高中数学北师大版 (2019)必修 第二册1.2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台导学案

5.1.2　简单多面体棱柱、棱锥、棱台

课前篇·自主学习预案

1.空间几何体

2.棱柱、棱锥、棱台的结构特征

(1)棱柱的结构特征

(2)棱锥的结构特征

(3)棱台的结构特征

答案：1.平面多边形　顶点　棱　面　平面图形　定直线

轴

2.(1)互相平行　互相平行　侧面　侧棱　底面　顶点　平行　公共边　公共顶点

(2)多边形　公共顶点　公共顶点　侧面　公共顶点

(3)平行　截面　底面　公共边

课堂篇·研习讨论导案

研习1  几何体的概念

[典例1]　(1)(多项选择题)下列命题中，正确的命题是(　　)

A．有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱

B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形

C．四面体都是三棱锥

D.棱锥的各侧棱长相等

(2)下列说法中，正确的是(　　)

A．有一个面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥

B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台

C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形

D.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形

[自主记]

[答案]　(1)BC　(2)A

[解析]　(1)A错误，反例：将两个相同的斜平行六面体叠放；B正确，在长方体中可以截出；C正确；D不正确．故选BC．(2)由棱柱、棱锥的定义及其结构特征知，A正确，B，C，D错误．

研习2 　棱柱的结构特征

[典例2]　如图，将长方体ABCD－A′B′C′D′截去一部分，其中EH∥A′D′，剩下的几何体是什么？截去的几何体是什么？并说出它们的名称．

[解]　剩下的几何体是棱柱，截去的几何体也是棱柱；截面EFGH下方部分是五棱柱ABFEA′－DCGHD′，其中五边形ABFEA′和五边形DCGHD′是底面．截面上方部分是三棱柱EFB′－HGC′，其中△EFB′，△HGC′为底面．

[延伸探究]1.(变换条件)若本例中，截面如图所示为BCHE，则结论如何？

2.(变换条件)若本例中条件“EH∥A′D′”改为“使E与A′重合，F与B重合”，则结论又如何？

[自主记]

1.解：剩下的几何体是棱柱，截去的几何体也是棱柱；截面下方部分是四棱柱ABEA′－DCHD′，其中四边形ABEA′和四边形DCHD′是底面．截面上方部分是三棱柱BB′E－CC′H，其中△BB′E，△CC′H为底面．

2.解：剩下的几何体不是简单的几何体，截去的几何体是棱台．截去的几何体是三棱台HGC′－A′BB′，其中△HGC′，△A′BB′为棱台的底面．

[巧归纳]　棱柱结构特征的辨析技巧

(1)扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．

①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．

(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．

提醒：判断一个说法错误时，才用举反例的方法．

研习3  棱锥、棱台的结构特征

[典例3]　 如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，截去三棱锥A1－ABC，则剩余的部分是(　　)

A．三棱锥

B．四棱锥

C．三棱柱

D.五棱锥

[自主记]

[答案]　B

[解析]　剩余部分是以面BCC1B1为底面，A1为顶点的四棱锥.

研习4　多面体的展开图

[典例4]　如下图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？

[自主记]

[解]　由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：

所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．

[巧归纳]　立体图形的展开和平面图形的折叠

立体图形的展开或平面图形的折叠是培养空间立体感的较好方法，解此类问题可以结合常见几何体的定义和结构特征，进行空间想象或亲自动手制作侧面展开图进行实践.

达标篇·课堂速测演习

1.如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是(　　)

A．①③    B．②④

C．③④    D．①②

答案：C　

解析：可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.

2.棱锥的侧面和底面可以都是(　　)

A．三角形    B．四边形

C．五边形    D．六边形

答案：A　

解析：三棱锥的侧面和底面都是三角形.

3.一个棱锥至少由几个面构成(　　)

A．三个    B．四个

C．五个    D．六个

答案：B　

解析：在所有的棱锥中，只有三柱锥的面数最少，共4个面，故一个棱锥至少由四个面构成，故选B．

4.某棱台的上下底面对应边之比为1∶2.则上、下底面面积之比为________．

答案：1∶4　

解析：面积比等于相似比的平方.

[方法技巧]　多面体表面距离最短问题

表面距离最短问题，一般方法是展成平面图形，利用两点间距离最短来解决．

[示例]　如图所示，在侧棱长为2的正棱锥V－ABC中(底面为正三角形，过顶点与底面垂直的直线过底面的中心)，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面△AEF，求截面△AEF周长的最小值．

[思路点拨]　把正三棱锥的侧面展开成平面图形，当△AEF的各边在同一直线上时，其周长最小.

[解析]　将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图所示，

线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值．

取AA1的中点D，则VD⊥AA1，∠AVD＝60°，

可求AD＝3，则AA1＝6.

故截面△AEF周长的最小值为6.

[题后反思]　有关几何体的距离的最值问题有两类基本方法

(1)函数思想：设出变量，把所求距离写成关于变量的函数表达式，再利用函数方法求最值．

(2)转化思想：通过表面展开，转化为平面问题变曲为直，利用几何性质求解.