高中数学高考第2部分 高考22题逐题特训 专题3 解答题突破练7 坐标系与参数方程(1)

这是一份高中数学高考第2部分 高考22题逐题特训 专题3 解答题突破练7 坐标系与参数方程(1)，共4页。
(七)坐标系与参数方程1.已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是(t为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos.(1)判断直线l与曲线C的位置关系；(2)设M为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围.解　(1)由消去t，得直线l的普通方程为y＝x＋4.由ρ＝2cos，得ρ＝2cos θcos －2sin θsin ＝cos θ－sin θ.∴ρ2＝ρcos θ－ρsin θ，即x2－x＋y2＋y＝0.化为标准方程得2＋2＝1.∴圆心坐标为，半径为1.∵圆心到直线l：x－y＋4＝0的距离d＝＝5>1，∴直线l与曲线C相离.(2)由M(x，y)为曲线C上任意一点，可设(α为参数，0≤α<2π)，则x＋y＝sin α＋cos α＝sin，∵0≤α<2π，∴≤α＋<，∴－≤sin≤，∴x＋y的取值范围是[－，].2.(2019·辽南协作体模拟)在平面直角坐标系中，直线l过原点且倾斜角为；曲线C1的参数方程为(α为参数)；曲线C2的参数方程为(α为参数).(1)求直线l的极坐标方程，曲线C1和曲线C2的普通方程；(2)若直线l与曲线C1和曲线C2在第一象限的交点分别为M，N，求M，N之间的距离.解　(1)直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)；曲线C1 的普通方程为＋y2＝1；曲线C2的普通方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13.(2)曲线C1的极坐标方程为ρ2＝，曲线C2的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋4sin θ，∴|ON|＝6cos ＋4sin ＝5，|OM|＝＝，可得|MN|＝|ON|－|OM|＝5－＝.3.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(m,2)，其参数方程为(t为参数，m∈R)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos 2θ＋8cos θ－ρ＝0.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)若已知曲线C1和曲线C2交于A，B两点，且|PA|＝2|PB|，求实数m的值.解　(1)C1的参数方程(t为参数，m∈R)，消参得普通方程为x＋y－m－2＝0.C2的极坐标方程化为ρ(2cos2θ－1)＋8cos θ－ρ＝0，两边同乘ρ得2ρ2cos2θ＋8ρcos θ－2ρ2＝0，即y2＝4x.即C2的直角坐标方程为y2＝4x.(2)将曲线C1的参数方程标准化为(t为参数，m∈R)，代入曲线C2：y2＝4x，得t2＋4t＋4－4m＝0，由Δ＝(4)2－4××(4－4m)>0，得m>－3，设A，B对应的参数为t1，t2，由题意得|t1|＝2|t2|，即t1＝2t2或t1＝－2t2，当t1＝2t2时，解得m＝－，满足m>－3；当t1＝－2t2时，解得m＝33，满足m>－3.综上，m＝－或33.4.(2019·昆明质检)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，直线l的参数方程为(t为参数，0≤β<π)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程；(2)已知直线l与曲线C相交于A，B两点，且|OA|－|OB|＝2，求β.解　(1)由曲线C的参数方程可得普通方程为(x－2)2＋y2＝3，即x2＋y2－4x＋1＝0，所以曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋1＝0.(2)由直线l的参数方程可得直线的极坐标方程为θ＝β(ρ∈R,0≤β<π)，因为直线l与曲线C相交于A，B两点，所以设A(ρ1，β)，B(ρ2，β)，联立可得ρ2－4ρcos β＋1＝0，因为Δ＝16cos2β－4>0，即cos2β>，所以|OA|－|OB|＝|ρ1－ρ2|＝ ＝＝2，解得cos β＝±，又0≤β<π，所以β＝或.5.(2019·保山模拟)在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.⊙O的极坐标方程为ρ＝，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与⊙O交于A，B两个不同的点.(1)求倾斜角α的取值范围；(2)求线段AB中点P的轨迹的参数方程.解　(1)直线l的倾斜角为α，当α＝时，直线l(即y轴)与⊙O交于A，B两个不同的点，符合题目要求；当α≠时，记k＝tan α，直线l的参数方程 化为普通方程为kx－y－2＝0，圆心O到直线l的距离d＝.因为直线l与⊙O交于不同的两点，所以<，解得k>1或k<－1.当k<－1时，直线l的倾斜角α的取值范围是；当k>1时，α的取值范围是，综上，直线l的倾斜角α的取值范围是.(2)⊙O的极坐标方程为ρ＝，其直角坐标方程为x2＋y2＝2，因直线l的参数方程为(t为参数)，代入x2＋y2＝2中得，t2－4tsin α＋2＝0，故可设A(t1cos α，－2＋t1sin α)，B(t2cos α，－2＋t2sin α)，注意到t1 ，t2为方程的根，故t1＋t2＝4sin α，点P的坐标为，即(sin 2α，－1－cos 2α)，所以点P的轨迹的参数方程为(α为参数).