数学4.2 平面向量及运算的坐标表示导学案及答案

2.4.2　平面向量及运算的坐标表示

1.平面向量的坐标

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基．对于平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作＝a，有且只有一对实数x，y使得a＝xi＋yj，我们把实数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作a＝________________.

2.平面向量的坐标运算

3.向量平行的坐标表示

设a，b是非零向量，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．

(1)当a∥b时，有________．

(2)当a∥b且b不平行于坐标轴，即x2≠0，y2≠0时，有________．即若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例；若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行．

答案：1.(x，y)

2.(x1＋x2，y1＋y2)　(x1－x2，y1－y2)　(λx，λy)　(x2－x1，y2－y1)

3.(1)x1y2－x2y1＝0　＝

研习1  平面向量的坐标表示

[典例1]　在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标．

[自主记]

[分析]　题目的图示中给出了向量a，b，c的方向及与坐标轴的夹角，要想求出向量的坐标，则需先将向量a，b，c正交分解成横、纵坐标的形式，进而再写出它们的坐标表示．

[解]　设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，c＝(x3，y3)．

则x1＝|a|·cos 45°＝，y1＝|a|·sin 45°＝.

同理x2＝－，y2＝；x3＝2，y3＝－2.

所以a＝(，)，b＝，c＝(2，－2)．

[巧归纳]　1.向量的坐标表示实质上是向量的代数表示，引入向量的坐标表示后，可使向量运算代数化，将数和形紧密结合起来，从而使许多几何问题的证明转化为数量运算．

2.求点和向量坐标的常用方法

(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．

(1)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．

[练习1]　如图，已知在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和与的坐标．

解：由题意知，B，D分别是30°，120°角的终边与以点O为圆心的单位圆的交点．设B(x1，y1)，D(x2，y2)，由三角函数的定义，

得x1＝cos 30°＝，y1＝sin 30°＝，

所以B；

x2＝cos 120°＝－，y2＝sin 120°＝，

所以D.

所以＝，＝.

研习2  平面向量的坐标运算

[典例2]　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.

(1)求3a＋b－3c；

(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；

(3)求M，N的坐标及向量的坐标．

[自主记]

[分析]　先根据已知条件中点的坐标求出向量a，b，c的坐标，再利用向量坐标的运算法则进行计算求解．

[解]　由已知，得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．

(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．

(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，

∴解得

(3)设O为坐标原点，

∵＝－＝3c，

∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，

∴M(0,20)．

又∵＝－＝－2b，

∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，

∴N(9,2)．∴＝(9，－18)．

[巧归纳]　向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．

其主要运算法则为：

(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及数乘的运算法则进行．

(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，用终点坐标对应减去起点坐标，然后再进行向量的坐标运算．

(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．

[练习2]　1.已知平面向量a＝(0,1)，b＝(－1,2)，则向量2a－b等于(　　)

A.   B.

C.   D.

答案：D　

解析：2a－b＝2(0,1)－(－1,2)

＝(0,2)－＝.

2.平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC延长至E，使||＝||，则点E的坐标为________．

答案：　

解析：∵＝，∴A为BC中点，∴点C坐标为(3，－6)，又||＝||，且E在DC的延长线上，∴＝－，设E(x，y)，则(x－3，y＋6)＝－(4－x，－3－y)．

∴解得

∴点E的坐标为.

研习3  向量共线的坐标表示及运算

[典例3]　(1)若向量a＝(，1)，b＝(0，－2)，则与a＋2b共线的向量可以是(　　)

A.(，－1) B．(－1，－)

C.(－，－1) D．(－1，)

(2)已知a＝(2,1)，b＝(3，－4)，当λ为何值时，λa－b与a＋2b平行？平行时，它们是同向还是反向？

[自主记]

(1)[分析]　利用向量a，b的坐标计算出a＋2b的坐标，再结合选项给出正确结论．

[答案]　D

[解析]　因为a＋2b＝(，1)＋2(0，－2)＝(，－3)，

所以×－(－1)×(－3)＝0，

所以(－1，)与a＋2b是共线的向量．

(2)[分析]　先求出λa－b与a＋2b的坐标表示，再根据向量平行条件构造关于λ的方程，求出λ的值，最后由λ与0的大小关系判断方向．

[解]　λa－b＝λ(2,1)－(3，－4)

＝(2λ，λ)－(3，－4)＝(2λ－3，λ＋4)，

a＋2b＝(2,1)＋2(3，－4)＝(2,1)＋(6，－8)＝(8，－7)．

∵(λa－b)∥(a＋2b)，

∴8(λ＋4)＋7(2λ－3)＝0，解得λ＝－.

∴－a－b＝＝，

即λa－b＝－(a＋2b)．

故当λ＝－时，λa－b与a＋2b平行，且两向量方向相反．

[巧归纳]　1.向量共线的判定方法

(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)得出a∥b.

(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0进行判断．

2.利用向量共线的坐标运算可证明三点共线问题及线线平行问题等．

[练习3]　已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝(　　)

A.(－2，－4) B．(－3，－6)

C.(－4，－8) D．(－5，－10)

答案：C　

解析：由a∥b⇒m＝－4，得b＝(－2，－4)，

所以2a＋3b＝(－4，－8)，故选C.

1.已知向量a＝(－3,3)，b＝(3，x)，若a与b共线，则x等于(　　)

A.－3 B．3

C.1 D．－1

答案：A　

解析：因为a与b共线，则－3x－3×3＝0，解得x＝－3.

2.已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，c＝(11,7)，若c＝ka＋lb，则k，l的值为(　　)

A.－2,3 B．－2，－3

C.2，－3 D．2,3

答案：D　

解析：∵a＝(1,2)，b＝(3,1)，c＝(11,7)，∴(11,7)＝k(1,2)＋l(3,1)．即解得k＝2，l＝3.

3.已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)．若λa＋ub与a＋b共线，则λ与u的关系为________．

答案：λ＝u　

解析：∵a＝(1,2)，b＝(－2,3)，

∴a＋b＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，

λa＋ub＝λ(1,2)＋u(－2,3)＝(λ－2u,2λ＋3u)．

又∵(λa＋ub)∥(a＋b)，

∴(－1)×(2λ＋3u)－5(λ－2u)＝0.∴λ＝u.

4.平面内给定三个向量：a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．

(1)求3a＋b－2c；

(2)求满足a＝mb＋nc的实数m和n；

(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.

解：(1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．

(2)∵a＝mb＋nc，m，n∈R，

∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．

∴解得∴m＝，n＝.

(3)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)．

又∵(a＋kc)∥(2b－a)，

∴(3＋4k)×2－(－5)×(2＋k)＝0.∴k＝－.

[规范解题]　利用向量共线证明线线平行

[示例]　已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，且＝，＝，求证：EF∥AB.

[条件分析]　欲证明结论中的EF∥AB需从两点入手：一是证明∥，二是强调EF∥AB无公共点．利用条件求出点E，F坐标，然后由向量共线的坐标运算x1y2－x2y1＝0，得∥.

[规范解答]　设E(x1，y1)，F(x2，y2)，

由题意，得＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)．

∵＝，∴＝.

∵＝，∴＝.

　　∵(x1＋1，y1)＝，∴E.

∵(x2－3，y2＋1)＝，∴F.

∴＝.

又∵4×－×(－1)＝0，∴∥.

又∵EF与AB无公共点，∴EF∥AB.

[题后总结]

1.注意区别向量平行与线线平行的联系与区别，两向量平行时，只有两向量所在的直线无公共点时，才有两直线平行，应用此知识点时一定要细心．

2.有关向量的坐标运算一定要准确．熟练的掌握和应用向量的坐标的线性运算法则是解决好此类问题的基本前提．