点对”，则实数a的值为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.－2
答案　C
解析　设A(x,2)，其中x<0，
则点A关于原点对称的点B为B(－x，－2)，
因为函数f(x)有两个友情点对，
所以－(－x)3＋6(－x)2－9(－x)＋a＝－2在(－∞，0)上有两个不同解，
即x3＋6x2＋9x＋2＝－a在(－∞，0)上有两个不同解，
即g(x)＝x3＋6x2＋9x＋2与y＝－a在(－∞，0)上有两个不同交点，
g′(x)＝3x2＋12x＋9，
令g′(x)＝0，解得x1＝－3，x2＝－1，
可知g(x)在(－∞，－3)，(－1,0)上单调递增；在(－3，－1)上单调递减，
所以g(x)极小值为g(－1)＝－2；极大值为g(－3)＝2，
且x→0时，g(x)→2，
∴－a＝g(－1)＝－2，∴a＝2.
跟踪演练3　(1)某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元，设该设备使用了n(n∈N*)年后，盈利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本)，则n等于(　　)
A.6 B.7 C.8 D.6或7
答案　B
解析　盈利总额为21n－9－
＝－n2＋n－9，n∈N*，
由于对称轴为n＝，所以当n＝7时，取最大值，故选B.
(2)(2019·安徽省定远重点中学模拟)定义：如果函数f(x)的导函数为f′(x)，在区间[a，b]上存在x1，x2(a A. B.(－∞，＋∞)
C. D.
答案　D
解析　∵函数g(x)＝x3－x2，
∴g′(x)＝x2－mx，
∵函数g(x)＝x3－x2是区间[0,2]上的双中值函数，
∴区间[0,2]上存在x1，x2(0 满足g′(x1)＝g′(x2)＝＝－m，
∴x－mx1＝x－mx2＝－m，
∴关于x的一元二次方程x2－mx＋m－＝0在区间(0,2)上有两个不相等的解，
令f(x)＝x2－mx＋m－，
∴
解得 ∴实数m的取值范围是.

真题体验
1.(2019·全国Ⅰ，理，3)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　)
A.a C.c 答案　B
解析　∵a＝log20.2<0，b＝20.2>1，c＝0.20.3∈(0,1)，∴a 2.(2018·全国Ⅰ，理，9)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A.[－1,0) B.[0，＋∞)
C.[－1，＋∞) D.[1，＋∞)
答案　C
解析　令h(x)＝－x－a，
则g(x)＝f(x)－h(x).
在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示.

若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象可知，当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，
此时1＝－0－a，a＝－1.
当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意；
当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意.
综上，a的取值范围为[－1，＋∞).
3.(2017·江苏，14)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f(x)＝其中集合D＝，则方程f(x)－lg x＝0的解的个数是________.
答案　8
解析　由于f(x)∈[0,1)，则只需考虑1≤x<10的情况，在此范围内，当x∈Q，且x∉Z时，设x＝，p，q∈N*，p≥2且p，q互质.若lg x∈Q，则由lg x∈(0,1)，可设lg x＝，m，n∈N*，m≥2且m，n互质.因此＝，
则10n＝m，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾.因此lg x∉Q，因此lg x不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等，只需考虑lg x与每个周期内x∉D部分的交点，画出函数草图.图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期内x∉D部分，且x＝1处(lg x)′＝＝<1，则在x＝1附近仅有1个交点，因此方程解的个数为8.

押题预测
1.设a＝－log2，b＝log26，c＝log412，则(　　)
A.c>b>a B.b>c>a
C.a>c>b D.a>b>c
答案　B
解析　－log2＝log2 1 ∴b>c>a.
2.设函数f(x)的定义域为R，若存在常数m>0，使|f(x)|≤m|x|对一切实数x均成立，则称f(x)为“倍约束函数”.现给出下列函数：
①f(x)＝0；
②f(x)＝x2；
③f(x)＝；
④f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x1，x2均有|f(x1)－f(x2)|≤2|x1－x2|.
其中是“倍约束函数”的序号是(　　)
A.①②④ B.③④ C.①④ D.①③④
答案　D
解析　对于①，m是任意正数时都有0≤m|x|，f(x)＝0是倍约束函数，故①正确；
对于②，f(x)＝x2，|f(x)|＝|x2|≤m|x|，
即|x|≤m，不存在这样的m对一切实数x均成立，故②错误；
对于③，要使|f(x)|≤m|x|成立，
即≤m|x|，
当x＝0时，m可取任意正数；
当x≠0时，只需m≥max，
因为x2＋x＋1≥，所以m≥，故③正确；
对于④，f(x)是定义在实数集R上的奇函数，
故|f(x)|是偶函数，
因而由|f(x1)－f(x2)|≤2|x1－x2|得到，
|f(x)|≤2|x|成立，存在m≥2>0，
使|f(x)|≤m|x|对一切实数x均成立，符合题意，
故④正确.
3.已知函数f(x)＝a∈R，若方程f(x)－2＝0恰有3个不同的根，则a的取值范围是________.
答案　(－∞，0)∪
解析　当x>0时，f(x)＝，f′(x)＝，
当0 当x>1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
且f(1)＝1，
当x≤0时，f(x)＝ax＋2a＋1的图象恒过点(－2,1)，
当a<0时，f(x)≥f(0)＝2a＋1，
当a≥0时，f(x)≤f(0)＝2a＋1，
作出大致图象如图所示，

方程f(x)－2＝0有3个不同的根，即方程f(x)＝2有3个解.
结合图象可知，当a≥0时，若方程f(x)＝2有三个根，
则2a＋1≥2，即a≥，
而当a<0时，结合图象可知，方程f(x)＝2一定有3个解，
综上所述，方程f(x)－2＝0在a<0或a≥时恰有3个不同的根.

A组　专题通关
1.已知点(2,8)在幂函数f(x)＝xn图象上，设a＝f ，b＝f ，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.b>a>c B.a>b>c
C.c>b>a D.b>c>a
答案　A
解析　因为点(2,8)在幂函数f(x)＝xn图象上，
所以8＝2n，所以n＝3，
即f(x)＝x3，
0<0.3<1，0.2>1，<0，
即<0.3<0.2，
因为f(x)为R上的单调递增函数，
所以c 2.函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点一定位于区间(　　)
A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)
答案　B
解析　函数f(x)＝ln x＋2x－6在其定义域上连续且单调，
f(2)＝ln 2＋2×2－6＝ln 2－2<0，
f(3)＝ln 3＋2×3－6＝ln 3>0，
故函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点在区间(2,3)上.
3.(2019·恩施州质检)设a＝log0.12，b＝log302，则(　　)
A.4ab>2(a＋b)>3ab B.4ab<2(a＋b)<3ab
C.2ab<3(a＋b)<4ab D.2ab>3(a＋b)>4ab
答案　B
解析　因为a＝log0.12<0，b＝log302>0，
所以ab<0，＋＝log20.1＋log230＝log23∈，
所以<＋<2，
所以4ab<2(a＋b)<3ab.
4.国家规定某行业收入税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%；超过280万元的部分按(p＋2)%征税.现有一家公司的实际缴税比例为(p＋0.25)%，则该公司的年收入是(　　)
A.560万元 B.420万元
C.350万元 D.320万元
答案　D
解析　设该公司的年收入为a万元，
则280p%＋(a－280)(p＋2)%＝a(p＋0.25)%，
解得a＝＝320.
5.(2019·济南模拟)若log2x＝log3y＝log5z<－1，则(　　)
A.2x<3y<5z B.5z<3y<2x
C.3y<2x<5z D.5z<2x<3y
答案　B
解析　∵log2x＝log3y＝log5z<－1，
∴设k＝log2x＝log3y＝log5z，则k<－1，
设x＝2k，y＝3k，z＝5k，
则2x＝2k＋1,3y＝3k＋1,5z＝5k＋1，
设函数f(t)＝tk＋1，k＋1<0，
∴f(t)在t∈(0，＋∞)时单调递减，
f(5) 即5k＋1<3k＋1<2k＋1，
因此5z<3y<2x.
6.函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]上的零点个数为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
答案　B
解析　令f(x)＝0，得2sin x－sin 2x＝0，
即2sin x－2sin xcos x＝0，
∴2sin x(1－cos x)＝0，
∴sin x＝0或cos x＝1.
又x∈[0,2π]，
∴由sin x＝0得x＝0，π或2π，
由cos x＝1得x＝0或2π.
故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个.
7.(2019·咸阳模拟)已知a，b，c分别是方程2x＝－x，log2x＝－x，log2x＝的实数解，则(　　)
A.b C.a 答案　B
解析　根据题干要求得到，在同一坐标系中画出函数y＝2x，y＝log2x，y＝－x，y＝四个函数图象，如图所示，

方程的根就是两个图象的交点的横坐标，根据图象可得到a 8.(2019·朝阳市重点高中模拟)已知函数f(x)＝[x]([x]表示不超过实数x的最大整数)，若函数g(x)＝ex－e－x－2的零点为x0，则g[f(x0)]等于(　　)
A.－e－2 B.－2 C.e－－2 D.e2－－2
答案　B
解析　因为g(x)＝ex－e－x－2，
所以g′(x)＝ex＋e－x>0在R上恒成立，
即函数g(x)＝ex－e－x－2在R上单调递增.
又g(0)＝e0－e0－2＝－2<0，g(1)＝e1－e－1－2>0，
所以g(x)在(0,1)上必然存在零点，即x0∈(0,1)，
因此f(x0)＝[x0]＝0，
所以g[f(x0)]＝g(0)＝－2.
9.(2019·南充模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x＋4)＝f(x)，f(x)＝若方程f(x)－ax＝0有5个实根，则正数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由f(x＋4)＝f(x)，
得函数f(x)是以4为周期的周期函数，

作出函数y＝f(x)与函数y＝ax的图象，
由图象可得，f(x)＝ax在(3,5)内有两个实数根，
当x∈(3,5)时，
y＝－(x－4)2＋1，
即 x2＋(a－8)x＋15＝0在(3,5)上有2个实数根，
由
解得 0 再由方程f(x)＝ax 在(5,6)内无解，可得6a>1，a>.
综上可得 10.(2019·衡水质检)已知函数f(x)＝若存在实数x1，x2，x3，x4，当x1 A. B.
C. D.[27,30)
答案　C
解析　先作函数图象，
若f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，

则x1x2＝1，x3＋x4＝12，x3∈(3,4.5)，
因此x1·x2·x3·x4＝x3(12－x3)，
因为y＝x3(12－x3)在(3,4.5)上单调递增，
所以y∈.
11.(2019·宜宾诊断)已知奇函数f(x)是定义在R上的单调函数，若函数g(x)＝f(x2)＋f(a－2|x|)恰有4个零点，则a的取值范围是(　　)
A.(－∞，1) B.(1，＋∞)
C.(0,1] D.(0,1)
答案　D
解析　函数g(x)＝f(x2)＋f(a－2|x|)恰有4个零点，
令f(x2)＋f(a－2|x|)＝0，
由函数f(x)为奇函数可得
f(x2)＝－f(a－2|x|)＝f(2|x|－a)，
由函数f(x)是定义在R上的单调函数得x2＝2|x|－a，
则x2－2|x|＋a＝0有4个根，
只需x2－2x＋a＝0有2个不等正根，
即解得0 即a的取值范围是0 12.(2019·天津市十二重点中学联考)已知函数f(x)＝g(x)＝x＋－1，则方程f(g(x))＝a的实根个数最多为(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
答案　C
解析　由题意得，函数g(x)＝x＋－1的值域为[1，＋∞)∪(－∞，－3]，
设g(x)＝t(t∈[1，＋∞)∪(－∞，－3])，
作出函数f(x)的图象如图，

所以f(g(x))＝f(t)＝a，
当1≤a<2时，直线和图象交点个数最多，有四个交点，也就是关于t的方程f(t)＝a有四个实根.
且可以有一个t≤－3，有三个t>1.
因为函数g(x)＝x＋－1在(0,1)，(－1,0)上单调递减，在(1，＋∞)，(－∞，－1)上单调递增.
所以g(x)＝t，当t在[1，＋∞)∪(－∞，－3]上每取一个t值时，x都有两个值和它对应，
因为方程f(t)＝a最多有4个根，所以方程f(g(x))＝a最多有8个解.
13.(2019·甘肃、青海、宁夏联考)若函数f(x)＝1＋|x|＋，则f(lg 2)＋f ＋f(lg 5)＋f ＝________.
答案　6
解析　由题意得，f(x)＋f(－x)＝2＋2|x|，
∵lg 2＝－lg ，lg 5＝－lg ，
∴f(lg 2)＋f(lg )＋f(lg 5)＋f(lg )
＝2×2＋2(lg 2＋lg 5)＝6.
14.对于函数f(x)与g(x)，若存在λ∈{x∈R|f(x)＝0}，μ∈{x∈R|g(x)＝0}，使得|λ－μ|≤1，则称函数f(x)与g(x)互为“零点密切函数”，现已知函数f(x)＝ex－2＋x－3与g(x)＝x2－ax－x＋4互为“零点密切函数”，则实数a的取值范围是________.
答案　[3,4]
解析　由题意知，函数f(x)的零点为x＝2，
设g(x)满足|2－μ|≤1的零点为μ，
因为|2－μ|≤1，解得1≤μ≤3.
因为函数g(x)的图象开口向上，
所以要使g(x)的至少一个零点落在区间[1,3]上，
则需满足g(1)g(3)≤0，或
解得≤a≤4，或3≤a<，得3≤a≤4.
故实数a的取值范围为[3,4].
15.(2019·河北省中原名校联盟联考)已知函数f(x)＝有四个零点，则实数a的取值范围是________.
答案　(－2,0)
解析　因为f(x)是偶函数，根据对称性，
x4－3x2－ax＝0在(0，＋∞)上有两个不同的实根，
即a＝x3－3x在(0，＋∞)上有两个不同的实根，
等价转化为直线y＝a与曲线y＝x3－3x(x>0)有两个交点，
而y′＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
则当01时，y′>0，
所以函数y＝x3－3x在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，
于是ymin＝y|x＝1＝－2，x→0，y→0，故a∈(－2,0).
16.(2019·六安模拟)己知函数f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2－bf(x)＋c＝0(b，c∈R)有8个不等的实数根，则b＋c的取值范围是________.
答案　(0,3)
解析　根据题意作出f(x)的简图，

由图象可得当f(x)∈(0,1]时，有四个不同的x与f(x)对应.
再结合题中“方程[f(x)]2－bf(x)＋c＝0有8个不同实数解”，
可知关于k的方程k2－bk＋c＝0有两个不同的实数根k1，k2，且k1和k2均为大于0且小于等于1的实数.
所以化简得
此不等式组表示的区域如图，

令z＝b＋c，则z＝b＋c在(2,1)处取得最大值3，在(0,0)处取得最小值0，
所以b＋c的取值范围为(0,3).
B组　能力提高
17.(2019·泰安质检)已知函数f(x)＝|x2－2x－1|－t有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且x1 A.(8,4] B.(8,6)
C.(6，4] D.(6，4)
答案　A
解析　由f(x)＝|x2－2x－1|－t＝0，得|x2－2x－1|＝t，
作出y＝|x2－2x－1|的图象如图，

要使f(x)有四个不同的零点，
则0 同时x1，x4是方程x2－2x－1－t＝0的两个根，
x2，x3是方程x2－2x－1＋t＝0的两个根，
则x1x4＝－1－t，x1＋x4＝2，x2x3＝－1＋t，x2＋x3＝2，
则x4－x1＝＝＝2，
x3－x2＝＝＝2，
则2(x4－x1)＋(x3－x2)＝4＋2，
设h(t)＝4＋2，0 h′(t)＝－＝－，
由h′(t)>0，得－>0，即>，
平方得>，即8－4t>2＋t，
解得0 由h′(t)<0，得故当t＝时，h(t)取得最大值h＝4＋2＝4＋2＝＋＝4，
当t→0时，h(t)→6，当t→2时，h(t)→ 8，
又8<6，所以8 即2(x4－x1)＋(x3－x2)的取值范围是(8,4].
18.(2019·河南省十所名校联考)已知函数f(x)＝ax(x2－1)＋x(a>0)，方程f[f(x)]＝b对于任意b∈[－1,1]都有9个不等实根，则实数a的取值范围为(　　)
A.(1，＋∞) B.(2，＋∞)
C.(3，＋∞) D.(4，＋∞)
答案　D
解析　因为方程f[f(x)]＝b对于任意b∈[－1,1]都有9个不等实根，
不妨令b＝0，则方程f[f(x)]＝0有9个不等实根，
令f(x)＝ax(x2－1)＋x＝0，
解得x1＝－，x2＝0，x3＝.
所以f(x)＝x1，f(x)＝0，f(x)＝x3都要有3个不同的根，
由f(x)＝ax(x2－1)＋x(a>0)，
可得f(－x)＝a(－x)[(－x)2－1]＋(－x)
＝－[ax(x2－1)＋x]＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数，
又f′(x)＝a(x2－1)＋ax·2x＋1＝3ax2－(a－1)，
由f(x)＝x1有3个不等实根，
可得f(x)不是单调函数，即a>1，
令f′(x)＝0，解得x＝±，
作出x，f′(x)，f(x)的关系如下表：
x

－

f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗

作出f(x)的简图如下：

要使得f(x)＝x1有3个根，至少要满足f 即a＋<－，
解得a>≈3.6.
即a>3.6，排除A，B，C.