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高中数学北师大版 (2019)必修 第二册1.1 复数的概念导学案
展开这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册1.1 复数的概念导学案,共8页。
第四章 数系的扩充与复数的引入
4.1 复数的概念及其几何意义
4.1.1 复数的概念
新课程标准 | 学业水平要求 |
1.通过方程的解认识复数. 2.理解两个复数相等的含义. 3.理解复数的代数表示及其几何意义. | 1.了解引进虚数单位i的必要性,了解数集的扩充过程.(数学抽象) 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.(数学抽象) 3.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数,及它们之间的一一对应关系.(直观想象) 4.掌握实轴、虚轴、模等概念.(数学抽象) 5.掌握用向量的模表示复数模的方法.(数学运算) 6.掌握复数代数形式的表示方法,理解复数相等的充要条件.(数学运算) 7.能够综合应用复数的概念与几何意义解决相关问题.(数学运算) |
课前篇·自主学习预案 |
1.虚数单位
为了使得像方程x2=-1有解,我们引进一个新数i,叫作________,并规定:
(1)它的平方等于-1,即i2=-1;
(2)实数与它进行四则运算时,原有的________________仍然成立.
2.复数的概念及表示
形如a+bi(其中a,b∈R)的数叫作________,通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a称为复数z的________,记作Re z,b称为复数z的________,记作Im z.
3.复数的分类
复数a+bi(a,b∈R)
4.复数集
全体复数构成的集合称为复数集,记作C.
显然RC.
5.两个复数相等
两个复数a+bi与c+di(a,b,c,d∈R)相等定义为:它们的实部相等且虚部相等,即:a+bi=c+di当且仅当a=c且b=d.
答案:1.虚数单位 (2)加法、乘法运算律
2.复数 实部 虚部
课堂篇·研习讨论导案 |
研习1 复数的概念和分类
[典例1] (1)下列命题中,正确命题的个数是( )
①若x,y∈C,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1;
②若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i;
③若x2+y2=0,则x=y=0;
④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零;
⑤-1没有平方根;
⑥若a∈R,则(a+1)i是纯虚数.
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)(2020·重庆高二检测)已知复数z=+(a2-1)i是实数,则实数a的值等于________.
[自主记]
(1)[答案] A
[解析] ①由于x,y∈C,所以x+yi不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的充要条件,①是假命题.②由于两个虚数不能比较大小,∴②是假命题.
③当z=1,y=i时,x2+y2=0成立,∴③是假命题.因为复数为纯虚数要求实部为零,虚部不为零,故④错;因为-1的平方根为±i,故⑤错;当a=-1时,(a+1)i是实数0,故⑥错.
(2)[答案] -1
[解析] 因为复数z=+(a2-1)i是实数,且a为实数,则解得a=-1.
[巧归纳] 1.判断与复数有关的命题是否正确的方法
(1)举反例:判断一个命题为假命题,只要举一个反例即可,所以解答这种类型的题时,可按照“先特殊,后一般,先否定,后肯定”的方法进行解答.
(2)化代数形式:对于复数实部、虚部的确定,不但要把复数化为a+bi的形式,更要注意这里a,b均为实数时,才能确定复数的实、虚部.
提醒:解答复数概念题,一定要紧扣复数的定义,牢记i的性质.
2.解决复数分类问题的方法与步骤
(1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.
(2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(组)或不等式(组)即可.
(3)下结论:设所给复数为z=a+bi(a,b∈R),
①z为实数⇔b=0;
②z为虚数⇔b≠0;
③z为纯虚数⇔a=0且b≠0.
[练习1] 1.已知z=log2(1+m)+ilog(3-m)(m∈R),若z是虚数,求m的取值范围.
解:∵z是虚数,
∴log(3-m)≠0,且1+m>0,即
∴-1<m<2或2<m<3.
∴m的取值范围是(-1,2)∪(2,3).
2.实数m取何值时,复数z=+(m2-2m-15)i是①实数?②虚数?③纯虚数?
解:①当即
即m=5时,z是实数.
②当即
即m≠5且m≠-3时,z是虚数.
③当即
即m=-2或m=3时,z是纯虚数.
研习2 复数相等的充要条件
[典例2] (1)已知a2+(m+2i)a+2+mi=0(m∈R)成立,则实数a=________.
(2)关于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有实根,求实数a的值.
[自主记]
(1)[答案] ±
[解析] 因为a,m∈R,所以由a2+am+2+(2a+m)i=0,可得
解得或所以a=±.
(2)[解] 设方程的实数根为x=m,
则3m2-m-1=(10-m-2m2)i,
∴解得a=11或a=-.
[巧归纳] 应用复数相等的充要条件时,要注意:
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组.
(2)利用这一结论,可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式,为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现,这一思想在解决复数问题中非常重要.
[练习2] (1)复数z1=(2m+7)+(m2-2)i,z2=(m2-8)+(4m+3)i,m∈R,若z1=z2,则m=________.
(2)已知A={1,2,a2-3a-1+(a2-5a-6)i},B={-1,3},A∩B={3},求实数a的值.
(3)已知关于实数x,y的方程组
有实数解,则实数a,b的值分别为________.
答案:(1)5 (2)见解析 (3)1,2
解析:(1)因为m∈R,z1=z2,所以(2m+7)+(m2-2)i=(m2-8)+(4m+3)i.由复数相等的充要条件得解得m=5.
(2)由题意知,a2-3a-1+(a2-5a-6)i=3(a∈R),
所以即所以a=-1.
(3)由①可得解得 ③
把③代入②得5+4a-(6+b)i=9-8i且a,b∈R,
∴解得
达标篇·课堂速测演习 |
1.下列命题中,是假命题的为( )
A.自然数集是非负整数集
B.实数集与虚数集的交集为{0}
C.实数集与复数集的交集为实数集
D.纯虚数集与实数集的交集为空集
答案:B
解析:由复数的分类知选B.
2.以3i-的虚部为实部,以3i2+i的实部为虚部的复数是 ( )
A.3-3i B.3+i
C.-+i D.+i
答案:A
解析:3i-的虚部为3,3i2+i=-3+i的实部为-3,故选A.
3.下列命题中
①若x,y∈C,则x+yi=2+i的充要条件是x=2,y=1;
②纯虚数集相对复数集的补集是虚数集;
③若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,则z1=z2=z3.
正确的命题个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
答案:A
解析:①x,y∈C,x+yi不一定是代数形式,
故①错.②③错.故选A.
4.若log2(x2-2x-2)+ilog2(x2+2x+1)>0,则实数x的值为________.
答案:-2
解析:由题意得
即即∴x=-2.
5.若m为实数,z1=m2+1+(m3+3m2+2m)i,z2=4m+2+(m3-5m2+4m)i,那么使z1>z2的m值的集合是什么?使z1<z2的m值的集合又是什么?
解:当z1∈R时,m3+3m2+2m=0,
m=0,-1,-2,z1=1或2或5.
当z2∈R时,m3-5m2+4m=0,
m=0,1,4,z2=2或6或18.
上面m的公共值为m=0,
此时z1与z2同时为实数,
此时z1=1,z2=2.
所以z1>z2时m值的集合为空集,
z1<z2时m值的集合为{0}.
[误区警示] 忽视判别式的使用条件而出错
[典例] 求实数k,使方程x2+(k+2i)x+2+ki=0至少有一个实根.
[错解] 判别式Δ=(k+2i)2-4(2+ki)=k2-12,
由k2-12≥0,解得k≥2或k≤-2,
故当k≥2或k≤-2时,方程至少有一个实根.
[易错分析] 实系数一元二次方程根的情况,可以用判别式来判断,但本题是复系数一元二次方程,判别式就不起作用了,必须遵循复数的运算法则及规律来处理.
[正解] 设方程一实根为a,则有a2+(k+2i)a+2+ki=0,
由复数相等的定义可得解得k=±2,
因此当k=±2时,原方程至少有一个实根.
[防范措施] 对于复系数的一元二次方程,方程有实根,不能使用Δ≥0,而应设出实根代入,然后利用复数相
等的条件解出,这与实系数一元二次方程的解法是有区别的.
[类题试解]
已知a,b,c,d∈R,方程x2+(a+bi)x+c+di=0,当a,b,c,d满足什么条件时,该方程有实数根?
解:原方程可整理为(x2+ax+c)+(bx+d)i=0.
(1)当b=d=0时,方程变为x2+ax+c=0,
当Δ=a2-4c≥0时,方程有实数根.
(2)当b,d不全为0时,设x0是方程的实数根,
则(x+ax0+c)+(bx0+d)i=0,
∴
当b≠0时,x0=-存在,则abd=d2+b2c.
综上可知,当b=d=0,且Δ=a2-4c≥0或b≠0,且abd=d2+b2c时,方程x2+(a+bi)x+c+di=0(a,b,c,d∈R)有实数根.
相关学案
这是一份高中数学7.1 复数的概念导学案,共6页。
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这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册1.1 复数的概念学案设计,共6页。