高中数学高考第2部分 高考22题逐题特训 专题2 [80分] 12＋4标准练标准练2(1)

[80分] 12＋4标准练(二)

1.(2019·全国Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z等于(　　)

A.－1－i   B.－1＋i

C.1－i   D.1＋i

答案　D

解析　z＝＝＝＝1＋i.

2.(2019·全国Ⅱ)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B等于(　　)

A.(－∞，1)   B.(－2,1)

C.(－3，－1)   D.(3，＋∞)

答案　A

解析　因为A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x>3或x<2}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，所以A∩B＝{x|x<1}，故选A.

3.(2019·昆明质检)函数y＝f(x)＝－ln(x＋1)的图象大致为(　　)

答案　A

解析　由题意知，函数的定义域为{x|x>－1且x≠0}.

又函数f(x)＝－ln(x＋1)，

可得f(1)＝1－ln 2>0，故可排除C，D，

又由f(e2－1)＝－ln e2＝－2<0，

排除B，故选A.

4.(2019·衡阳联考)下面几个命题中，假命题是(　　)

A.“若a＋b<2，则2a＋2b<4”的否命题

B.“∀a∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数y＝logax在定义域内单调递增”的否定

C.“若mx2－mx－2<0对∀x∈R恒成立，则－8<m<0”

D.“x＋y≠4”是“x，y不都是2”的充分条件

答案　C

解析　对于选项A，“若a＋b<2，则2a＋2b<4”的否命题是“若a＋b≥2，则2a＋2b≥4”，

因为a＋b≥2，所以2a＋b≥22＝4，

所以2a·2b≥4，所以2a＋2b≥2≥4，

所以该选项正确；

对于选项B，“∀a∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数y＝logax在定义域内单调递增”是假命题，所以其否定是真命题；

对于选项C，当m＝0时，mx2－mx－2<0恒成立，

所以选项C错误；

对于选项D，“x＋y≠4”是“x，y不都是2”的充分条件，因为其逆否命题“x，y都是2”是“x＋y＝4”的充分条件是真命题，所以该命题是真命题.

5.(2019·咸阳模拟)若a>0，b>0，二项式(ax＋b)6的展开式中x3项的系数为20，则定积分ʃ2xdx＋ʃ2xdx的最小值为(　　)

A.0  B.1  C.2  D.3

答案　C

解析　二项式(ax＋b)6的展开式的通项为Tk＋1＝Ca6－kbkx6－k，

当6－k＝3，k＝3时，x3项系数为Ca3b3＝20，

∴ab＝1，

而定积分ʃ2xdx＋ʃ2xdx＝a2＋b2≥2ab＝2，

当且仅当a＝b时取等号.

6.如图所示的程序框图，输出y的最大值是(　　)

A.3  B.0  C.15  D.8

答案　C

解析　当x＝－3时，y＝3；当x＝－2时，y＝0；

当x＝－1时，y＝－1；当x＝0时，y＝0；

当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝8；

当x＝3时，y＝15；当x＝4时，结束，

所以y的最大值为15.

7.已知函数y＝2sin(ωx＋φ)的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝sin 2x＋cos 2x的图象，则φ的可能值为(　　)

A.0  B.  C.  D.

答案　A

解析　将函数y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin的图象向右平移个单位长度，

可得y＝2sin＝2sin 2x的图象，

所以φ的可能值为0.

8.(2019·衡阳模拟)若两函数具有相同的定义域、单调区间、奇偶性、值域，则称这两函数为“亲密函数”.下列三个函数：y＝2|x|－1，y＝，y＝＋cos x－1中，与函数f(x)＝x4不是亲密函数的个数为(　　)

A.0  B.1  C.2  D.3

答案　B

解析　易知幂函数y＝x4的定义域为R，为偶函数，

在(－∞，0)上，f(x)单调递减，在(0，＋∞)上，f(x)单调递增，值域为{y|y≥0}.

四个选项中函数的定义域都为R且都为偶函数，

单调性也与y＝x4保持一致，

又y＝的值域为{y|0<y<1}，

所以与函数f(x)＝x4不是亲密函数的个数为1.

9.(2019·银川一中模拟)一个四棱锥的三视图如图所示，其正(主)视图和侧(左)视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为的正方形，该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为(　　)

A.π  B.2π  C.3π  D.6π

答案　C

解析　由三视图可知，该几何体为底面边长为，侧棱长为的正四棱锥，如图所示.

设球心为O，球的半径为R，

则PO′＝＝＝⇒OO′＝－R，

在Rt△AOO′中，O′A2＋O′O2＝OA2，

即2＋2＝R2⇒R＝，

∴球的表面积为4πR2＝3π.

10.(2019·河南名校联考)已知a∈Z，若∀m∈(0，e)，∃x1，x2∈(0，e)且x1≠x2，使得(m－)2＋3＝ax1－ln x1＝ax2－ln x2，则满足条件的a的取值个数为(　　)

A.5  B.4  C.3  D.2

答案　A

解析　因为m∈(0，e)，所以y＝(m－)2＋3∈[3,5]，

由题意得f(x)＝ax－ln x在(0，e)上不单调，

因为f′(x)＝a－，

所以∈(0，e)，a>，

当x∈时，f′(x)<0，f(x)∈(1＋ln a，＋∞)，

当x∈时，f′(x)>0，f(x)∈(1＋ln a，ae－1)，

因此所以<a≤e2，

因为a∈Z，所以a＝3,4,5,6,7.

11.(2019·四平一中模拟)已知A，B分别是双曲线C：x2－＝1的左、右顶点，P为C上一点，且P在第一象限.记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当2k1＋k2取得最小值时，△PAB的重心坐标为(　　)

A.(1,1)   B.

C.   D.

答案　B

解析　由题意知，A(－1,0)，B(1,0)，设P(x，y)，

由题意得，k1＝，k2＝，

∴k1k2＝＝2,2k1＋k2≥2＝4，

当且仅当2k1＝k2时取等号，

此时k1＝1(舍负)，直线PA的方程为y＝x＋1，

k2＝2，直线PB的方程为y＝2(x－1)，

联立方程解得P(3,4)，

∴△PAB的重心坐标为＝.

12.(2019·全国Ⅲ)设函数f(x)＝sin(ω>0)，已知f(x)在[0,2π]上有且仅有5个零点.下述四个结论：

①f(x)在(0,2π)上有且仅有3个极大值点；

②f(x)在(0,2π)上有且仅有2个极小值点；

③f(x)在上单调递增；

④ω的取值范围是.

其中所有正确结论的编号是(　　)

A.①④  B.②③  C.①②③  D.①③④

答案　D

解析　如图，根据题意知，xA≤2π<xB，根据图象可知函数f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点，所以①正确；但可能会有3个极小值点，所以②错误；根据xA≤2π<xB，有≤2π<，得≤ω<，所以④正确；当x∈时，<ωx＋<＋，因为≤ω<，所以＋<<，所以函数f(x)在上单调递增，所以③正确.

13.(2019·全国Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________.

答案　

解析　设a＝(1,0)，b＝(0,1)，则c＝(2，－)，所以cos〈a，c〉＝＝.

14.(2019·全国Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________.

答案　0.98

解析　经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为＝0.98.

15.(2019·上饶联考)已知点Q(x0,1)，若⊙O：x2＋y2＝1上存在点P，使得∠OQP＝60°，则x0的取值范围是________.

答案　

解析　由题意画出图形如图.

因为点Q(x0,1)，要使圆O：x2＋y2＝1上存在点P，使得∠OQP＝60°，则当∠OQP的最大值大于或等于60°时一定存在点P，使得∠OQP＝60°，而当QP与圆相切时∠OQP取得最大值，此时OP＝1，|Q′P|＝＝.图中只有Q′到Q″之间的区域满足|QP|≤，∴x0的取值范围是.

16.如图，在四边形ABCD中，△ABD和△BCD都是等腰直角三角形，AB＝，∠BAD＝，∠CBD＝，沿BD把△ABD翻折起来，形成二面角A－BD－C，且二面角A－BD－C为，此时A，B，C，D在同一球面上，则此球的体积为________.

答案　π

解析　由题意可知BC＝BD＝2，

△BCD，△ABD的外接圆圆心分别为CD，BD的中点E，F，

分别过E，F作△BCD，△ABD所在平面的垂线，垂线的交点O即为球心，连接AF，EF，

由题意可知∠AFE即为二面角A－BD－C的平面角，

所以∠AFE＝.

又∠OFA＝，

所以∠OFE＝，EF＝BC＝1，

所以OE＝EF·tan ＝，

所以R＝OC＝＝，

所以V＝πR3＝π.