高中数学高考第2部分 高考22题逐题特训 专题3 解答题突破练8 不等式选讲(1)

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(八)不等式选讲1.(2019·天水市第一中学模拟)设函数f(x)＝|2x＋a|－|x－2|(x∈R，a∈R).(1)当a＝－1时，求不等式f(x)>0的解集；(2)若f(x)≥－1在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围.解　(1)a＝－1时，f(x)>0可得|2x－1|>|x－2|，即(2x－1)2>(x－2)2，化简得：(3x－3)(x＋1)>0，所以不等式f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞).(2)①当a<－4时，f(x)＝由函数单调性可得f(x)min＝f ＝＋2≥－1，解得－6≤a<－4.②当a＝－4时，f(x)＝|x－2|，f(x)min＝0≥－1，所以a＝－4符合题意；③当a>－4时，f(x)＝由函数单调性可得，f(x)min＝f ＝－－2≥－1，解得－4<a≤－2.综上，实数a的取值范围为[－6，－2].2.(2019·河南省百校联盟考试)设函数f(x)＝|2x－1|－，∀a，b∈[1，＋∞)，|a＋b|≤m|ab＋1|.(1)解不等式f(x)≤2；(2)∀x∈R，证明：f(x)≥－1－m.(1)解　因为f(x)＝根据题意，得或或解得－≤x≤.故解集为.(2)证明　当x∈时，函数f(x)单调递减，当x∈时，函数f(x)单调递增.∴当x＝时，f(x)min＝－2.由题意知≤m，即≤m，∵(a＋b)－(ab＋1)＝(a－1)(1－b)≤0，则a＋b≤ab＋1，∴≤1.∴m≥1，∴－m－1≤－2，∴f(x)≥－1－m.3.已知函数f(x)＝|2x＋1|(x∈R).(1)解不等式f(x)≤1；(2)设函数g(x)＝f(x)＋f(x－1)的最小值为m，且a＋b＝m(a，b>0)，求＋的取值范围.解　(1)由f(x)≤1，即|2x＋1|≤1，得－1≤2x＋1≤1，解得－1≤x≤0.即不等式的解集为{x|－1≤x≤0}.(2)g(x)＝f(x)＋f(x－1)＝|2x＋1|＋|2x－1|≥|2x＋1－(2x－1)|＝2，当且仅当(2x＋1)(2x－1)≤0，即－≤x≤时取等号，∴m＝2.∴a＋b＝2(a，b>0)，∴＋＝(a＋b)＝≥＝，当且仅当即a＝，b＝时等号成立，综上，＋的取值范围为.4.(2019·郑州第一中学模拟)已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)解不等式f(x)>2；(2)记函数g(x)＝f(x)＋f(－x)，若对于任意的x∈R，不等式|k－1|<g(x)恒成立，求实数k的取值范围.解　(1)依题意得f(x)＝于是原不等式等价于或或解得x<－，或x>0.即不等式f(x)>2的解集为.(2)g(x)＝f(x)＋f(－x)＝|x－1|＋|x＋1|＋(|2x＋1|＋|2x－1|)≥|(x－1)－(x＋1)|＋|(2x＋1)－(2x－1)|＝4，当且仅当即x∈时取等号，若对于任意的x∈R，不等式|k－1|<g(x)恒成立，则|k－1|<g(x)min＝4，所以－4<k－1<4，解得－3<k<5，即实数k的取值范围为(－3,5).5.已知函数f(x)＝|2x＋3|＋.(1)在如图所示的网格纸中作出函数f(x)的图象；(2)记函数f(x)的最小值为m，证明：不等式n3≥n2＋n－m成立的充要条件是n＋1≥0.(1)解　依题意，f(x)＝|2x＋3|＋ ＝，作出函数f(x)的图象如图所示.(2)证明　由(1)中图象可知m＝1.n3≥n2＋n－1⇔n3－n2≥n－1⇔n2(n－1)≥n－1 ⇔(n2－1)(n－1)≥0⇔(n＋1)(n－1)2≥0.因为当n＋1≥0时，(n＋1)(n－1)2≥0，当(n＋1)(n－1)2≥0时，n＋1≥0，故不等式n3≥n2＋n－1成立的充要条件是n＋1≥0.