高中数学北师大版 (2019)必修 第二册2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用导学案

3.2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用

1.两角和与差的余弦公式

2.两角和与差的正弦公式

3.两角和与差的正切公式

答案：1.cos αcos β－sin αsin β　cos αcos β＋sin αsin β

2.sin αcos β＋cos αsin β　sin αcos β－cos αsin β

3.　

研习1  给角求值

[典例1]　(1)tan 10°tan 20°＋(tan 10°＋tan 20°)＝(　　)

A. B．1 

C.   D.

(2)sin 15°＋cos 165°＝________.

[自主记]

(1)[分析]　对正切公式tan(α＋β)＝中的tan α＋tan β与tan αtan β进行相关转换．

[答案]　B

[解析]　∵＝tan 30°＝，

∴tan 10°＋tan 20°＝(1－tan 10°·tan 20°)．

∴原式＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1.

(2)[分析]　对式子中的15°与165°如何进行转化是解题关键．

[答案]　－

[解析]　sin 15°＝sin(45°－30°)，

cos 165°＝－sin 75°＝－sin(45°＋30°)．

则原式＝sin(45°－30°)－sin(45°＋30°)

＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°－(sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°)＝－2cos 45°sin 30°＝－2××＝－.

[巧归纳]　1.解决这类问题的关键是将非特殊角的三角函数求值问题转化为特殊角的三角函数求值问题，将非特殊角转化为特殊角的和与差的形式，再利用公式求解．

2.公式Tα±β的逆用及变形应用的解题策略

(1)“1”的代换：在Tα±β中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan 45°来代换，以达到化简求值的目的．

如＝tan，＝tan.

(2)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan αtan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式.

[练习1]　1.sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)＝________.

答案：　

解析：原式＝sin(x＋27°)·cos(18°－x)＋cos(27°＋x)sin(18°－x)＝sin[(x＋27°)＋(18°－x)]＝sin 45°＝.

2.tan 20°＋tan 40°＋ tan 20°tan 40°＝________.

答案：　

解析：原式＝(1－tan 20°tan 40°)·tan 60°＋tan 20°·tan 40°＝.

研习2  给值求值

[典例2]　(1)若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝(　　)

A.－  B.  C．－  D.

(2)已知函数f(x)＝2sin，x∈R.

①求f的值；

②设α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．

[自主记]

(1)[分析]　根据角α的取值范围先确定sin α的值，再结合两角和的正弦公式求解．

[答案]　A

[解析]　因为cos α＝－，α是第三象限的角，

所以sin α＝－，

所以sin＝sin αcos＋cos α·sin

＝×＋×＝－.

(2)[分析]　①代角求值．②结合诱导公式利用两角和的余弦公式化简求值．

[解]　①由题设，知f＝2sin

＝2sin＝.

②由题设，知＝f＝2sin α，

＝f(3β＋2π)＝2sin＝2cos β，

即sin α＝，cos β＝，又α，β∈，

∴cos α＝，sin β＝，

∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β

＝×－×＝.

[巧归纳]　给式(值)求值的解题策略

解此类问题的关键是建“所求角”与“已知角”的关系．

(1)当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式．

(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．

(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式.

[练习2]　1.已知cos α＝，sin(α－β)＝－，且α，β∈，求sin β的值．

解：因为cos α＝，α∈，所以sin α＝.

又因为α，β∈，所以α－β∈.

因为sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.

所以sin β＝sin[α－(α－β)]

＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)

＝×－×＝.

2.已知tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，求tan 2α，tan 2β，　tan.

解：tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]

＝＝＝－，

tan 2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]

＝＝＝，

tan＝＝＝.

研习3  给值求角

[典例3]　已知sin α＝，sin β＝，且α，β为锐角，求α＋β的值．

[自主记]

[分析]　先确定α＋β的某一个三角函数值，再结合角的取值范围确定角的取值．

[解]　∵α，β为锐角，sin α＝，sin β＝，

∴cos α＝＝，

cos β＝＝，

∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β

＝×＋×＝，

∵0<<，α为锐角，∴0°<α<30°，

同理0<β<30°，∴0°<α＋β<60°，∴α＋β＝45°.

[巧归纳]　求一个角的值，可分以下三步进行：

(1)求角的某一三角函数值；

(2)确定角所在的范围(找区间)；

(3)确定角的值.

[练习3]　1.已知向量a＝(sin α，cos α)，向量b＝(cos β，sin β)，α，β都是锐角，且a∥b，则α＋β＝________.

答案：　

解析：∵a∥b，∴sin αsin β－cos αcos β＝0，

∴cos(α＋β)＝0，又∵α，β∈，∴α＋β＝.

2.已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的大小．

解：tan α＝tan[(α－β)＋β]＝

＝＝，而α∈(0，π)，∴α∈，

又∵tan β＝－，β∈(0，π)，∴β∈，

∴－π<α－β<0，

∵tan(α－β)＝>0，

∴－π<α－β<－，

∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)，

从而tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]

＝＝＝1.

∴2α－β＝－.

1.计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案：A　

解析：sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°＝sin(43°－13°)＝sin 30°＝，故选A.

2.在△ABC中，已知sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B≥1，则△ABC是(　　)

A.锐角三角形 B．钝角三角形

C.直角三角形 D．等腰非直角三角形

答案：C　

解析：由题设知，sin[(A－B)＋B]≥1，

∴sin A≥1，又∵sin A≤1，∴sin A＝1，即A＝，

∴△ABC是直角三角形.

3.在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C＝　(　　)

A.－   B. 

C. D．－

答案：B　

解析：由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，

可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，

∵A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝，则C＝，

∴cos C＝.

4.已知tan＝2，则＝________.

答案：　

解析：由tan＝＝2，得tan α＝.

于是＝

＝＝＝.

[综合应用]　函数f(x)＝asin x＋bcos x的性质的应用　　[示例1]　已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝(　　)

A.－1 B．－ 

C. D．1

[思路点拨]　将sin α－cos α化成Asin(ωx＋φ)的形式(即利用两角和与差的正余弦公式的逆运用)，求出角α.

[答案]　A

[解析]　∵sin α－cos α＝，

∴sin＝，

∴sin＝1.

又∵0<α<π，

∴－<α－<，

∴α－＝，

解得α＝，tan α＝－1.故选A.

[示例2]　若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<.

(1)把f(x)化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)或f(x)＝Acos(ωx＋φ)的形式；

(2)判断f(x)在上的单调性，并求f(x)的最大值．

[思路点拨]　将条件中的切化弦结合asin x＋bcos x进行化简，再根据三角函数的性质进行求解．

[解析]　(1)f(x)＝(1＋tan x)cos x

＝cos x＋sin x

＝2

＝2sin.

(2)∵0≤x<，∴≤x＋<，

令t＝x＋，则f(t)＝2sin t在上单调递增，在上单调递减．

∴f(x)在上单调递增，在上单调递减．

∴当x＋＝，即当x＝时，f(x)有最大值2.