高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第7章 §7 4　直线、平面垂直的判定与性质课件PPT

这是一份高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第7章 §7 4　直线、平面垂直的判定与性质课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了考试要求，主干梳理基础落实，题型突破核心探究，课时精练，内容索引，a⊥αb⊥α，直二面角，l⊥αl⊂β，平面上的射影，2二面角等内容，欢迎下载使用。

1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线 面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系 的简单命题.
ZHUGANSHULI JICHULUOSHI
1.直线与平面垂直(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的_____一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.
(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：
__________________________
l⊥al⊥ba∩b＝Oa，b⊂α
2.平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是_________，就说这两个平面互相垂直.
(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：
_______________________
α⊥βα∩β＝al⊥al⊂β
3.空间角(1)直线和平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在______________所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
①定义：从一条直线出发的___________所组成的图形叫做二面角.②二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作_________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.③二面角的平面角的范围：______.
1.若平面α⊥β，且α∩β＝l，若直线m⊥l，则m与平面β一定垂直吗？
提示　不一定，当m⊂α时，m⊥β.
2.空间中任一直线m，在平面α内是否存在无数条直线与m垂直？
题组一　思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)垂直于同一个平面的两个平面平行.(　　)(2)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　)(3)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　　)(4)过平面外一点有且只有一条直线垂直于这个平面.(　　)
题组二　教材改编2.下列命题中错误的是A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
解析　对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的.
3.设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　依题意，由l⊥β，l⊂α，可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l⊂α不能推出l⊥β，因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件，故选A.
4.如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面有____对.
解析　∵AB⊥平面BCD，AB⊂平面ABD，AB⊂平面ABC，∴平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.又AB⊥CD，BC⊥CD，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC.
题组三　易错自纠5.“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面α垂直”的___________条件.
6.在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC上的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的____心；
解析　如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心.
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的____心.
解析　如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，∴PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC⊂平面PGC，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高.同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心.
TIXINGTUPO HEXINTANJIU
例1　如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
题型一　直线与平面垂直的判定与性质
证明　∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，∴AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CD.∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD.∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.
证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.
跟踪训练1　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点，证明：
证明　在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)PD⊥平面ABE.
证明　由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE.
题型二　平面与平面垂直的判定与性质
例2　在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥P－BCDE.(1)若平面PDE⊥平面BCDE，求四棱锥P－BCDE的体积；
解　如图所示，取DE的中点M，连接PM，
由题意知，PD＝PE，∴PM⊥DE，又平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE＝DE，PM⊂平面PDE，∴PM⊥平面BCDE，即PM为四棱锥P－BCDE的高.在等腰直角三角形PDE中，PE＝PD＝AD＝2，
(2)若PB＝PC，求证：平面PDE⊥平面BCDE.
证明　取BC的中点N，连接PN，MN，则BC⊥MN，∵PB＝PC，∴BC⊥PN，∵MN∩PN＝N，MN，PN⊂平面PMN，∴BC⊥平面PMN，∵PM⊂平面PMN，∴BC⊥PM，由(1)知，PM⊥DE，又BC，DE⊂平面BCDE，且BC与DE是相交的，∴PM⊥平面BCDE，∵PM⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面BCDE.
(1)面面垂直判定的两种方法与一个转化①两种方法：(ⅰ)面面垂直的定义；(ⅱ)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).②一个转化：在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.
(2)面面垂直性质的应用①两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”.②两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.
跟踪训练2　(2020·江苏)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点.(1)求证：EF∥平面AB1C1；
证明　因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF∥AB1.又EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1.
(2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1.
证明　因为B1C⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以B1C⊥AB.又AB⊥AC，B1C⊂平面AB1C，AC⊂平面AB1C，B1C∩AC＝C，所以AB⊥平面AB1C.又因为AB⊂平面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.
题型三　垂直关系的综合应用
例3　(2020·红河州模拟)在四棱锥P－ABCD中，△PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°.
(1)在AD上是否存在一点M，使得平面PCM⊥平面ABCD，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
解　存在，当M为AD的中点时，使得平面PCM⊥平面ABCD.证明：取AD的中点M，连接CM，PM，由△PAD是等边三角形，可得PM⊥AD，由平面PAD⊥平面ABCD，PM⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，可得PM⊥平面ABCD，由PM⊂平面PCM，可得平面PCM⊥平面ABCD.
解　设AB＝a，可得BC＝a，AD＝2a，可得MC＝AB＝MD＝a，
对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设.
跟踪训练3　如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形.侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点.(1)求证：AF∥平面SEC；
证明　取SC的中点G，连接FG，EG，∵F，G分别是SB，SC的中点，
∵四边形ABCD是菱形，E是AD的中点，
∴FG∥AE，FG＝AE，∴四边形AFGE是平行四边形，∴AF∥EG，又AF⊄平面SEC，EG⊂平面SEC，∴AF∥平面SEC.
(2)求证：平面ASB⊥平面CSB；
证明　∵△SAD是等边三角形，E是AD的中点，∴SE⊥AD，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ACD是等边三角形，又E是AD的中点，∴AD⊥CE，又SE∩CE＝E，SE，CE⊂平面SEC，∴AD⊥平面SEC，又EG⊂平面SEC，∴AD⊥EG，又四边形AFGE是平行四边形，∴四边形AFGE是矩形，∴AF⊥FG，又SA＝AB，F是SB的中点，∴AF⊥SB，又FG∩SB＝F，FG，SB⊂平面SBC，∴AF⊥平面SBC，又AF⊂平面ASB，∴平面ASB⊥平面CSB.
(3)在棱SB上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
解　假设在棱SB上存在点M，使得BD⊥平面MAC，连接MO，BE，则BD⊥OM，∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形，
∵侧面SAD⊥底面ABCD，侧面SAD∩底面ABCD＝AD，SE⊂平面SAD，∴SE⊥平面ABCD，∴SE⊥BE，
KESHIJINGLIAN
1.(2021·海南模拟)设α和β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法不正确的是A.若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥βB.若m⊥α，n⊂β，α∥β，则m⊥nC.若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βD.若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n
解析　m∥α，n∥β，m∥n，并不能推出α∥β，这时α和β可能相交，故A错误；若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又n⊂β，则m⊥n，B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，又n⊥β，则α⊥β，C正确；若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又n⊥β，则m∥n，D正确.
2.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且直线m⊂α，直线n⊂β，则下列命题为真命题的是A.“m⊥n”是“n⊥α”的充分条件B.“m∥n”是“m∥β”的既不充分也不必要条件C.“α∥β”是“m∥n”的充要条件D.“m⊥n”是“α⊥β”的必要条件
解析　n⊥α能得到n⊥m，但n⊥m不能得出n⊥α，A错；m∥n时，m也可能在平面β内，不能得出m∥β，反之，m∥β，β内的直线也不一定与m平行，即不能得出m∥n，∴“m∥n”是“m∥β”的既不充分也不必要条件，B正确；α∥β时，m，n可能是异面直线，不一定平行，m∥n时，α，β也可能相交，不一定平行，C错；两个平面垂直，分别在这两个平面内的两条直线可能相交，可能平行，不一定垂直，D错.
3.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在A.直线AB上 B.直线BC上C.直线AC上 D.△ABC内部
解析　由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上.
4.如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是
A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面PAED.平面PDE⊥平面ABC
解析　因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确；在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，且AE，PE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE，因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，又DF⊂平面PDF，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确.
5.(多选)(2021·济宁模拟)如图所示，在四个正方体中，l是正方体的一条体对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形为
解析　对于AD项，根据正方体的性质可得l⊥MN，l⊥MP，可得l⊥平面MNP.而BC项，无法得出l⊥平面MNP.
6.(多选)如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中正确的是A.BC⊥平面PAC B.AE⊥EFC.AC⊥PB D.平面AEF⊥平面PBC
解析　对于A，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，而BC⊂底面圆面，则PA⊥BC，又由圆的性质可知AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，则BC⊥平面PAC.所以A正确；
对于B，由A项可知BC⊥AE，由题意可知AE⊥PC，且BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PCB，所以AE⊥平面PCB，而EF⊂平面PCB，所以AE⊥EF，所以B正确；
对于C，由B项可知AE⊥平面PCB，因而AC与平面PCB不垂直，所以AC⊥PB不成立，所以C错误；对于D，由B项可知，AE⊥平面PCB，AE⊂平面AEF，由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PBC.所以D正确.
7.已知△ABC在平面α内，∠A＝90°，DA⊥平面α，则直线CA与DB的位置关系是_____.
解析　∵DA⊥平面α，AC⊂平面α，∴DA⊥CA，在△ABC中，∵∠A＝90°，∴AB⊥CA，且DA∩BA＝A，DA，BA⊂平面ADB，∴CA⊥平面DAB，DB⊂平面DAB，∴CA⊥DB.
8.已知平面α，β和直线m，给出以下条件：(1)m∥α；(2)m⊥α；(3)m⊂α；(4)α⊥β；(5)α∥β，当条件_______成立时，有m∥β；当条件______成立时，有m⊥β.(填所选条件的序号)
解析　根据面面平行的特征可得，若m⊂α，α∥β，则m∥β；根据线面垂直以及面面平行的特征可得，若m⊥α，α∥β，则m⊥β.
9.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________________________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)
DM⊥PC(或BM⊥PC等)
解析　∵PA⊥底面ABCD，∴BD⊥PA，连接AC(图略)，则BD⊥AC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
10.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，将△ABD沿对角线BD折起，设折起后点A的位置为A′，并且平面A′BD⊥平面BCD.则给出下面四个命题，正确的是_______.(把正确结论的序号都填上)
①A′D⊥BC；②三棱锥A′－BCD的体积为 ；③BA′⊥CA′；④平面A′BC⊥平面A′DC.
解析　如图所示，取BD的中点E，连接A′E.
又因为A′B＝A′D，所以A′E⊥BD，所以A′E⊥平面BCD，所以A′E⊥BC.若A′D⊥BC，则可得到BC⊥平面A′BD，故BC⊥BD，与已知矛盾，故①错误.
在直角三角形A′CD中，A′C2＝CD2＋A′D2，
满足BC2＝A′B2＋A′C2，所以BA′⊥CA′.故③正确.又BA′⊥DA′，所以BA′⊥平面A′DC，所以平面A′BC⊥平面A′DC，故④正确.
11.如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；
证明　在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.
证明　因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.
12.如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.(1)求三棱锥P-ABC的体积；
解　由题知AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，
由PA⊥平面ABC，可知PA是三棱锥P-ABC的高.
(2)在线段PC上是否存在点M，使得AC⊥BM，若存在点M，求出 的值；若不存在，请说明理由.
解　在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N.在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM.
由PA⊥平面ABC及AC⊂平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC.由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN.又BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM.
13.(2020·韶关模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是棱PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F，下列说法不正确的是A.OE∥PAB.平面PAC⊥平面PBDC.PB⊥平面EFDD.BD⊥ED
解析　∵四边形ABCD是正方形，∴O是AC的中点，∵E是棱PC的中点，∴PA∥OE，故A正确；∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，又AC⊥BD，PD∩DB＝D，PD，BD⊂平面PDB，∴AC⊥平面PBD，又AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PDB，故B正确；∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，由四边形ABCD是正方形，得BC⊥CD，又PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PCD，∴BC⊥平面PCD，
又DE⊂平面PCD，∴BC⊥DE.∵PD＝DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC，∵PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，∴DE⊥平面PBC，∵PB⊂平面PBC，∴PB⊥DE，又EF⊥PB，DE∩EF＝E，DE，EF⊂平面EFD，∴PB⊥平面EFD，故C正确；由DE⊥平面PBC，知DE⊥EB，故D错误.
设E是△ABD的外心，F是△BCD的外心，过点E，F分别作平面ABD与平面BCD的垂线OE，OF，相交于点O，
所以△ABD与△BCD均为等边三角形，又平面ABD⊥平面CBD，所以O为四面体ABCD外接球的球心，
15.(2020·广州模拟)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，P，Q分别是线段BS，AD的中点，点R在线段SD上.若AS＝4，AD＝2，AR⊥PQ，则AR＝______.
解析　如图，取SA的中点E，连接PE，QE.∵SA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴SA⊥AB，而AB⊥AD，AD∩SA＝A，∴AB⊥平面SAD，又P，E分别是SB，SA的中点，∴PE∥AB，故PE⊥平面SAD，又AR⊂平面SAD，∴PE⊥AR.又∵AR⊥PQ，PE∩PQ＝P，∴AR⊥平面PEQ，
∵EQ⊂平面PEQ，∴AR⊥EQ，∵E，Q分别为SA，AD的中点，∴EQ∥SD，则AR⊥SD，在Rt△ASD中，AS＝4，AD＝2，
16.(2020·黄山模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝ ，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，点M是AC与BD的交点，点N在线段PB上，且PN＝ PB.
(1)证明：MN∥平面PDC；
而MN⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，可得MN∥平面PDC.
证明　在四边形ABCD中，
可得△ABD≌△CBD，可得AC⊥BD，且M为AC的中点，由AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，
(2)在线段BC上是否存在一点Q，使得平面MNQ⊥平面PAD，若存在，求出点Q的位置；若不存在，请说明理由.
则Q为BC的中点时，平面MNQ⊥平面PAD.
解　过M作ME⊥AD，垂足为E，延长EM交BC于Q，连接NQ，NE，如图，
由PA⊥平面ABCD，EQ⊂平面ABCD，可得PA⊥EQ，又EQ⊥AD，可得EQ⊥平面PAD，EQ⊂平面MNQ，可得平面MNQ⊥平面PAD，故存在这样的点Q.在Rt△DME中，∠EMD＝90°－60°＝30°，在△BQM中，∠QBM＝∠BMQ＝30°，∠BQM＝120°，