高中数学高考第1讲　导数的概念及运算

这是一份高中数学高考第1讲　导数的概念及运算，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设曲线y＝eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 ∵y＝eax－ln(x＋1)，∴y′＝aeax－eq \f(1,x＋1)，∴当x＝0时，y′＝a－1.∵曲线y＝eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，∴a－1＝2，即a＝3.故选D.
答案 D
2.若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于( )
A.2 B.0 C.－2 D.－4
解析 ∵f′(x)＝2f′(1)＋2x，∴令x＝1，得f′(1)＝－2，
∴f′(0)＝2f′(1)＝－4.
答案 D
3.(2017·西安质测)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为( )
A.(1，3) B.(－1，3)
C.(1，3)和(－1，3) D.(1，－3)
解析 f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.
答案 C
4.(2017·石家庄调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( )
A.e B.－e
C.eq \f(1,e) D.－eq \f(1,e)
解析 y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝eq \f(1,x)，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x＝x0＝eq \f(1,x0)，切线方程为y－ln x0＝eq \f(1,x0)(x－x0)，因为切线过点(0，0)，所以－ln x0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为eq \f(1,e).
答案 C
5.(2016·郑州质检)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )
A.－1 B.0 C.2 D.4
解析 由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－eq \f(1,3)，∴f′(3)＝－eq \f(1,3)，∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝0.
答案 B
二、填空题
6.(2015·天津卷)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)＝3，则a的值为________.
解析 f′(x)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln x＋x·\f(1,x)))＝a(1＋ln x)，由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.
答案 3
7.(2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________.
解析 设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ln x－3x，又f(x)为偶函数，f(x)＝ln x－3x，
f′(x)＝eq \f(1,x)－3，f′(1)＝－2，切线方程为y＝－2x－1.
答案 2x＋y＋1＝0
8.(2015·陕西卷)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝eq \f(1,x)(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________.
解析 y′＝ex，曲线y＝ex在点(0，1) 处的切线的斜率k1＝e0＝1，设P(m，n)，y＝eq \f(1,x)(x＞0)的导数为y′＝－eq \f(1,x2)(x＞0)，曲线y＝eq \f(1,x)(x＞0)在点P处的切线斜率k2＝－eq \f(1,m2)(m＞0)，因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1，1).
答案 (1，1)
三、解答题
9.(2017·长沙调研)已知点M是曲线y＝eq \f(1,3)x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：
(1)斜率最小的切线方程；
(2)切线l的倾斜角α的取值范围.
解 (1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，
∴当x＝2时，y′＝－1，y＝eq \f(5,3)，
∴斜率最小的切线过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5,3)))，斜率k＝－1，
∴切线方程为3x＋3y－11＝0.
(2)由(1)得k≥－1，∴tan α≥－1，
又∵α∈[0，π)，∴α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).
故α的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).
10.已知曲线y＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(4,3).
(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程.
解 (1)∵P(2，4)在曲线y＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(4,3)上，且y′＝x2，
∴在点P(2，4)处的切线的斜率为y′|x＝2＝4.
∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)设曲线y＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(4,3)与过点P(2，4)的切线相切于点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，\f(1,3)xeq \\al(3,0)＋\f(4,3)))，则切线的斜率为y′|x＝x0＝xeq \\al(2,0).
∴切线方程为y－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)xeq \\al(3,0)＋\f(4,3)))＝xeq \\al(2,0)(x－x0)，即y＝xeq \\al(2,0)·x－eq \f(2,3)xeq \\al(3,0)＋eq \f(4,3).∵点P(2，4)在切线上，∴4＝2xeq \\al(2,0)－eq \f(2,3)xeq \\al(3,0)＋eq \f(4,3)，即xeq \\al(3,0)－3xeq \\al(2,0)＋4＝0，∴xeq \\al(3,0)＋xeq \\al(2,0)－4xeq \\al(2,0)＋4＝0，
∴xeq \\al(2,0)(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.
11.已知f1(x)＝sin x＋cs x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2 017(x)等于( )
A.－sin x－cs x B.sin x－cs x
C.－sin x＋cs x D.sin x＋cs x
解析 ∵f1(x)＝sin x＋cs x，
∴f2(x)＝f1′(x)＝cs x－sin x，
∴f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cs x，
∴f4(x)＝f3′(x)＝－cs x＋sin x，
∴f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cs x，
∴fn(x)是以4为周期的函数，
∴f2 017(x)＝f1(x)＝sin x＋cs x，故选D.
答案 D
12.已知函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为( )
A.4 B.－eq \f(1,4) C.2 D.－eq \f(1,2)
解析 f′(x)＝g′(x)＋2x.∵y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，∴g′(1)＝2，∴f′(1)＝g′(1)＋2×1＝2＋2＝4，
∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为4.
答案 A
13.(2016·全国Ⅱ卷)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.
解析 y＝ln x＋2的切线为：y＝eq \f(1,x1)·x＋ln x1＋1(设切点横坐标为x1).
y＝ln(x＋1)的切线为：y＝eq \f(1,x2＋1)x＋ln(x2＋1)－eq \f(x2,x2＋1)(设切点横坐标为x2).
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,x1)＝\f(1,x2＋1)，,ln x1＋1＝ln（x2＋1）－\f(x2,x2＋1)，))
解得x1＝eq \f(1,2)，x2＝－eq \f(1,2)，∴b＝ln x1＋1＝1－ln 2.
答案 1－ln 2
14.设函数f(x)＝ax－eq \f(b,x)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.
解 (1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝eq \f(7,4)x－3，
当x＝2时，y＝eq \f(1,2).又f′(x)＝a＋eq \f(b,x2)，于是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a－\f(b,2)＝\f(1,2)，,a＋\f(b,4)＝\f(7,4)，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝3.))故f(x)＝x－eq \f(3,x).
(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，
由y′＝1＋eq \f(3,x2)知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(3,xeq \\al(2,0))))(x－x0)，即y－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(3,x0)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(3,xeq \\al(2,0))))(x－x0).令x＝0，得y＝－eq \f(6,x0)，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(6,x0))).令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0).
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(6,x0)))|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.