高中数学高考第2部分高考22题逐题特训专题4 [70分] 解答题标准练1(1)

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这是一份高中数学高考第2部分高考22题逐题特训专题4 [70分] 解答题标准练1(1)，共8页。

1.(2019·广州模拟)已知{an}是等差数列，且lg a1＝0，lg a4＝1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a1，ak，a6是等比数列{bn}的前3项，求k的值及数列{an＋bn}的前n项和.
解 (1)数列{an}是等差数列，设公差为d，
且lg a1＝0，lg a4＝1.
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,a1＋3d＝10，))
解得d＝3，
所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2.
(2)若a1，ak，a6是等比数列{bn}的前3项，
则aeq \\al(2,k)＝a1·a6，
根据等差数列的通项公式得到ak＝3k－2，
代入上式解得k＝2；a1，a2，a6是等比数列{bn}的前3项，a1＝1，a2＝4，
所以等比数列{bn}的公比为q＝4.
由等比数列的通项公式得到bn＝4n－1.
则an＋bn＝3n－2＋4n－1，
故Sn＝(1＋1)＋(4＋41)＋…＋(3n－2＋4n－1)
＝eq \f(n3n－1,2)＋eq \f(4n－1,4－1)
＝eq \f(3,2)n2－eq \f(1,2)n＋eq \f(1,3)(4n－1).
2.(2019·马鞍山质检)如图，半圆柱O′O中，平面ABB′A′过上、下底面的圆心O′，O，点C，D分别在半圆弧AB，A′B′上，且
(1)求证：CD∥平面ABB′A′；
(2)若2AC＝AB＝AA′，求二面角C－AD－B的余弦值.
(1)证明如图，取的中点M，
∵OO′⊥平面ABC，
∴OA，OM，OO′两两垂直，
以O为坐标原点，OA，OM，OO′所在直线分别为x，y，z轴，建立空间
直角坐标系O－xyz，连接OC，
设OA＝1，AA′＝t，∠AOC＝θ(0<θ<π)，
则A(1,0,0)，B(－1,0,0)，C(cs θ，sin θ，0)，D(－cs θ，sin θ，t)，
于是eq \(CD,\s\up6(→))＝(－2cs θ，0，t)，而平面ABB′A′的一个法向量为eq \(OM,\s\up6(→))＝(0,1,0)，
由于eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(OM,\s\up6(→))＝0，CD⊄平面ABB′A′，
所以CD∥平面ABB′A′.
(2)解设OA＝1，∵2AC＝AB＝AA′，
则Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)，0))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)，2))，eq \(CD,\s\up6(→))＝(－1,0,2)，
eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)，0))，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)，2))，
设平面CAD的法向量n1＝(x1，y1，z1)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(CD,\s\up6(→))·n1＝－x1＋2z1＝0，,\(AC,\s\up6(→))·n1＝－\f(1,2)x1＋\f(\r(3),2)y1＝0，))
不妨设x1＝2eq \r(3)，得n1＝(2eq \r(3)，2，eq \r(3))，
设平面BAD的法向量n2＝(x2，y2，z2)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(BD,\s\up6(→))·n2＝\f(1,2)x2＋\f(\r(3),2)y2＋2z2＝0，,\(BA,\s\up6(→))·n2＝2x2＝0，))
不妨设y2＝4，得n2＝(0,4，－eq \r(3))，
所以cs〈n1，n2〉＝eq \f(n1·n2,|n1|·|n2|)＝eq \f(5,\r(19)·\r(19))＝eq \f(5,19)，
又由图可知，二面角C－AD－B为锐角，
故二面角C－AD－B的余弦值为eq \f(5,19).
3.(2019·武邑调研)已知定点N(eq \r(5)，0)，动点P是圆M：(x＋eq \r(5))2＋y2＝36上的任意一点，线段NP的垂直平分线与半径MP相交于点Q.
(1)求|QM|＋|QN|的值，并求动点Q的轨迹C的方程；
(2)若圆x2＋y2＝4的切线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB面积的最大值.
解 (1)由已知条件得|QN|＝|QP|，
又|QM|＋|QP|＝6，∴|QM|＋|QN|＝6>2eq \r(5)，为定值.
根据椭圆定义得，动点Q的轨迹是以点M，N为焦点的椭圆.
且2a＝6，即a＝3，c＝eq \r(5)，则b＝2，
∴动点Q的轨迹C的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1.
(2)由题可知直线l不可能与x轴平行，
则可设切线方程为x＝ty＋m，
由直线与圆相切，得eq \f(|m|,\r(1＋t2))＝2，
∴m2＝4(1＋t2).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ty＋m，,\f(x2,9)＋\f(y2,4)＝1，))
消去x得(4t2＋9)y2＋8tmy＋4m2－36＝0，
Δ＝(8tm)2－4(4t2＋9)(4m2－36)
＝144(4t2－m2＋9)＝144×5>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴y1＋y2＝eq \f(－8tm,4t2＋9)，y1y2＝eq \f(4m2－36,4t2＋9).
∴|AB|＝eq \r(1＋t2)|y1－y2|
＝eq \r(1＋t2)·eq \r(y1＋y22－4y1y2)
＝eq \r(1＋t2)·eq \f(12\r(5),4t2＋9)＝eq \f(12\r(5),4\r(1＋t2)＋\f(5,\r(1＋t2)))≤eq \f(12\r(5),4\r(5))＝3，
当且仅当4eq \r(1＋t2)＝eq \f(5,\r(1＋t2))，
即t2＝eq \f(1,4)时等号成立.
此时|m|＝eq \r(5)，|AB|max＝3，
又∵S△AOB＝eq \f(1,2)×2×|AB|＝|AB|≤3，
∴当|m|＝eq \r(5)，|t|＝eq \f(1,2)时，△AOB的面积最大，最大值为3.
4.(2019·山东师范大学附属中学模拟)某读书协会共有1 200人，现收集了该协会20名成员每周的课外阅读时间(分钟)，其中某一周的数据记录如下：75,60,35,100,90,50,85,170,65,70,125,75,70,85,155,110,75,130,80,100.对这20个数据按组距30进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：阅读时间分组统计表(设阅读时间为x分钟).
(1)写出m，n的值，请估计该读书协会中人均每周的课外阅读时长，以及该读书协会中一周阅读时长不少于90分钟的人数；
(2)该读书协会拟发展新成员5人，记新成员中每周阅读时长在[60,90)之间的人数为X，以上述统计数据为参考，求X的分布列和期望；
(3)以这20人为样本完成下面的2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”？

附：K2＝eq \f(nad－bc2,a＋cb＋da＋bc＋d).
解 (1)m＝4，n＝2，
该读书协会中人均每周的课外阅读时长为
45×eq \f(2,20)＋75×eq \f(10,20)＋105×eq \f(4,20)＋135×eq \f(2,20)＋165×eq \f(2,20)＝93(分钟)，
由样本估计总体，一周阅读时长不少于90分钟的人数为
1 200×eq \f(4＋2＋2,20)＝480.
(2)X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(1,2)))，
由题意知，X的可能取值为0,1,2,3,4,5.
且P(X＝0)＝Ceq \\al(0,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))5＝eq \f(1,32)，P(X＝1)＝Ceq \\al(1,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))5＝eq \f(5,32)，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))5＝eq \f(10,32)＝eq \f(5,16)，
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))5＝eq \f(10,32)＝eq \f(5,16)，
P(X＝4)＝Ceq \\al(4,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))5＝eq \f(5,32)，P(X＝5)＝Ceq \\al(5,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))5＝eq \f(1,32)，
所以X的分布列如下：
E(X)＝5×eq \f(1,2)＝2.5.
(3)2×2列联表如下：
k＝eq \f(203×8－1×82,4×16×11×9)≈0.808<2.706，所以没有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”.
5.设函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)(a∈R).
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)≥0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围；
(3)当θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，试比较eq \f(1,2)ln(tan θ)与taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))的大小，并说明理由.
解 (1)当a＝1时，f(x)＝(x＋1)ln x－(x－1)，
f′(x)＝ln x＋eq \f(1,x)，
设g(x)＝ln x＋eq \f(1,x)(x>0)，则g′(x)＝eq \f(x－1,x2)，
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
g(x)min＝g(1)＝1>0，
∴f′(x)>0.故f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
无单调递减区间.
(2)f′(x)＝ln x＋eq \f(1,x)＋1－a＝g(x)＋1－a，
由(1)可知g(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，
则g(x)≥g(1)＝1，
即f′(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，且f′(1)＝2－a，
①当a≤2时，f′(x)≥0，
f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，
∴f(x)≥f(1)＝0满足条件；
②当a>2时，设h(x)＝ln x＋eq \f(1,x)＋1－a(x≥1)，
则h′(x)＝eq \f(1,x)－eq \f(1,x2)＝eq \f(x－1,x2)≥0(x≥1)，
∴h(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，
且h(1)＝2－a<0，h(ea)＝1＋e－a>0，
∴∃x0∈[1，ea]，使得h(x0)＝0，
∴当x∈[1，x0)时，h(x)<0，f(x)单调递减，
即当x∈[1，x0)时，f(x)≤f(1)＝0，不满足题意.
综上所述，实数a的取值范围为(－∞，2].
(3)由(2)可知，取a＝2，
当x>1时，f(x)＝(x＋1)ln x－2(x－1)>0，
即eq \f(1,2)ln x>eq \f(x－1,x＋1)，
当01，
∴eq \f(1,2)lneq \f(1,x)>eq \f(\f(1,x)－1,\f(1,x)＋1)⇔eq \f(ln x,2)又∵taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(tan θ－1,tan θ＋1)，
∴当0<θeq \f(1,2)ln(tan θ)当θ＝eq \f(π,4)时，tan θ＝1，eq \f(1,2)ln(tan θ)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))；
当eq \f(π,4)<θ1，
eq \f(1,2)ln(tan θ)>taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4))).
综上，当θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))时，eq \f(1,2)ln(tan θ)当θ＝eq \f(π,4)时，eq \f(1,2)ln(tan θ)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))；
当θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))时，eq \f(1,2)ln(tan θ)>taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4))).
6.在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝6sin θ，点P的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)))，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系.
(1)求曲线C的直角坐标方程和点P的直角坐标；
(2)过点P的直线l与曲线C相交于A，B两点，若|PA|＝2|PB|，求|AB|的值.
解 (1)由ρ＝6sin θ，得ρ2＝6ρsin θ，
又x＝ρcs θ，y＝ρsin θ，
∴x2＋y2＝6y，
即曲线C的直角坐标方程为x2＋(y－3)2＝9，
点P的直角坐标为(1,1).
(2)设过点P的直线l的参数方程是
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋tcs θ，,y＝1＋tsin θ))(t为参数)，
将其代入x2＋y2＝6y，
得t2＋2(cs θ－2sin θ)t－4＝0，
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
∴t1t2＝－4，
∵|PA|＝2|PB|，∴t1＝－2t2，
∴t1＝2eq \r(2)，t2＝－eq \r(2)或t1＝－2eq \r(2)，t2＝eq \r(2)，
∴|AB|＝|t1－t2|＝3eq \r(2).
7.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.
(1)解不等式：f(x)≤x＋3；
(2)若不等式|m|·f(x)≥|m＋2|－|3m－2|对任意m∈R恒成立，求x的取值范围.
解 (1)①由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥2，,2x－3≤x＋3，))得2≤x≤6；
②由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1③由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤1，,3－2x≤x＋3，))得0≤x≤1.
由①②③可得x∈[0,6].
(2)①当m＝0时，0≥0，∴x∈R；
②当m≠0时，
即f(x)≥eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2,m)＋1))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2,m)－3))对∀m∈R，m≠0恒成立，
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2,m)＋1))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2,m)－3))≤eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,m)＋1))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,m)－3))))＝4，
∴f(x)＝|x－1|＋|x－2|≥4，
当x≥2时，2x－3≥4，解得x≥eq \f(7,2)；
当1当x≤1时，3－2x≥4，解得x≤－eq \f(1,2)，
综上，x的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，＋∞)).组别
时间分组
频数
男性人数
女性人数
A
30≤x<60
2
1
1
B
60≤x<90
10
4
6
C
90≤x<120
m
a
1
D
120≤x<150
2
1
1
E
150≤x<180
n
2
b
每周阅读时间不少于120分钟
每周阅读时间少于120分钟
总计
男
女
总计
P(K2≥k0)
0.10
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
X
0
1
2
3
4
5
P
eq \f(1,32)
eq \f(5,32)
eq \f(5,16)
eq \f(5,16)
eq \f(5,32)
eq \f(1,32)
每周阅读时间不少于120分钟
每周阅读时间少于120分钟
总计
男
3
8
11
女
1
8
9
总计
4
16
20