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高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第3章 §3 1 导数的概念及运算课件PPT
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这是一份高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第3章 §3 1 导数的概念及运算课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了考试要求，主干梳理基础落实，题型突破核心探究，课时精练，内容索引，导数的概念，f′x0或，αxα－1，cosx，－sinx等内容，欢迎下载使用。
1.通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率.了解导数概念的实 际背景.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.了解利用导数定义，求基本初等函数的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函 数的导数.5.能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数.
ZHUGANSHULI JICHULUOSHI
(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的导函数.简称导数，记作f′(x)或y′.2.导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 ，相应的切线方程为 .
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
3.基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有[f(x)±g(x)]′＝ ；[f(x)g(x)]′＝；
[cf(x)]′＝ .
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
5.复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝ .(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝ ，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
1.根据f′(x)的几何意义思考一下，随着|f′(x)|增大，曲线f(x)的形状有何变化？
提示 |f′(x)|越大，曲线f(x)的形状越来越陡峭.
2.函数f(x)在点P处的切线与函数f(x)过点P的切线有什么区别？
提示 在点P处的切线，点P一定是切点；过点P的切线，点P不一定是切点.
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )(2)f′(x0)＝[f(x0)]′.( )(3)f(x)在某点处的切线与f(x)过某点处的切线意义相同.( )(4)若f(x)＝2x，则f′(x)＝x·2x－1.( )
题组二 教材改编2.某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为A.9.1米/秒 米/秒C.3.1米/秒 米/秒
解析 h′(t)＝－9.8t＋8，∴h′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1.
3.已知函数f(x)＝xln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝ .
解析 f′(x)＝1＋ln x＋2ax，∴f′(e)＝2ae＋2＝0，
∴f′(1)＝e－1，又f(1)＝e＋1，∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.
题组三 易错自纠5.已知函数f(x)＝xcs x＋asin x在x＝0处的切线与直线3x－y＋1＝0平行，则实数a的值为 .
解析 f′(x)＝cs x＋x·(－sin x)＋acs x＝(1＋a)cs x－xsin x，∴f′(0)＝1＋a＝3，∴a＝2.
6.已知函数f(x)＝ln(3－2x)＋e2x－3，则f′(x)＝ .
TIXINGTUPO HEXINTANJIU
1.(多选)下列求导运算正确的是A.(sin a)′＝cs a(a为常数)B.(sin 2x)′＝2cs 2x
解析 ∵a为常数，∴sin a为常数，∴(sin a)′＝0，故A错误.由导数公式及运算法则知B，C，D正确，故选BCD.
3.已知函数f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，则a＝ .
∴f′(2)＝2＋ae－2－2ae－2＝2－ae－2＝1，则a＝e2.
4.(2020·葫芦岛模拟)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，f(x)＝2x2－3xf′(1)＋ln x，则f(1)＝ .
解析 ∵f(x)＝2x2－3xf′(1)＋ln x，
(1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错.(2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导.②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元.
题型二 导数的几何意义
命题点1 导数与函数图象例1 (1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是
解析 由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.
(2)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝ .
解析 由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－ ，
∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，
命题点2 求切线方程例2 (1)(2020·全国Ⅰ)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为A.y＝－2x－1 B.y＝－2x＋1C.y＝2x－3 D.y＝2x＋1
解析 f(1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)，f′(x)＝4x3－6x2，所以切线的斜率为k＝f′(1)＝4×13－6×12＝－2，切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.
(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为 .
解析 ∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，∴设切点为(x0，y0).又∵f′(x)＝1＋ln x，∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
命题点3 求参数的值(范围)例3 (1)(2019·全国Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则A.a＝e，b＝－1 B.a＝e，b＝1C.a＝e－1，b＝1 D.a＝e－1，b＝－1
解析 因为y′＝aex＋ln x＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)， 即y＝(ae＋1)x－1，
(2)(2020·淄博联考)若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是 .
解析 直线2x－y＝0的斜率k＝2，又曲线f(x)上存在与直线2x－y＝0平行的切线，
∴a≥4－2＝2.∴a的取值范围是[2，＋∞).
(1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”：在“点P处的切线”，说明点P为切点，点P既在曲线上，又在切线上；“过点P处的切线”，说明点P不一定是切点，点P一定在切线上，不一定在曲线上.
跟踪训练 (1)已知曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则P点的坐标为A.(1,3) B.(－1,3)C.(1,3)或(－1,3) D.(1，－3)
解析 设切点P(x0，y0)，f′(x)＝3x2－1，
∴x0＝±1，又切点P(x0，y0)在y＝f(x)上，
∴当x0＝1时，y0＝3；当x0＝－1时，y0＝3.∴切点P为(1,3)或(－1,3).
∴k＝y′|x＝0＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x－0)，即y＝2x－1，令x＝0，得y＝－1；
解析 f′(x)＝2e2x－2ex＋a，依题意知f′(x)＝3有两个实数解，即2e2x－2ex＋a＝3有两个实数解，即a＝－2e2x＋2ex＋3有两个实数解，令t＝ex，∴t>0，∴a＝－2t2＋2t＋3(t>0)有两个实数解，∴y＝a与φ(t)＝－2t2＋2t＋3(t>0)的图象有两个交点，
求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法.
例1 已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝ .
所以曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.因为y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，所以a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行).
由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.方法二 同方法一得切线方程为y＝2x－1.
因为y′＝2ax＋(a＋2)，
所以 ＝2ax0＋(a＋2).
例2 (2020·江南十校联考)已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为 .
解析 设l与f(x)＝ex的切点为(x1，y1)，
∴f′(x1)＝ ，
∴切点为(x1， )，
切线斜率k＝ ，
∴切线方程为y－ ＝ (x－x1)，
即y＝ ·x－ ＋ ，①
同理设l与g(x)＝ln x＋2的切点为(x2，y2)，
∴y2＝ln x2＋2，
切点为(x2，ln x2＋2)，
由题意知，①与②相同，
即(1－x1)( －1)＝0，
把③代入④有－ ＋ ＝－x1＋1，
解得x1＝1或x1＝0，当x1＝1时，切线方程为y＝ex；当x1＝0时，切线方程为y＝x＋1，综上，直线l的方程为y＝ex或y＝x＋1.
例3 已知曲线f(x)＝ln x＋1与g(x)＝x2－x＋a有公共切线，求实数a的取值范围.
解 设切线与f(x)＝ln x＋1相切于点P(x0，ln x0＋1)，
当x∈(0,1)时，φ′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)>0，∴φ(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴φ(x)min＝φ(1)＝4，又x→＋∞时，φ(x)→＋∞，故φ(x)的值域为[4，＋∞)，所以4a≥4，即a≥1，故实数a的取值范围是[1，＋∞).
KESHIJINGLIAN
1.下列求导运算正确的是
又f(1)＝1，且f′(1)＝－3，故所求切线方程为y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0.
2.(2021·安徽江南十校联考)曲线f(x)＝ 在点P(1，f(1))处的切线l的方程为A.x＋y－2＝0 B.2x＋y－3＝0C.3x＋y＋2＝0 D.3x＋y－4＝0
3.(2020·广元模拟)已知函数f(x)＝ x2＋cs x，则其导函数f′(x)的图象大致是
∴f′(x)为奇函数，排除B，D，
5.(多选)已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是A.f′(3)>f′(2)B.f′(3)f′(3)D.f(3)－f(2)
由图知f′(3)
解析 若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；
所以方程f(x)＝f′(x)存在实数解，故C符合要求；
变形可得sin 2x＝2，无解，故D不符合要求.故选AC.
7.已知函数y＝f(x)的图象在x＝2处的切线方程是y＝3x＋1，则f(2)＋f′(2)＝ .
解析 切点坐标为(2，f(2))，∵切点在切线上，∴f(2)＝3×2＋1＝7，又k＝f′(2)＝3，∴f(2)＋f′(2)＝10.
8.已知函数f(x)＝ ＋excs x，若f′(0)＝－1，则a＝ .
∴f′(0)＝－a＋1＝－1，则a＝2.
9.我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算.设f(x)＝ln(1＋x)，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为______，用此结论计算ln 2 022－ln 2 021≈______.
解析 函数f(x)＝ln(1＋x)，
10.(2021·山东省实验中学四校联考)曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是 .
解析 设曲线在点P(x0，y0)(x0>0)处的切线与直线x－y－2＝0平行，
∴x0＝1，y0＝1，则P(1,1)，
11.已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R).(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
解 f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2).
解得b＝0，a＝－3或a＝1.
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.
解 因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，
12.设函数f(x)＝ax－ ，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；
(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.
解 设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点，
令y＝x，得y＝x＝2x0，所以切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0).
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.
13.(2020·青岛模拟)已知f1(x)＝sin x＋cs x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2 022(x)等于A.－sin x－cs x B.sin x－cs xC.－sin x＋cs x D.sin x＋cs x
解析 ∵f1(x)＝sin x＋cs x，∴f2(x)＝f1′(x)＝cs x－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cs x，f4(x)＝f3′(x)＝－cs x＋sin x，f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cs x，∴fn(x)的解析式以4为周期重复出现，∵2 022＝4×505＋2，∴f2 022(x)＝f2(x)＝cs x－sin x.故选C.
14.已知函数f(x)＝x＋ ，若曲线y＝f(x)存在两条过(1,0)点的切线，则a的取值范围是 .
(－∞，－2)∪(0，＋∞)
又切线过点(1,0)，
∵曲线存在两条切线，故该方程有两个解，∴Δ＝4a2－8(－a)>0，解得a>0或a<－2.
15.已知曲线f(x)＝x3＋ax＋ 在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－ln x相切，则a的值为 .
解析 f′(x)＝3x2＋a，∴f′(0)＝a，
设切点坐标为(x0，y0)，
16.已知函数f(x)＝ x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.(1)求在曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
解 由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即曲线C上任意一点处的切线斜率的取值范围是[－1，＋∞).
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围.
解 设曲线C的其中一条切线的斜率为k(k≠0)，
解得－1≤k<0或k≥1，则－1≤x2－4x＋3<0或x2－4x＋3≥1，
1.通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率.了解导数概念的实 际背景.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.了解利用导数定义，求基本初等函数的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函 数的导数.5.能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数.
ZHUGANSHULI JICHULUOSHI
(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的导函数.简称导数，记作f′(x)或y′.2.导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 ，相应的切线方程为 .
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
3.基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有[f(x)±g(x)]′＝ ；[f(x)g(x)]′＝；
[cf(x)]′＝ .
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
5.复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝ .(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝ ，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
1.根据f′(x)的几何意义思考一下，随着|f′(x)|增大，曲线f(x)的形状有何变化？
提示 |f′(x)|越大，曲线f(x)的形状越来越陡峭.
2.函数f(x)在点P处的切线与函数f(x)过点P的切线有什么区别？
提示 在点P处的切线，点P一定是切点；过点P的切线，点P不一定是切点.
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )(2)f′(x0)＝[f(x0)]′.( )(3)f(x)在某点处的切线与f(x)过某点处的切线意义相同.( )(4)若f(x)＝2x，则f′(x)＝x·2x－1.( )
题组二 教材改编2.某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为A.9.1米/秒 米/秒C.3.1米/秒 米/秒
解析 h′(t)＝－9.8t＋8，∴h′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1.
3.已知函数f(x)＝xln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝ .
解析 f′(x)＝1＋ln x＋2ax，∴f′(e)＝2ae＋2＝0，
∴f′(1)＝e－1，又f(1)＝e＋1，∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.
题组三 易错自纠5.已知函数f(x)＝xcs x＋asin x在x＝0处的切线与直线3x－y＋1＝0平行，则实数a的值为 .
解析 f′(x)＝cs x＋x·(－sin x)＋acs x＝(1＋a)cs x－xsin x，∴f′(0)＝1＋a＝3，∴a＝2.
6.已知函数f(x)＝ln(3－2x)＋e2x－3，则f′(x)＝ .
TIXINGTUPO HEXINTANJIU
1.(多选)下列求导运算正确的是A.(sin a)′＝cs a(a为常数)B.(sin 2x)′＝2cs 2x
解析 ∵a为常数，∴sin a为常数，∴(sin a)′＝0，故A错误.由导数公式及运算法则知B，C，D正确，故选BCD.
3.已知函数f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，则a＝ .
∴f′(2)＝2＋ae－2－2ae－2＝2－ae－2＝1，则a＝e2.
4.(2020·葫芦岛模拟)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，f(x)＝2x2－3xf′(1)＋ln x，则f(1)＝ .
解析 ∵f(x)＝2x2－3xf′(1)＋ln x，
(1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错.(2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导.②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元.
题型二 导数的几何意义
命题点1 导数与函数图象例1 (1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是
解析 由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.
(2)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝ .
解析 由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－ ，
∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，
命题点2 求切线方程例2 (1)(2020·全国Ⅰ)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为A.y＝－2x－1 B.y＝－2x＋1C.y＝2x－3 D.y＝2x＋1
解析 f(1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)，f′(x)＝4x3－6x2，所以切线的斜率为k＝f′(1)＝4×13－6×12＝－2，切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.
(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为 .
解析 ∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，∴设切点为(x0，y0).又∵f′(x)＝1＋ln x，∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
命题点3 求参数的值(范围)例3 (1)(2019·全国Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则A.a＝e，b＝－1 B.a＝e，b＝1C.a＝e－1，b＝1 D.a＝e－1，b＝－1
解析 因为y′＝aex＋ln x＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)， 即y＝(ae＋1)x－1，
(2)(2020·淄博联考)若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是 .
解析 直线2x－y＝0的斜率k＝2，又曲线f(x)上存在与直线2x－y＝0平行的切线，
∴a≥4－2＝2.∴a的取值范围是[2，＋∞).
(1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”：在“点P处的切线”，说明点P为切点，点P既在曲线上，又在切线上；“过点P处的切线”，说明点P不一定是切点，点P一定在切线上，不一定在曲线上.
跟踪训练 (1)已知曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则P点的坐标为A.(1,3) B.(－1,3)C.(1,3)或(－1,3) D.(1，－3)
解析 设切点P(x0，y0)，f′(x)＝3x2－1，
∴x0＝±1，又切点P(x0，y0)在y＝f(x)上，
∴当x0＝1时，y0＝3；当x0＝－1时，y0＝3.∴切点P为(1,3)或(－1,3).
∴k＝y′|x＝0＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x－0)，即y＝2x－1，令x＝0，得y＝－1；
解析 f′(x)＝2e2x－2ex＋a，依题意知f′(x)＝3有两个实数解，即2e2x－2ex＋a＝3有两个实数解，即a＝－2e2x＋2ex＋3有两个实数解，令t＝ex，∴t>0，∴a＝－2t2＋2t＋3(t>0)有两个实数解，∴y＝a与φ(t)＝－2t2＋2t＋3(t>0)的图象有两个交点，
求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法.
例1 已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝ .
所以曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.因为y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，所以a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行).
由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.方法二 同方法一得切线方程为y＝2x－1.
因为y′＝2ax＋(a＋2)，
所以 ＝2ax0＋(a＋2).
例2 (2020·江南十校联考)已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为 .
解析 设l与f(x)＝ex的切点为(x1，y1)，
∴f′(x1)＝ ，
∴切点为(x1， )，
切线斜率k＝ ，
∴切线方程为y－ ＝ (x－x1)，
即y＝ ·x－ ＋ ，①
同理设l与g(x)＝ln x＋2的切点为(x2，y2)，
∴y2＝ln x2＋2，
切点为(x2，ln x2＋2)，
由题意知，①与②相同，
即(1－x1)( －1)＝0，
把③代入④有－ ＋ ＝－x1＋1，
解得x1＝1或x1＝0，当x1＝1时，切线方程为y＝ex；当x1＝0时，切线方程为y＝x＋1，综上，直线l的方程为y＝ex或y＝x＋1.
例3 已知曲线f(x)＝ln x＋1与g(x)＝x2－x＋a有公共切线，求实数a的取值范围.
解 设切线与f(x)＝ln x＋1相切于点P(x0，ln x0＋1)，
当x∈(0,1)时，φ′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)>0，∴φ(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴φ(x)min＝φ(1)＝4，又x→＋∞时，φ(x)→＋∞，故φ(x)的值域为[4，＋∞)，所以4a≥4，即a≥1，故实数a的取值范围是[1，＋∞).
KESHIJINGLIAN
1.下列求导运算正确的是
又f(1)＝1，且f′(1)＝－3，故所求切线方程为y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0.
2.(2021·安徽江南十校联考)曲线f(x)＝ 在点P(1，f(1))处的切线l的方程为A.x＋y－2＝0 B.2x＋y－3＝0C.3x＋y＋2＝0 D.3x＋y－4＝0
3.(2020·广元模拟)已知函数f(x)＝ x2＋cs x，则其导函数f′(x)的图象大致是
∴f′(x)为奇函数，排除B，D，
5.(多选)已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是A.f′(3)>f′(2)B.f′(3)
由图知f′(3)
解析 若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；
所以方程f(x)＝f′(x)存在实数解，故C符合要求；
变形可得sin 2x＝2，无解，故D不符合要求.故选AC.
7.已知函数y＝f(x)的图象在x＝2处的切线方程是y＝3x＋1，则f(2)＋f′(2)＝ .
解析 切点坐标为(2，f(2))，∵切点在切线上，∴f(2)＝3×2＋1＝7，又k＝f′(2)＝3，∴f(2)＋f′(2)＝10.
8.已知函数f(x)＝ ＋excs x，若f′(0)＝－1，则a＝ .
∴f′(0)＝－a＋1＝－1，则a＝2.
9.我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算.设f(x)＝ln(1＋x)，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为______，用此结论计算ln 2 022－ln 2 021≈______.
解析 函数f(x)＝ln(1＋x)，
10.(2021·山东省实验中学四校联考)曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是 .
解析 设曲线在点P(x0，y0)(x0>0)处的切线与直线x－y－2＝0平行，
∴x0＝1，y0＝1，则P(1,1)，
11.已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R).(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
解 f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2).
解得b＝0，a＝－3或a＝1.
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.
解 因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，
12.设函数f(x)＝ax－ ，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；
(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.
解 设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点，
令y＝x，得y＝x＝2x0，所以切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0).
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.
13.(2020·青岛模拟)已知f1(x)＝sin x＋cs x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2 022(x)等于A.－sin x－cs x B.sin x－cs xC.－sin x＋cs x D.sin x＋cs x
解析 ∵f1(x)＝sin x＋cs x，∴f2(x)＝f1′(x)＝cs x－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cs x，f4(x)＝f3′(x)＝－cs x＋sin x，f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cs x，∴fn(x)的解析式以4为周期重复出现，∵2 022＝4×505＋2，∴f2 022(x)＝f2(x)＝cs x－sin x.故选C.
14.已知函数f(x)＝x＋ ，若曲线y＝f(x)存在两条过(1,0)点的切线，则a的取值范围是 .
(－∞，－2)∪(0，＋∞)
又切线过点(1,0)，
∵曲线存在两条切线，故该方程有两个解，∴Δ＝4a2－8(－a)>0，解得a>0或a<－2.
15.已知曲线f(x)＝x3＋ax＋ 在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－ln x相切，则a的值为 .
解析 f′(x)＝3x2＋a，∴f′(0)＝a，
设切点坐标为(x0，y0)，
16.已知函数f(x)＝ x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.(1)求在曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
解 由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即曲线C上任意一点处的切线斜率的取值范围是[－1，＋∞).
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围.
解 设曲线C的其中一条切线的斜率为k(k≠0)，
解得－1≤k<0或k≥1，则－1≤x2－4x＋3<0或x2－4x＋3≥1，
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