高中数学高考第02讲 常用逻辑用语（讲）解析版

第02讲   常用逻辑用语

【学科素养】数学抽象、逻辑推理

【课标解读】

1．会用常用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理．

2．体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提高交流的严谨性与准确性．

【备考策略】

1.理解命题的概念.

2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.

3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．

4.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义。

5.理解全称量词和存在量词的意义。

6.能正确地对含一个量词的命题进行否定。

【核心知识】

1．命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其相互关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件、必要条件与充要条件的概念

4．简单的逻辑联结词

(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．

(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断

5.全称量词和存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．

(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．

6．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定

【特别提醒】

1.若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．

提示　若AB，则p是q的充分不必要条件；

若A⊇B，则p是q的必要条件；

若AB，则p是q的必要不充分条件；

若A＝B，则p是q的充要条件；

若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．

【高频考点】

高频考点一   充分条件与必要条件的判定

例1.(2020·天津卷)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】A　【解析】因为a2>a⇔a＜0或a>1，所以a>1⇒a2>a，反之不成立．故“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件．

【规律方法】充要条件的判断方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.

(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.

【举一反三】（2020·北京卷）已知，则“存在使得”是“”的（    ）．

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】(1)当存在使得时，

若为偶数，则；

若为奇数，则；

(2)当时，或，，即或，

亦即存在使得．

所以，“存使得”是“”的充要条件.

【变式探究】【2019·北京卷】设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（   ）

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】|＋|＞||⇔|＋|＞|－|⇔2＋2＋2·＞2＋2－2·⇔·＞0，由点A，B，C不共线，得〈，〉∈，故·＞0⇔，的夹角为锐角．故选C.

高频考点二  充分条件、必要条件的应用

例2.(2021·河南洛阳模拟)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．

【答案】[0,3]　

【解析】由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

所以P＝{x|－2≤x≤10}．

因为x∈P是x∈S的必要条件，所以S⊆P.

所以解得0≤m≤3.

故0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件．

 【方法技巧】根据充分、必要条件求参数的值或取值范围的关键点

(1)先合理转化条件,常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等,得到关于参数的方程或不等式(组),再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围.

(2)求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.

【变式探究】(2021·山东实验中学模拟)已知条件p：集合P＝{x|x2－8x－20≤0}，条件q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若p是q的必要条件，求m的取值范围．

【解析】由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

所以P＝{x|－2≤x≤10}，

由p是q的必要条件，知S⊆P.

则所以0≤m≤3.

所以当0≤m≤3时，p是q的必要条件，

即所求m的取值范围是[0，3]．

【答案】[0，3]

高频考点三　全称量词命题、存在量词命题的否定

例3．(2021·山东淄博市高三模拟)命题“∃x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是(　　)

A．∃x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1

B．∃x(0，＋∞)，ln x＝x－1

C．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1

D．∀x(0，＋∞)，ln x＝x－1

【答案】C　【解析】存在量词命题的否定是全称量词命题，将结论加以否定，所以命题的否定为“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”．

【方法技巧】

(1)全称命题与特称命题的否定

①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；

②否定结论：对原命题的结论进行否定．

(2)全称命题与特称命题真假的判断方法

【特别提醒】因为命题p与﹁p的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．

【变式探究】(2021·广东广雅中学模拟)已知命题p：∃m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则﹁p为　(　　)

A．∃m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数

B．∀m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数

C．∃m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数

D．∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数

【答案】D．由特称命题的否定可得﹁p为“∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．

高频考点四   全称量词命题、存在量词命题的真假判断

例4．（2020·新课标Ⅱ）设有下列四个命题：

p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.

p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.

则下述命题中所有真命题的序号是__________.

①②③④

【答案】①③④

【解析】对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；

若与相交，则交点在平面内，

同理，与的交点也在平面内，

所以，，即，命题为真命题；

对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，

命题为假命题；

对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，

命题为假命题；

对于命题，若直线平面，

则垂直于平面内所有直线，

直线平面，直线直线，

命题为真命题.

综上可知，为真命题，为假命题，

为真命题，为真命题.

故答案为：①③④.

【举一反三】(2019·高考全国卷Ⅲ)记不等式组表示的平面区域为D.命题p：∃(x，y)∈D，2x＋y≥9；命题q：∀(x，y)∈D，2x＋y≤12.下面给出了四个命题

①p∨q　②﹁p∨q　③p∧﹁q　④﹁p∧﹁q

这四个命题中，所有真命题的编号是(　　)

A．①③　　　　　　　　 B．①②

C．②③  D．③④

【答案】A.

【解析】

方法一：作出不等式组表示的平面区域D如图中阴影部分所示，直线2x＋y＝9和直线2x＋y＝12均穿过了平面区域D，不等式2x＋y≥9表示的区域为直线2x＋y＝9及其右上方的区域，所以命题p正确；不等式2x＋y≤12表示的区域为直线2x＋y＝12及其左下方的区域，所以命题q不正确．所以命题p∨q和p∧﹁q正确．故选A.

方法二：在不等式组表示的平面区域D内取点(7，0)，点(7，0)满足不等式2x＋y≥9，所以命题p正确；点(7，0)不满足不等式2x＋y≤12，所以命题q不正确．所以命题p∨q和p∧﹁q正确．故选A.

【规律方法】

1.“p∨q”、“p∧q”、“┐p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p∨q”“p∧q”“┐p”形式命题的真假.

2.p∧q形式是“一假必假，全真才真”，p∨q形式是“一真必真，全假才假”，┐p则是“与p的真假相反”.

【变式探究】(2021·湖南岳阳模拟)下列四个命题中的假命题是(　　)

A．∀x∈R，x2≥0 B．∀x∈R，2x－1＞0

C．∃x∈R，lg x＜1 D．∃x∈R，sin x＋cos x＝2

【答案】D　

【解析】A显然正确；由指数函数的性质知2x－1＞0恒成立，所以B正确；当0＜x＜10时，lg x＜1，所以C正确；因为sin x＋cos x＝sin，所以－≤sin x＋cos x≤，所以D错误．故选D．

高频考点五    全称量词命题、存在量词命题的应用

例5.(2021河北衡水调研)已知命题“∀x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．(4，＋∞) B．(0,4]

C．(－∞，4] D．[0,4)

【答案】C　

【解析】当原命题为真命题时，a>0且Δ＝16－4a<0，所以a>4.故当原命题为假命题时，a≤4.故选C.

【规律方法】

1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：

(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；

(2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.

2.全称命题可转化为恒成立问题.

含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.

【变式探究】(2021·湖南长沙质检)已知函数f (x)＝2ax－a＋3.若∃x0∈(－1,1)，使得f (x0)＝0，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B．(－∞，－3)

C．(－3,1) D．(1，＋∞)

【答案】A　

【解析】依题意可得f (－1)·f (1)＜0，即(－2a－a＋3)·(2a－a＋3)＜0，解得a＜－3或a＞1.故选A．

【举一反三】(2021·安徽合肥模拟)若命题“∀x∈，1＋tan x≤m”的否定是假命题，则实数m的取值范围是________．

【解析】根据题意得不等式1＋tan x≤m，∀x∈恒成立，因为y＝1＋tan x在x∈上为增函数，所以(1＋tan x)max＝1＋tan ＝1＋，则有m≥1＋，即实数m的取值范围是[1＋，＋∞)．

【答案】[1＋，＋∞)