高中1.2 向量的基本关系学案设计

第二章　平面向量及其应用

2．1　从位移、速度、力到向量

2.1.1　位移、速度、力与向量的概念 2.1.2　向量的基本关系

1．向量的概念

(1)既有大小又有方向的量统称为向量．

(2)具有方向和长度的线段叫作有向线段．向量可以用有向线段表示，若有向线段的起点为A，终点为B，则该有向线段记作________，也可以用黑体小写字母a，b，c，…表示，手写则用，，，…表示．

(3)向量(或a)的大小，称为向量(或a)的长度，也叫模，记作________．

2．与向量有关的概念

续表

3.向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作＝a，＝b，则θ＝∠AOB称为向量a与b的夹角；

(2)范围：0°≤θ≤180°；

(3)大小与向量共线、垂直的关系：θ＝

答案：1.(2)　(3)||(或|a|)

研习1  向量的概念

[典例1]　(1)下列各量中是向量的是(　　)

A．时间 B．加速度

C．面积 D．长度

(2)给出下列说法

①零向量是没有方向的；

②零向量的长度为0；

③零向量的方向是任意的；

④单位向量的模都相等；

⑤由于0方向不确定，故0不能与任一向量平行．

其中正确的是________．(填序号)

[自主记]

答案：(1)B　(2)②③④

[巧归纳]　1.判断一个量是否为向量的两个关键条件

关键看它是否具备向量的两要素：(1)有大小；(2)有方向．两个条件缺一不可．

2．理解零向量和单位向量应注意的问题

(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．

(2)单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．

[练习1]　给出命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与向量相等．

以上命题中，正确命题的序号是(　　)

A．① B．② 

C．①③ D．②③

答案：A

研习2  向量的表示

[典例2]　在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.

(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a.

(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝，说出c的终点的轨迹是什么？并作出轨迹．

[自主记]

[分析]　(1)结合向量相等的定义，在已知起点的情况下，只需根据长度和方向便可确定向量b的终点；(2)根据勾股定理，先找到一个以C为端点且长为的线段即可．

[解]　(1)根据相等向量的定义，所作向量应与a平行，且长度相等，如图．

(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c.所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心，为半径的圆，如图．

[巧归纳]　向量表示方法的作用

(1)用几何表示法表示向量，便于用几何研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础．

(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算．

提醒：有向线段是向量的表示，不能说向量就是有向线段．

[练习2]　一辆汽车从点A出发向西行驶了100 km到达点B，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达点D.

(1)作出向量，，；

(2)求||.

解：(1)向量，，，如图所示．

(2)由题意，易知与方向相反，故与共线，

又||＝||，

∴在四边形ABCD中，AB綊CD.

∴四边形ABCD为平行四边形．

∴＝.||＝||＝200 km.

研习3  相等向量与共线向量

[典例3]　如图所示，四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝.

求证：＝.

[自主记]

[分析]　证明两向量相等，需证明它们的长度相等且方向相同．

[证明]　因为＝，

所以||＝||且AB∥DC.

所以四边形ABCD是平行四边形，

所以||＝||，且DA∥CB.

又因为与的方向相同，所以＝.

同理可证：四边形CNAM是平行四边形，所以＝.

因为||＝||，||＝||，

所以||＝||，DN∥MB，

即与的模相等且方向相同，

所以＝.

[巧归纳]　1.判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同、长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可．

2．利用向量相等或共线判断平行、相等问题时的常用结论：

(1)若A，B，C，D四点不共线，且∥，则AB∥CD；

(2)若∥，则三点A，B，C共线；

(3)若A，B，C，D四点不共线，且＝，则AB∥CD且AB＝CD；

(4)若A，B，C三点共线，＝，则AB＝BC(即B是线段AC的中点)．

[练习3]　以边长为2的正方形A1B1C1D1的中心O为起点，分别以各顶点、各边的中点为终点作出向量a，b，c，d，e，f，g，h.

(1)试在各边与已知正方形相应各边平行且边长为1的正方形ABCD中找出与它们相等的向量；

(2)试找出已知向量中分别与，，，共线的向量．

解：(1)作出图形如图，由已知，得

|a|＝|c|＝|e|＝|g|＝1，

|b|＝|d|＝|f|＝|h|＝，而在正方形ABCD中，

||＝||＝||＝||＝1，

||＝||＝，

又已知两正方形对应边平行，

所以＝＝a，＝＝c，＝＝e，＝＝g，＝b，＝f，＝d，＝h.

(2)已知两正方形对应边平行，则对应对角线也平行，所以与共线的向量有a，e；与共线的向量有c，g；与共线的向量有b，f；与共线的向量有d，h.

研习4  向量的夹角

[典例4]　如图，已知△ABC是等边三角形．

(1)求向量与向量的夹角；

(2)若E为BC的中点，求向量与的夹角．

[自主记]

[分析]　平移向量，使它们的起点相同，再根据向量夹角的定义及几何图形的性质进行求解．

[解]　(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，

如图，延长AB至点D，使AB＝BD，

∴∠DBC为向量与的夹角．

∵∠DBC＝120°，

∴向量与的夹角为120°.

(2)∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，

∴与的夹角为90°.

[巧归纳]　1.明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决．

2．求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．

[练习4]　若两向量a，b为非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为(　　)

A．60° B．30°

C．45° D．90°

答案：B　

解析： 由向量运算的几何意义知，a＋b，a－b是以a，b为邻边的平行四边形的两条对角线．

如图，∵|a|＝|b|＝|a－b|，

∴∠BOA＝60°.

又∵＝a＋b，且在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，∴a与a＋b的夹角为30°.故选B.

1．有下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有(　　)

A．1个   B．2个

C．3个   D．4个

答案：D　

解析：①⑥⑦⑧都不是向量．

2．若a为任一非零向量，b为单位向量，则下列各式：

①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1；⑤＝b.

其中正确的是(　　)

A．①④⑤ B．③

C．①②③⑤ D．②③⑤

答案：B　

解析：|a|不一定大于1，|b|＝1，∴①④不正确；a与b不一定平行，故②不正确；是a方向上的单位向量，不一定平行于b，故⑤不正确．

3．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，的模为2，的模为3，的模为1，那么的模为________．

答案：　

解析：由三角形内角平分线的性质，得||∶||＝||∶||，故||＝.

4．七巧板，也称“七巧图”“智慧板”，是汉族民间流传的智力玩具．原为文人的一种室内游戏，后在民间演变为拼图板玩具．现在的七巧板是将一块正方形切割为五个等腰直角三角形、一个正方形和一个平行四边形，如图所示，试写出图中与，模长相等的向量．

解：与长度相等的向量有：，，，，，，，，，，，，，，；与长度相等的向量有：，，，，，，，，.

[误区警示一]　对向量有关概念理解不清致误

[示例]　给出下列四个命题

①若|a|＝0，则a＝0；

②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；

③若a∥b，则|a|＝|b|；

④a∥b，b∥c，则a∥c.

其中，正确的命题有(　　)

A.0个 B．1个 

C．2个 D．3个

[错解]　D

[错因分析]　对向量的有关概念的理解错误，将向量的模与绝对值混淆．①忽略了0与0的区别，a＝0；②混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等；④当b＝0时，a，c可以为任意向量，故a不一定平行于c.

[正解]　A(根据以上分析可得正确结论)．

[方法总结]　1.正确区别0与0

解题时，牢记向量是既有大小又有方向的量，如本例由|a|＝0可知a＝0，并不表示a＝0，之所以出现这个错误，是对零向量的概念理解不清．

2.正确理解向量的模

解题时，注意向量模相等与实数相等的区别，如本例，模相等只能说明它们的长度相等，但并不意味着它们的方向有关系．

3.正确理解向量平行

解题时，两向量平行或共线，也就是两个向量的方向

相同或相反，但它们的模的关系并不能确定，如本例，若不能正确理解两向量平行的意义，将会出现判断失误．

4.正确理解零向量

解决有关向量的平行或共线问题时要注意审清限制条件，我们规定零向量与任意向量平行或共线，如本例，若忽略了b＝0，则会出现判断失误.

[误区警示二]　向量夹角的概念理解不清致误

[示例2]　在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，则与的夹角θ＝________.

[错解]　由题意可知∠ACB即为两向量的夹角，所以θ＝30°.

[错因分析]　当两不共线向量求夹角时，一定要留意两向量是否从同一点出发，否则会造成误判．

[答案]　150°

[正解]　如图所示，延长AC至点D，使AC＝CD，则＝，此时∠BCD为与的夹角，故为150°.

[方法总结]　求两个向量的夹角时，应把这两个向量平移到起点重合的位置，若不便于平移，就需要作辅助线．两向量的夹角的范围是[0°，180°]，当两向量同向共线时，其夹角为0°；当两个向量反向共线时，其夹角为180°.