高中数学高考第2部分 高考22题逐题特训 专题1 12＋4分项练6 函数与导数(1)

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(六)函数与导数
1.(2019·内蒙古模拟)已知函数f(x)＝则f 等于(　　)
A.－1 B.1 C. D.－
答案　C
解析　∵函数f(x)＝
∴f ＝ln ＝－1，
f ＝f(－1)＝2－1－(－1)3＝.
2.(2019·唐山模拟)已知a＝log32，b＝log43，c＝log0.20.3，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.af(4)
D.2f(3)>f(4)>(2＋4)f()
答案　C
解析　令g(x)＝，则g′(x)＝，
因为当x≠2时，(x－2)[f(x)＋(2－x)f′(x)]>0，
所以当x>2时，g′(x)g(3)>g(4)，
即>>，
即(2＋4)f()>2f(3)>f(4).
8.(2019·昆明模拟)已知函数f(x)＝(x2－2x)ex－aln x(a∈R)在区间(0，＋∞)上单调递增，则a的最大值是(　　)
A.－e B.e C.－ D.4e2
答案　A
解析　因为函数f(x)＝(x2－2x)ex－aln x(a∈R)，
所以f′(x)＝ex(x2－2x)＋ex(2x－2)－
＝ex(x2－2)－(x>0).
因为函数f(x)＝(x2－2x)ex－aln x(a∈R)在区间(0，＋∞)上单调递增，
所以f′(x)＝ex(x2－2)－≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，即≤ex(x2－2)在区间(0，＋∞)上恒成立，
亦即a≤ex(x3－2x)在区间(0，＋∞)上恒成立，
令h(x)＝ex(x3－2x)，x>0，则
h′(x)＝ex(x3－2x)＋ex(3x2－2)
＝ex(x3－2x＋3x2－2)＝ex(x－1)(x2＋4x＋2)，x>0，
因为x∈(0，＋∞)，所以x2＋4x＋2>0.
因为ex>0，令h′(x)>0，可得x>1，
令h′(x)0，
据此可得函数g(x)单调递增，
又x1＋x2＝1，
则不等式f(x1)＋f(sin2θ)>f(x2)＋f(cos2θ)，即
f(x1)＋f(sin2θ)>f(1－x1)＋f(1－sin2θ)，
则f(x1)－f(1－x1)>f(1－sin2θ)－f[1－(1－sin2θ)]，
即g(x1)>g(1－sin2θ)，
结合函数g(x)的单调性可得x1>1－sin2θ恒成立，
当sin θ＝0时，(1－sin2θ)max＝1，
结合恒成立的条件可得实数x1的取值范围是(1，＋∞).
11.已知函数f(x)＝，关于x的方程f2(x)－2af(x)＋a－1＝0(a∈R)有3个相异的实数根，则a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　f(x)＝
当x>0时，f′(x)＝，
当0e时，t＝f(x)有3个根，当t＝e时，t＝f(x)有2个实根，当0e得无解.
12.(2019·湖北八校联考)下列命题为真命题的个数是(　　)
①ln 3