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高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第8章 §8 1 直线的方程课件PPT
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这是一份高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第8章 §8 1 直线的方程课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了考试要求，内容索引，主干梳理基础落实，题型突破核心探究，课时精练，x轴正向，°≤α180°，正切值，tanα，y＝kx＋b等内容，欢迎下载使用。
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何 要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率 的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式 (点斜式、两点式及一般式).
ZHUGANSHULI JICHULUOSHI
1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴作为基准， 与直线l_____的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为 .
2.直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k＝ (α≠90°).(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝_______.
3.直线方程的五种形式
y－y0＝k(x－x0)
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
1.直线的倾斜角越大，斜率越大对吗？
提示 不对.设直线的倾斜角为α，斜率为k.
2.“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？
提示 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.
题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( )(2)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( )(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )(4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示.( )
题组二 教材改编2.若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为A.1 B.4C.1或3 D.1或4
3.已知直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为 .
解析 由|k|＝|tan α|＝1知tan α＝±1，
4.已知三点A(－3，－1)，B(0,2)，C(m,4)在同一直线上，则实数m的值为 .
解析 因为A，B，C三点在同一直线上，
题组三 易错自纠5.(多选)下列说法正确的是A.有的直线斜率不存在B.若直线l的倾斜角为α，且α≠90°，则它的斜率k＝tan αC.若直线l的斜率为1，则它的倾斜角为D.截距可以为负值
6.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 .
3x－2y＝0或x＋y－5＝0
解析 当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；
所以直线方程为x＋y－5＝0.
TIXINGTUPO HEXINTANJIU
题型一 直线的倾斜角与斜率
(2)(2020·安阳模拟)已知点A(1,3)，B(－2，－1).若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是
解析 直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2,1)，
又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，
本例(2)直线l改为y＝kx，若l与线段AB相交，则k的取值范围是 .
解析 直线l过定点P(0,0)，
(1)斜率的两种求法：定义法、斜率公式法.(2)倾斜角和斜率范围求法：①图形观察(数形结合)；②充分利用函数k＝tan α的单调性.
跟踪训练1 (1)(2021·宿州模拟)若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则A.k1
解析 如图所示，当直线l过点B时，
∴要使直线l与线段AB有公共点，
1.(2021·荆门期末)经过点P(2，－3)，且倾斜角为45°的直线方程为A.x＋y＋1＝0 B.x＋y－1＝0C.x－y＋5＝0 D.x－y－5＝0
解析 倾斜角为45°的直线的斜率为tan 45°＝1，又该直线经过点P(2，－3)，所以用点斜式求得直线的方程为y＋3＝x－2，即x－y－5＝0.
2.已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是A.x＋y－3＝0 B.x－3y－2＝0C.3x－y＋6＝0 D.3x＋y－6＝0
解析 设直线l的倾斜角为α，则tan α＝k＝2，直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，
又点M(2,0)，所以y＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.
3.经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3,2)的直线方程为 .
∴直线过点(1,1)，∵直线的方向向量v＝(－3,2)，
4.过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为 .
x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0
故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.
(1)求直线方程一般有以下两种方法：①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程.②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程.(2)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、截距式方程，使用时要注意分类讨论思想的运用.
命题点1 直线过定点问题例2 已知k∈R，写出以下动直线所过的定点坐标：(1)若直线方程为y＝kx＋3，则直线过定点 ；
题型三 直线方程的综合应用
解析 当x＝0时，y＝3，所以直线过定点(0,3).
(2)若直线方程为y＝kx＋3k，则直线过定点 ；
解析 直线方程可化为y＝k(x＋3)，故直线过定点(－3,0).
(3)若直线方程为x＝ky＋3，则直线过定点 .
解析 当y＝0时，x＝3，所以直线过定点(3,0).
命题点2 与直线有关的多边形面积的最值例3 已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程.
解 方法一 设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，
∵与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，
△AOB面积有最小值为4，此时，
本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程.
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
方法二 由本例知A(a,0)，B(0，b)，
＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5
当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
(1)直线过定点问题可以利用直线点斜式方程的结构特征，对照得到定点坐标.(2)求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积.(3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.
跟踪训练2 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).(1)证明：直线l过定点；
证明 直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，
∴无论k取何值，直线l总经过定点(－2,1).
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞).
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.
解 由题意可知k≠0，再由l的方程，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
KESHIJINGLIAN
1.(2021·清远期末)倾斜角为120°且在y轴上的截距为－2的直线方程为
2.(2021·菏泽模拟)若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a等于
3.(2021·广东七校联考)若过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是A.(－2,1) B.(－1,2)C.(－∞，0) D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
4.(2020·北京丰台区模拟)若直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，则有A.a>0，c>0 B.a>0，c<0C.a<0，c>0 D.a<0，c<0
解析 ∵直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，∴直线的斜率a>0，在y轴上的截距c>0.
解析 直线2xcs α－y－3＝0的斜率k＝2cs α，
6.(多选)在下列四个命题中，错误的有A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B.直线倾斜角的取值范围是[0，π)C.若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αD.若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
解析 对于A，当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，∴A错误；对于B，直线倾斜角的取值范围是[0，π)，∴B正确；对于C，一条直线的斜率为tan α，此直线的倾斜角不一定为α，∴C错误；对于D，一条直线的倾斜角为α时，它的斜率为tan α或不存在，D错误.故选ACD.
7.(多选)若直线过点A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程为A.x－y＋1＝0 B.x＋y－3＝0C.2x－y＝0 D.x－y－1＝0
所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝k，把点A(1,2)代入可得1－2＝k，或1＋2＝k，求得k＝－1，或k＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0，或x＋y－3＝0.综上知，所求的直线方程为 2x－y＝0，x－y＋1＝0，或x＋y－3＝0.
8.(多选)垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是A.4 B.－4 C.3 D.－3
解析 设直线方程是4x＋3y＋d＝0，分别令x＝0和y＝0，
所以d＝±12，则直线在x轴上的截距为3或－3.
9.直线l过(－1，－1)，(2,5)两点，点(1 011，b)在l上，则b的值为 .
令x＝1 011，得y＝2 023，∴b＝2 023.
10.设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，若直线l的斜率为－1，则k＝ ；若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0，则k＝ .
解析 因为直线l的斜率存在，
由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.
11.已知三角形的三个顶点A(－5,0),B(3，－3)，C(0,2),则BC边上中线所在的直线方程为 .
12.(八省联考)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________．
解析 方法一 设正方形一边所在直线的倾斜角为α，其斜率k＝tan α.
设正方形的边所在直线的斜率为k，
13.已知P(－3,2),Q(3,4)及直线ax＋y＋3＝0.若沿 的方向延长线段PQ与直线有交点(不含Q点)，则a的取值范围是 .
解析 直线l：ax＋y＋3＝0是过点A(0，－3)的直线系，斜率为参变数－a，
若l与PQ延长线相交，由图可知kPQ
15.(多选)已知直线xsin α＋ycs α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是A.直线的倾斜角是π－αB.无论α如何变化，直线不过原点C.直线的斜率一定存在D.当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
解析 根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，所以A不正确；当x＝y＝0时，xsin α＋ycs α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；
当直线和两坐标轴都相交时，
16.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝ x上时，则直线AB的方程是 .
解析 由题意可得kOA＝tan 45°＝1，
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何 要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率 的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式 (点斜式、两点式及一般式).
ZHUGANSHULI JICHULUOSHI
1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴作为基准， 与直线l_____的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为 .
2.直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k＝ (α≠90°).(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝_______.
3.直线方程的五种形式
y－y0＝k(x－x0)
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
1.直线的倾斜角越大，斜率越大对吗？
提示 不对.设直线的倾斜角为α，斜率为k.
2.“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？
提示 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.
题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( )(2)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( )(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )(4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示.( )
题组二 教材改编2.若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为A.1 B.4C.1或3 D.1或4
3.已知直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为 .
解析 由|k|＝|tan α|＝1知tan α＝±1，
4.已知三点A(－3，－1)，B(0,2)，C(m,4)在同一直线上，则实数m的值为 .
解析 因为A，B，C三点在同一直线上，
题组三 易错自纠5.(多选)下列说法正确的是A.有的直线斜率不存在B.若直线l的倾斜角为α，且α≠90°，则它的斜率k＝tan αC.若直线l的斜率为1，则它的倾斜角为D.截距可以为负值
6.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 .
3x－2y＝0或x＋y－5＝0
解析 当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；
所以直线方程为x＋y－5＝0.
TIXINGTUPO HEXINTANJIU
题型一 直线的倾斜角与斜率
(2)(2020·安阳模拟)已知点A(1,3)，B(－2，－1).若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是
解析 直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2,1)，
又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，
本例(2)直线l改为y＝kx，若l与线段AB相交，则k的取值范围是 .
解析 直线l过定点P(0,0)，
(1)斜率的两种求法：定义法、斜率公式法.(2)倾斜角和斜率范围求法：①图形观察(数形结合)；②充分利用函数k＝tan α的单调性.
跟踪训练1 (1)(2021·宿州模拟)若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则A.k1
解析 如图所示，当直线l过点B时，
∴要使直线l与线段AB有公共点，
1.(2021·荆门期末)经过点P(2，－3)，且倾斜角为45°的直线方程为A.x＋y＋1＝0 B.x＋y－1＝0C.x－y＋5＝0 D.x－y－5＝0
解析 倾斜角为45°的直线的斜率为tan 45°＝1，又该直线经过点P(2，－3)，所以用点斜式求得直线的方程为y＋3＝x－2，即x－y－5＝0.
2.已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是A.x＋y－3＝0 B.x－3y－2＝0C.3x－y＋6＝0 D.3x＋y－6＝0
解析 设直线l的倾斜角为α，则tan α＝k＝2，直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，
又点M(2,0)，所以y＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.
3.经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3,2)的直线方程为 .
∴直线过点(1,1)，∵直线的方向向量v＝(－3,2)，
4.过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为 .
x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0
故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.
(1)求直线方程一般有以下两种方法：①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程.②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程.(2)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、截距式方程，使用时要注意分类讨论思想的运用.
命题点1 直线过定点问题例2 已知k∈R，写出以下动直线所过的定点坐标：(1)若直线方程为y＝kx＋3，则直线过定点 ；
题型三 直线方程的综合应用
解析 当x＝0时，y＝3，所以直线过定点(0,3).
(2)若直线方程为y＝kx＋3k，则直线过定点 ；
解析 直线方程可化为y＝k(x＋3)，故直线过定点(－3,0).
(3)若直线方程为x＝ky＋3，则直线过定点 .
解析 当y＝0时，x＝3，所以直线过定点(3,0).
命题点2 与直线有关的多边形面积的最值例3 已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程.
解 方法一 设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，
∵与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，
△AOB面积有最小值为4，此时，
本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程.
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
方法二 由本例知A(a,0)，B(0，b)，
＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5
当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
(1)直线过定点问题可以利用直线点斜式方程的结构特征，对照得到定点坐标.(2)求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积.(3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.
跟踪训练2 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).(1)证明：直线l过定点；
证明 直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，
∴无论k取何值，直线l总经过定点(－2,1).
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞).
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.
解 由题意可知k≠0，再由l的方程，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
KESHIJINGLIAN
1.(2021·清远期末)倾斜角为120°且在y轴上的截距为－2的直线方程为
2.(2021·菏泽模拟)若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a等于
3.(2021·广东七校联考)若过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是A.(－2,1) B.(－1,2)C.(－∞，0) D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
4.(2020·北京丰台区模拟)若直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，则有A.a>0，c>0 B.a>0，c<0C.a<0，c>0 D.a<0，c<0
解析 ∵直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，∴直线的斜率a>0，在y轴上的截距c>0.
解析 直线2xcs α－y－3＝0的斜率k＝2cs α，
6.(多选)在下列四个命题中，错误的有A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B.直线倾斜角的取值范围是[0，π)C.若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αD.若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
解析 对于A，当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，∴A错误；对于B，直线倾斜角的取值范围是[0，π)，∴B正确；对于C，一条直线的斜率为tan α，此直线的倾斜角不一定为α，∴C错误；对于D，一条直线的倾斜角为α时，它的斜率为tan α或不存在，D错误.故选ACD.
7.(多选)若直线过点A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程为A.x－y＋1＝0 B.x＋y－3＝0C.2x－y＝0 D.x－y－1＝0
所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝k，把点A(1,2)代入可得1－2＝k，或1＋2＝k，求得k＝－1，或k＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0，或x＋y－3＝0.综上知，所求的直线方程为 2x－y＝0，x－y＋1＝0，或x＋y－3＝0.
8.(多选)垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是A.4 B.－4 C.3 D.－3
解析 设直线方程是4x＋3y＋d＝0，分别令x＝0和y＝0，
所以d＝±12，则直线在x轴上的截距为3或－3.
9.直线l过(－1，－1)，(2,5)两点，点(1 011，b)在l上，则b的值为 .
令x＝1 011，得y＝2 023，∴b＝2 023.
10.设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，若直线l的斜率为－1，则k＝ ；若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0，则k＝ .
解析 因为直线l的斜率存在，
由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.
11.已知三角形的三个顶点A(－5,0),B(3，－3)，C(0,2),则BC边上中线所在的直线方程为 .
12.(八省联考)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________．
解析 方法一 设正方形一边所在直线的倾斜角为α，其斜率k＝tan α.
设正方形的边所在直线的斜率为k，
13.已知P(－3,2),Q(3,4)及直线ax＋y＋3＝0.若沿 的方向延长线段PQ与直线有交点(不含Q点)，则a的取值范围是 .
解析 直线l：ax＋y＋3＝0是过点A(0，－3)的直线系，斜率为参变数－a，
若l与PQ延长线相交，由图可知kPQ
15.(多选)已知直线xsin α＋ycs α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是A.直线的倾斜角是π－αB.无论α如何变化，直线不过原点C.直线的斜率一定存在D.当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
解析 根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，所以A不正确；当x＝y＝0时，xsin α＋ycs α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；
当直线和两坐标轴都相交时，
16.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝ x上时，则直线AB的方程是 .
解析 由题意可得kOA＝tan 45°＝1，
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