北师大版 (2019)2.1 两角和与差的余弦公式及其应用学案设计

3.2　两角和与差的三角函数公式

3.2.1　两角和与差的余弦公式及其应用

两角差的余弦公式

答案：cos αcos β＋sin αsin β，cos αcos β－sin αsin β

研习1  给角求值

[典例1]　(1)cos 165°＝(　　)

A.   B．－

C.－ D．－

(2)cos(35°－α)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝________.

[自主记]

(1)[分析]　将165°写为180°－15°，利用诱导公式化简，再拆角求值．

[答案]　C

[解析]　cos 165°＝cos(180°－15°)

＝－cos 15°＝－cos(60°－45°)

＝－(cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°)

＝－，故选C.

(2)[分析]　逆用公式时，要检查名称、检查角、检查运算符号是否符合公式的要求，不符合的要先变形调整．

[答案]　

[解析]　原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]

＝cos(－60°)＝cos 60°＝.

[巧归纳]　利用两角差的余弦公式求值的一般思路

(1)把非特殊角转化为特殊角的差，用公式直接求解，如15°＝45°－30°＝60°－45°.

(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式右边形式，然后逆用公式求值.

[练习1]　求下列各式的值：

(1)cos 80°cos 35°＋cos 10°cos 55°；

(2)cos 86°cos 34°－sin 34°sin 86°.

解：(1)原式＝cos 80°cos 35°＋sin 80°sin 35°

＝cos(80°－35°)

＝cos 45°

＝.

(2)原式＝cos 86°cos 34°－sin 86°sin 34°

＝cos(86°＋34°)

＝cos 120°

＝－

研习2  给值求值

[典例2]　(1)已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，求α＋β.

(2)已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos 2β.

[自主记]

[分析]先求出α＋β的某个三角函数值，再由其范围确定该角.

[解]　α，β为锐角且sin α＝，cos β＝，

故cos α＝＝＝，

sin β＝＝＝，

故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β

＝×－×＝.

由0＜α＜，0＜β＜得0＜α＋β＜π，

又cos(α＋β)＞0，所以α＋β为锐角，

所以α＋β＝.

(2)[分析]　从条件和待求的问题中发现角与角之间的关系：2β＝(α＋β)－(α－β)．

[解]　∵<β<α<，

∴0<α－β<，π<α＋β<.

∴sin(α－β)＝

＝＝，

cos(α＋β)＝－

＝－＝－，

cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]

＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)

＝－×＋×＝－.

[巧归纳]　在解决三角函数的给值求值问题时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角．

常见的角的变换有：

α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)＝(α－β)＋β；

α＝＋＝－；

＝－等．

解题过程中常结合同角的基本关系式，此时一定要注意角的取值范围.

[练习2]　1.已知α，β为锐角，cos(α＋β)＝，cos(2α＋β)＝，求cos α的值．

解：∵α，β为锐角，则0<α＋β<π，0<2α＋β<π.

又∵cos(α＋β)＝，∴0<α＋β<.

又∵cos(2α＋β)＝，∴0<2α＋β<，

∴sin(α＋β)＝，sin(2α＋β)＝，

cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]

＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β)

＝×＋×＝.

2.已知cos＝－，sin＝，且<α<π，0<β<，求cos的值．

解：∵<α<π，∴<<.

∵0<β<，∴－<－β<0，－<－<0.

∴<α－<π，－<－β<.

又cos＝－<0，sin＝>0，

∴<α－<π，0<－β<，

∴sin＝＝，

cos＝＝.

cos＝cos

＝coscos＋sin·sin＝×＋×＝.

研习3  给值求角

[典例3]　(1)若sin α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β都是锐角，则β＝(　　)

A.  B.  C.  D.

(2)已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．

[自主记]

(1)[分析]　先由条件确定β的余弦值，再结合β的范围求出β的值．

[答案]　A

[解析]　∵sin α＝，α是锐角，∴cos α＝.

又α，β都是锐角，cos(α＋β)＝－，

∴<α＋β<π.∴sin(α＋β)＝.

cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝×＋×＝.

∵β为锐角，∴β＝.故选A.

(2)[分析]　由条件可知β＝α－(α－β)，利用两角差的余弦公式先确定cos β，再结合β的取值范围求解．

[解]　由cos α＝，0<α<，得

sin α＝＝＝.

由0<β<α<，得0<α－β<.

又∵cos(α－β)＝，

∴sin(α－β)＝

＝＝.

由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]

＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)

＝×＋×＝.

∵0<β<，∴β＝.

[巧归纳]　解答“已知三角函数值求角”这类题目，关键在于合理运用公式并结合角的范围，对所求的解进行取舍，其关键环节有两个：一是求出所求角的某种三角函数值，为防止增根，一般选取在上述范围内具有单调性的三角函数．二是确定角的范围，然后结合三角函数取值及角的范围求角.

[练习3]　已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求β的值．

解：由α－β∈，且cos(α－β)＝－，

得sin(α－β)＝.

由α＋β∈，且cos(α＋β)＝，

得sin(α＋β)＝－，

cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]

＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)

＝×＋×＝－1.

又∵α－β∈，α＋β∈，

∴2β∈，∴2β＝π，则β＝.

1.化简sin(x＋y)sin(x－y)＋cos(x＋y)cos(x－y)＝(　　)

A.sin 2x B．cos 2y

C.－cos 2x D．－cos 2y

答案：B　

解析：原式＝cos(x＋y)cos(x－y)＋sin(x＋y)sin(x－y)＝cos[(x＋y)－(x－y)]＝cos 2y.

2.已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，则cos(α－β)＝(　　)

A.   B.

C. D．－

答案：D　

解析：由已知，得(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝2＋2＝1，

∴2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1，

即2＋2cos(α－β)＝1.∴cos(α－β)＝－.

3.计算：sin 60°＋cos 60°＝________.

答案：　

解析：原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°·cos 60°

＝cos(60°－30°)＝cos 30°＝.

4.已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0,0<φ<π，x∈R)的最大值是1，其图象经过点M.

(1)求f(x)的解析式；

(2)已知α，β∈，且f(α)＝，f(β)＝，求f(α－β)的值．

解：(1)由题意，知A＝1，则f(x)＝sin(x＋φ)．

将点M代入，得sin＝.

而0<φ<π，∴＋φ＝π，∴φ＝，

故f(x)＝sin＝cos x．

(2)由题意，有cos α＝，cos β＝.

∵α，β∈，

∴sin α＝＝，sin β＝＝，

∴f(α－β)＝cos(α－β)＝cos αcos β＋sin α·sin β

＝×＋×＝.

[误区警示]　忽略讨论角的取值范围失误

[示例]　已知在△ABC中，sin(A＋B)＝，cos B＝－，求cos A的值．

[错解]　错解一：∵cos A＝cos[(A＋B)－B]

＝cos(A＋B)cos B＋sin(A＋B)sin B，

又sin B＝＝，

cos(A＋B)＝＝，

∴cos A＝×＋×＝.

错解二：∵cos A＝cos[(A＋B)－B]

＝cos(A＋B)cos B＋sin(A＋B)sin B，

又sin B＝＝，

cos(A＋B)＝±＝±，

∴cos A＝±·＋·＝.

[错因分析]　两种错误解法均忽略了角取值范围的确定，事实上，cosβ＝－<0，所以B为钝角，A为锐角，即cos A>0，同时还要注意<A＋B<π.

 [正解]　在△ABC中，∵cos Β＝－，

∴<B<π，

sin B＝＝，

∵<B<A＋B<π，sin(A＋B)＝，

∴cos(A＋B)＝－＝－，

cos A＝cos[(A＋B)－B]

＝cos(A＋B)cos B＋sin(A＋B)sin B

＝×＋×

＝.

[方法总结]　根据三角函数值求角求值时，一定要注意角的取值范围，不可盲目的下结论．当在三角形中考查时，还要注意其自身的限制条件，如A，B，C∈(0，π)，A＋B＋C＝π，大边对大角等.