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北师大版 (2019)必修 第二册3.2 半角公式导学案
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3.3.2 半角公式新课程标准学业水平要求能运用半角公式进行简单的恒等变换1.能通过二倍角公式推导出半角公式.(逻辑推理)2.了解半角公式的结构形式,并能利用公式解决简单的求值问题.(数学运算)3.进一步掌握三角恒等变换的公式,并能利用公式解决化简、求值及证明问题.(逻辑推理、数学运算) 课前篇·自主学习预案 半角公式 课堂篇·研习讨论导案研习1 三角函数的求值问题 [典例1] (1)已知θ为第二象限角,sin(π-θ)=,则cos的值为( )A. B. C.± D.±(2)已知sin θ=,且<θ<3π.求cos和tan的值.[自主记](1)[分析] 判断所在的象限,结合倍角与半角的关系,利用公式化简求值.[答案] C[解析] ∵θ为第二象限角,∴为第一、三象限角,∴cos的值有两个.由sin(π-θ)=,可知sin θ=,∴cos θ=-,∴2cos2=,∴cos=±.(2)[分析] 结合角的范围先求出cos θ的取值,然后利用倍角公式进行合理变形,进而求出函数值.[解] ∵sin θ=,<θ<3π,∴cos θ=-=-.∵cos θ=2cos2-1,∴cos2=.又<<,∴cos=-=-=-.tan=====2.[巧归纳] 对于给值求值问题,其关键是找出已知式与所求式之间的角、运算及函数的差异,一般需适当变换已知式或变换所求式,建立已知式与所求式之间的联系,应注意“配角”方法的应用.使用半角公式时注意根号前的符号是由所在象限决定的,对于半角正切公式用有理表达式可省去符号判断过程.[练习1] 已知sin α=-且π<α<,求sin,cos,tan的值.解:∵sin α=-,π<α<,∴cos α=-.又<<,∴sin===,cos=-=-=-,∴tan==-4.研习2 三角函数式的化简与证明[典例2] (1)化简·的结果为( )A.tan α B.tan 2α C.1 D.(2)求证:tan-tan=.[自主记](1)[分析] 利用倍角公式进行化简.[答案] B[解析] 原式=·=tan 2α.(2)[分析] 可以从左向右证明,从函数名称入手考虑,将函数名称统一为弦;也可以从右向左证明,从角入手考虑,注意到x=-,2x=+,从消除等式两边角的差异入手考虑.[证明] 证法一:tan-tan=-=====.证法二:===-=tan-tan.[巧归纳] 1.对于三角函数式的化简有下面的要求:(1)能求出值的应求出值.(2)使三角函数种数尽量少.(3)使三角函数式中的项数尽量少.(4)尽量使分母不含有三角函数.(5)尽量使被开方数不含三角函数.2.在三角恒等式的证明中,化繁为简是化简三角函数式的一般原则,按照目标确定化简思路,由复杂的一边化到简单的一边.如果两边都比较复杂,也可以采用左右归一的方法(即证明等号两侧都等于同一个式子).3.化简与证明的常用方法:(1)“切”化“弦”.(2)降幂或升幂.(3)异角化同角,异次化同次,异名化同名.[练习2] 1.化简:(0<θ<π).解:原式===-.∵0<θ<π,∴0<<,∴cos>0,∴原式=-cos θ.2.求证:=sin 2α.证明:证法一:左边====cos αsincos=sin αcos α=sin 2α=右边.∴原式成立.证法二:左边==cos2α·=cos2αtanα=cos αsin α=sin 2α=右边.∴原式成立.研习3 三角恒等变换的应用[典例3] 已知函数f(x)=sin2x+asin xcos x-cos2x,且f=1.(1)求常数a的值及f(x)的最小值;(2)当x∈时,求f(x)的单调增区间.[自主记][分析] (1)利用f=1求得a,再将函数f(x)的解析式化为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式后求出最小值;(2)利用(1)求出函数f(x)在R上的单调增区间,再与取交集.[解] (1)∵f=1,∴sin2+asincos-cos2=1,解得a=2.∴f(x)=sin2x+2sin xcos x-cos2x=sin 2x-cos 2x=sin.当2x-=2kπ-(k∈Z),即x=kπ-(k∈Z)时,sin有最小值-1,则f(x)的最小值为-.(2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),整理,得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).又x∈,则0≤x≤.∴f(x)的单调增区间是.[巧归纳] 对y=asin ωx+bcos ωx的性质的讨论,关键是利用三角函数的和、差、倍角公式化成f(x)=Asin(ωx+φ)的形式,然后借助于三角函数的图象及性质去研究f(x)的相应性质,解答过程中一定要注意公式的合理应用,以免错用公式,导致化简失误.[练习3] 已知函数f(x)=2cos2-sin x.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域;(2)若α为第二象限角,且f=,求的值.解:(1)因为f(x)=1+cos x-sin x=1+2cos,所以函数f(x)的最小正周期为2π,值域为[-1,3].(2)因为f=,所以1+2cos α=,即cos α=-.又因为α为第二象限角,所以sin α=.因为===,所以原式===. 达标篇·课堂速测演习1.若cos α=,且α∈(0,π),则cos+sin=( )A. B.C. D.答案:B 解析:∵cos α=,且α∈(0,π),∴∈.∴cos====,sin===.∴cos+sin=+=.2.已知sin θ+cos θ=,且≤θ≤,则cos 2θ=________.答案:- 解析:∵sin θ+cos θ=,∴(sin θ+cos θ)2=,即sin 2θ=-,又∵≤θ≤,∴π≤2θ≤.∴cos 2θ=-=-=-.3.设α为锐角,若cos=,则sin=________.答案: 解析:∵α为锐角,cos=,∴sin=,sin=2sincos=,cos=2cos2-1=,∴sin=sin==.4.已知函数f(x)=cos,x∈R.(1)求f的值;(2)若cos θ=,θ∈,求f.解:(1)f=cos=cos=cos =1.(2)f=cos=cos=cos 2θ-sin 2θ.因为cos θ=,θ∈,所以sin θ=-.所以sin 2θ=2sin θcos θ=-,cos 2θ=cos2θ-sin2θ=-.所以f=cos 2θ-sin 2θ=--=.[误区警示] 忽略对参数的讨论致误[示例] 若函数f(x)=a+b,当x∈[0,π]时,f(x)的值域是[3,4],则a,b的值分别是________.[错解] [错因分析] 本题容易不对a进行讨论,而是思维定式认为a是正数,导致漏解.[答案] 或[正解] f(x)=a+b=asin+a+b, x∈[0,π]时,sin∈.当a>0时,f(x)∈[b,a+a+b],此时解得当a<0时,f(x)∈[a+a+b,b],此时解得综上可得,或[题后反思] 应用倍角公式对已知函数式进行化简,进而讨论f(x)=Asin(ωx+φ)的值域,因为所给条件中没有对a与0的大小做出限定,因而需要分情况讨论,题中的错解原因是忽视了对参数a的讨论而导致了漏解.
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