高中数学高考第1讲　集合的概念与运算

这是一份高中数学高考第1讲　集合的概念与运算，共12页。试卷主要包含了知识梳理，教材衍化等内容，欢迎下载使用。


第1讲　集合的概念与运算


一、知识梳理
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
[注意]　N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.
2．集合间的基本关系
　 表示
关系 　
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)
A⊆B(或B⊇A)

真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
AB(或BA)

集合相等
集合A，B中元素相同
A＝B

3.集合的基本运算

集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形语言



符号语言
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A且x∈}B
∁UA＝{x|x∈U且x∉A}
常用结论三种集合运用的性质
(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A．
(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B．
(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
二、教材衍化
1．若集合P＝{x∈N|x≤}，a＝2，则(　　)
A．a∈P B．{a}∈P
C．{a}⊆P D．a∉P
解析：选D．因为a＝2不是自然数，而集合P是不大于的自然数构成的集合，所以a∉P.故选D．
2．设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C．A中包含的整数元素有－2，－1，0，1，2，共5个，所以A∩Z中的元素个数为5.

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．(　　)
(2)若a在集合A中，则可用符号表示为a⊆A．(　　)
(3)若AB，则A⊆B且A≠B．(　　)
(4)N*NZ.(　　)
(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×
二、易错纠偏
常见误区(1)忽视集合中元素的互异性致错；
(2)集合运算中端点取值致错；
(3)忘记空集的情况导致出错．
1．已知集合U＝{－1，0，1}，A＝{x|x＝m2，m∈U}，则∁UA＝________．
解析：因为A＝{x|x＝m2，m∈U}＝{0，1}，所以∁UA＝{－1}．
答案：{－1}
2．已知集合A＝{x|(x－1)(x－3)<0}，B＝{x|2 解析：由已知得A＝{x|1 所以A∩B＝{x|22}．
答案：(2，3)　(1，4)　(－∞，1]∪(2，＋∞)
3．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．
解析：易得M＝{a}．因为M∩N＝N，
所以N⊆M，
所以N＝∅或N＝M，
所以a＝0或a＝±1.
答案：0或1或－1

考点一　集合的概念(基础型)
复习指导 1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．
2．能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．
核心素养：数学抽象
1．设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B中的元素有(　　)
A．5个 B．4个
C．3个 D．无数个
解析：选C．依题意有A＝{－2，－1，0，1，2}，代入y＝x2＋1得到B＝{1，2，5}，故B中有3个元素．
2．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：选C．因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.
3．已知集合A＝{x∈N|1＜x＜log2k}，集合A中至少有3个元素，则k的取值范围为________．
解析：因为集合A中至少有3个元素，所以log2k＞4，所以k＞24＝16.
答案：(16，＋∞)
4．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，
则m＝1或m＝－.
当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；
当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－.
答案：－

与集合中元素有关问题的求解策略

考点二　集合间的基本关系(基础型)
理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．了解全集与空集的含义．
核心素养：数学抽象
(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0 A．1 B．2
C．3 D．4
(2)已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－m 【解析】　(1)由题意可得，A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，又因为A⊆C⊆B，所以C＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}．
(2)当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A．
当m>0时，因为A＝{x|－1 当B⊆A时，在数轴上标出两集合，如图，

所以
所以0 综上所述，m的取值范围为(－∞，1]．
【答案】　(1)D　(2)(－∞，1]



[提醒]　题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论．

1．已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－ A．A∩B＝∅ B．A∪B＝R
C．B⊆A D．A⊆B
解析：选B．因为A＝{x|x>2或x<0}，因此A∪B＝{x|x>2或x<0}∪{x|－ 2．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为(　　)
A．7 B．8
C．15 D．16
解析：选A．法一：A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．
法二：因为集合A中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个)．
3．设集合A＝{x|1 A．{a|a≤2} B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1} D．{a|a≥2}
解析：选D．由A∩B＝A，可得A⊆B，又A＝{x|1 考点三　集合的基本运算(综合型)
复习指导1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
3．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
核心素养：数学运算
角度一　集合的运算
(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁UA＝(　　)
A．{1，6} B．{1，7}
C．{6，7} D．{1，6，7}
(2)(2020·郑州市第一次质量预测)设全集U＝R，集合A＝{x|－3 A．{x|x≤－3或x≥1} B．{x|x<－1或x≥3}
C．{x|x≤3} D．{x|x≤－3}
【解析】　(1)依题意得∁UA＝{1，6，7}，故B∩∁UA＝{6，7}．故选C．
(2)因为B＝{x|x≥－1}，A＝{x|－3－3}，所以∁U(A∪B)＝{x|x≤－3}．故选D．
【答案】　(1)C　(2)D

集合基本运算的求解策略
　
角度二　利用集合的运算求参数
(1)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x A．－12
C．a≥－1 D．a>－1
(2)集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
【解析】　

(1)因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.
(2)根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故a＝4.
【答案】　(1)D　(2)D

根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法
(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．
(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．
(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．

1．(2019·高考天津卷)设集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝(　　)
A．{2} B．{2，3}
C．{－1，2，3} D．{1，2，3，4}
解析：选D．通解：因为A∩C＝{1，2}，B＝{2，3，4}，所以(A∩C)∪B＝{1，2，3，4}．故选D．
优解：因为B＝{2，3，4}，所以(A∩C)∪B中一定含有2，3，4三个元素，故排除A，B，C，选D．
2．(2020·宁夏石嘴山三中一模)已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2－1≥0}，则右图中阴影部分所表示的集合为(　　)

A．{－1} B．{0}
C．{－1，0} D．{－1，0，1}
解析：选B．阴影部分对应的集合为A∩∁RB，B＝{x|x2－1≥0}＝{x|x≤－1或x≥1}，则∁RB＝{x|－1 3．已知集合A＝{x|x2≥4}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2) B．[2，＋∞)
C．[－2，2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析：选D．因为A∪B＝A，所以B⊆A，即m∈A，得m2≥4，解得m≥2或m≤－2.
考点四　集合的新定义问题(创新型)
复习指导以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．
核心素养：数学抽象
定义集合的商集运算为＝{x|x＝，m∈A，n∈B}．已知集合A＝{2，4，6}，B＝{x|x＝－1，k∈A}，则集合∪B中的元素个数为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
【解析】　由题意知，B＝{0，1，2}，＝{0，，，，1，
}，则∪B＝{0，，，，1，，2}，共有7个元素，故选B．
【答案】　B

解决集合新定义问题的方法
(1)要分析新定义的特点和本质，认清新定义对集合元素的要求，结合题目要求进行转化，并将其运用到具体的解题过程中．
(2)要充分应用集合的有关性质及一些特殊方法(如特值法、排除法、数形结合法等)，将新定义问题转化到已学的知识中进行求解．

1．如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x，0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________．
解析：由题意可知－2x＝x2＋x，
所以x＝0或x＝－3.
而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．
当x＝－3时，A＝{－6，0，6}，
所以A∩B＝{0，6}．
答案：{0，6}
2．设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0 解析：由已知A＝{x|0 又由新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，
结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．
答案：{0}∪[2，＋∞)

[基础题组练]
1．设集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝(　　)
A．{2} B．{2，3}
C．{－1，2，3} D．{1，2，3，4}
解析：选D．由条件可得A∩C＝{1，2}，故(A∩C)∪B＝{1，2，3，4}．
2．(2019·高考全国卷Ⅱ)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝(　　)
A．(－∞，1) B．(－2，1)
C．(－3，－1) D．(3，＋∞)
解析：选A．因为A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x>3或x<2}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，所以A∩B＝{x|x<1}，故选A．
3．(2020·广东湛江测试(二))已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，则集合A∩B的子集个数为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选C．因为A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，所以B＝{－1，1，3，5}，所以A∩B＝{1，3}．所以集合A∩B的子集个数为22＝4.故选C．
4．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　)
A．9 B．8
C．5 D．4
解析：选A．法一：由x2＋y2≤3知，－≤x≤，－≤y≤.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A中元素的个数为CC＝9，故选A．

法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A．
5．(2020·太原模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是(　　)

A．(－2，1) B．[－1，0]∪[1，2)
C．(－2，－1)∪[0，1] D．[0，1]
解析：选C．因为集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，所以A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1≤x≤1}，所以A∪B＝(－2，1]，A∩B＝[－1，0)，所以阴影部分表示的集合为∁A∪B(A∩B)＝(－2，－1)∪[0，1]，故选C．
6．(2020·福建厦门3月质量检查)已知集合A＝{x|x2－4x＋3>0}，B＝{x|x－a<0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为(　　)
A．(3，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
解析：选D．A＝{x|x2－4x＋3>0}＝{x|x<1或x>3}，B＝{x|x－a<0}＝{x|x 7．(多选)(2021·预测)若集合A＝{x|x(x－2)≤0}，且A∪B＝A，则集合B可能是(　　)
A．{－1} B．{0}
C．{1} D．{2}
解析：选BCD．因为A＝{x|x(x－2)≤0}，所以A＝[0，2]．因为A∪B＝A，所以B⊆A．由选项知有{0}A，{1}A，{2}A．故选BCD．
8．已知全集U＝R，函数y＝ln(1－x)的定义域为M，集合N＝{x|x2－x<0}，则下列结论正确的是(　　)
A．M∩N＝N B．M∩(∁UN)＝∅
C．M∪N＝U D．M⊆(∁UN)
解析：选A．由题意知M＝{x|x<1}，N＝{x|0 9．(2020·江苏南京联合调研改编)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，4}，B＝{3，5}，则A∩B＝______，∁UA＝______．
解析：因为全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，4}，B＝{3，5}，所以A∩B＝{3}，则∁UA＝{2，5}．
答案：{3}　{2，5}
10．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝________．
解析：由于A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，结合数轴，∁U(A∪B)＝{x|0 答案：{x|0 11．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|y＝ln(2－x)}，则A∩B＝________，A∪B＝________．
解析：A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|y＝ln(2－x)}＝{x|2－x＞0}＝{x|x＜2}，则A∩B＝[－1，2)，A∪B＝(－∞，3]．
答案：[－1，2)　(－∞，3]
12．已知集合A＝{x|x－a≤0}，B＝{1，2，3}，若A∩B≠∅，则a的取值范围为________．
解析：集合A＝{x|x≤a}，集合B＝{1，2，3}，若A∩B≠∅，则1，2，3这三个元素至少有一个在集合A中，若2或3在集合A中，则1一定在集合A中，因此只要保证1∈A即可，所以a≥1.
答案：[1，＋∞)
[综合题组练]
1．已知集合M＝{y|y＝x－|x|，x∈R}，N＝{y|y＝，x∈R}，则下列选项正确的是(　　)
A．M＝N B．N⊆M
C．M＝∁RN D．∁RN⃘M
解析：选C．由题意得M＝{y|y≤0}，N＝{y|y>0}，所以∁RN＝{y|y≤0}，M＝∁RN.故C正确，A，B，D错误．
2．(创新型)如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A⊗B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|2x－x2≥0}，B＝{y|y＝3x，x>0}，则A⊗B＝(　　)

A．{x|0 B．{x|1 C．{x|x≤1或x≥2}
D．{x|0≤x≤1或x>2}
解析：选D．因为A＝{x|2x－x2≥0}＝[0，2]，B＝{y|y＝3x，x>0}＝(1，＋∞)，所以A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝(1，2]，由题图知A⊗B＝[0，1]∪(2，＋∞)，故选D．
3．(应用型)已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2m＜x＜1－m}，若A∩B＝∅，则实数m的取值范围是________．
解析：因为A∩B＝∅，
①若当2m≥1－m，即m≥时，B＝∅，符合题意；
②若当2m＜1－m，即m＜时，
需满足或
解得0≤m＜或∅，即0≤m＜.
综上，实数m的取值范围是[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
4．(创新型)定义集合P＝{p|a≤p≤b}的“长度”是b－a，其中a，b∈R.已知集合M＝，N＝，且M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，那么集合M∩N的“长度”的最小值是________．
解析：集合M＝，N＝，且M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，由可得1≤m≤；由可得≤n≤2.易知集合M∩N的“长度”的最小值是－＝.
答案：