高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.1 直线与平面平行学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.1 直线与平面平行学案，共9页。
5.4　平行关系5.4.1　直线与平面平行新课程标准学业水平要求1.借助生活中的实物之间的位置关系，理解空间中直线与平面平行的位置关系．2．掌握用几何图形、数学符号表示空间直线与平面平行的位置关系.1.理解并掌握直线与平面平行的性质定理及应用．(直观想象、逻辑推理)2．理解并掌握直线与平面平行的判定定理，能利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行问题．(数学抽象、逻辑推理)3．能用图形、文字、符号三种语言描述直线与平面平行的性质定理、判定定理，理解其地位与作用．(直观想象、逻辑推理) 课前篇·自主学习预案1.直线与平面平行的性质定理文字叙述：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与________平行．符号表示：l∥α，l⊂β，α∩β＝a⇒l∥a.图形表示：2.直线与平面平行的判定定理文字叙述：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线________，那么该直线与此平面平行．符号表示：l⊄α，a⊂α，且l∥a⇒l∥α.图形表示：作用：证明直线与平面平行.答案：1.交线　2.平行课堂篇·研习讨论导案研习1  直线与平面平行性质定理的应用(直观想象、逻辑推理)[典例1]　1.设AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们的中点的平面和直线AC的位置关系是(　　)A．平行    B．相交C．平行或相交    D．AC在此平面内2.已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是(　　)A．b∥α    B．b与α相交C．b⊂α    D．b∥α或b与α相交3.如图所示，已知异面直线AB，CD都平行于平面α，且AB，CD在α的两侧，若AC，BD分别与α相交于M，N两点，求证：＝.[自主记]1.[答案]　A2.[答案]　D3.[解]　如图所示，连接AD，交平面α于点P，连接PM，PN.因为CD∥α，平面ACD∩α＝PM，所以CD∥PM，所以在△ACD中有＝.同理，在△DAB中，有＝，所以＝.[巧归纳]　如果已知条件中给出线面平行或隐含线面平行，那么在解决问题的过程中，一定会用到线面平行的性质定理．在应用性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行.研习2  直线与平面平行的判定(直观想象、逻辑推理)[典例2]　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.四步内容理解题意条件：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点．结论：EF∥平面AD1G.思路探求证明直线和平面平行，必须在平面内找到一条直线和此直线平行，关键找平行线．书写表达连接BC1，则由E，F分别是BC，CC1的中点，知EF∥BC1.又AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1.又EF⊄平面AD1G，AD1⊂平面AD1G，所以EF∥平面AD1G.注意书写的规范性：在立体几何中的证明问题，需要特别注意符号语言的规范性，证明线面平行，条件一定要写全，不能有遗漏．题后反思证明线面平行的关键是找到线线平行．[巧归纳]　应用判定定理证明线面平行的步骤上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：①空间直线平行关系的传递性法；②三角形中位线法；③平行四边形法；④线段成比例法．提醒：线面平行判定定理应用的误区(1)条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”．(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线.[练习1]　在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG.求证：EH∥BD.证明：因为EH∥FG，FG⊂平面BCD，EH⊄平面BCD，所以EH∥平面BCD.因为EH⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD.研习3  线面平行性质定理与判定定理的综合应用(直观想象、逻辑推理)角度1　利用线面平行的性质定理和判定定理证明平行关系[典例3]　求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．[自主记][证明]已知直线a，l，平面α，β满足α∩β＝l，a∥α，a∥β，求证：a∥l.证明如下：如图所示，过a作平面γ交平面α于b，因为a∥α，所以a∥b.同样过a作平面δ交平面β于c，因为a∥β，所以a∥c，则b∥c.又因为b⊄β，c⊂β，所以b∥β.又因为b⊂α，α∩β＝l，所以b∥l.又因为a∥b，所以a∥l.[变式探究]过正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1.求证：BB1∥EE1.证明：如图所示，因为CC1∥BB1，CC1⊄平面BEE1B1，BB1⊂平面BEE1B1，所以CC1∥平面BEE1B1.又因为平面CEE1C1过CC1且交平面BEE1B1于EE1，所以CC1∥EE1.由于CC1∥BB1，所以BB1∥EE1.角度2　由平行关系进行相关的计算[典例4]　如图所示，ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，求PQ的长．[自主记][解]　因为MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，MN⊂平面PMN.所以MN∥PQ，易知DP＝DQ＝，故PQ＝＝DP＝a.[巧归纳]　利用线面平行的判定和性质定理，可以完成线线平行与线面平行的相互转化.[练习2]　1.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E是AB的中点，点F在BC上，则BF等于多少时，EF∥平面A1C1D(　　)A．1       B．  C．   D．答案：B2.三棱锥S－ABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的位置关系是________．答案：平行　解析：如图，取BC中点F，连接SF.因为G为△ABC的重心，所以A，G，F共线且AG＝2GF.又因为AE＝2ES，所以EG∥SF.又SF⊂平面SBC，EG⊄平面SBC，所以EG∥平面SBC．3.如图所示，在空间四边形ABCD中，AC，BD为其对角线，E，F，G，H分别为AC，BC，BD，AD上的点，若四边形EFGH为平行四边形，求证：AB∥平面EFGH.证明：因为四边形EFGH为平行四边形，所以EF∥GH.因为GH⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，所以EF∥平面ABD.因为EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面ABD＝AB，所以EF∥AB．又因为AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，所以AB∥平面EFGH.达标篇·课堂速测演习1.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(　　)A．唯一一条直线不相交B．仅两条相交直线不相交C．仅一组平行直线不相交D.任意一条直线都不相交答案：D　2.若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为(　　)A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D.都平行或交于同一点答案：A　3.(教材二次开发：习题改编)已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是(　　)A．m∥α，m∥n⇒n∥αB．m∥α，n∥α⇒m∥nC．m∥α，m⊂β，α∩β＝n⇒m∥nD.m∥α，n⊂α⇒m∥n答案：C4.梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________．答案：CD∥α　解析：因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α.5.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC的中点，连接AD，DC1，A1B，AC1，求证：A1B∥平面ADC1.证明：如图，连接A1C，设A1C∩AC1＝O，连接OD.由题意知，A1ACC1是平行四边形，所以O是A1C的中点，又D是CB的中点，因此OD是△A1CB的中位线，即OD∥A1B．又A1B⊄平面ADC1，OD⊂平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1.