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高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第8章 §8 5 第1课时 椭圆及其性质课件PPT
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这是一份高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第8章 §8 5 第1课时 椭圆及其性质课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了内容索引，主干梳理基础落实，题型突破核心探究，课时精练等内容，欢迎下载使用。
1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决 实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方 程及简单几何性质.
ZHUGANSHULI JICHULUOSHI
1.椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 (大于|F1F2|)的点的轨迹.(2)焦点：两个定点F1，F2.(3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|；半焦距：焦距的一半.
2.椭圆的简单几何性质
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
1.在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，动点P的轨迹如何？
提示 当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时动点P的轨迹是不存在的.
2.椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？
3.焦点弦的弦长最短是什么？
题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( )(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.( )(3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).( )
题组二 教材改编2.已知F1(－3,0)，F2(3,0)，若点P到F1，F2的距离之和为10，则P点的轨迹方程是____________.
解析 因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，
解析 当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0，10－m－(m－2)＝4，∴m＝4.当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8.∴m＝4或8.
4.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为 .过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为___________.
由椭圆的定义可知，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，又△ABF2的周长为16，所以|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝16，
5.已知点P是椭圆 上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为____________________.
解析 设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0).由题意可得点P到x轴的距离为1，
6.若方程 表示椭圆，则m满足的条件是________________.
由点A(－2,0)，B(0,1)且焦点在x轴上，得a＝2，b＝1，
TIXINGTUPO HEXINTANJIU
例1 (1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.圆
题型一 椭圆的定义及应用
第1课时 椭圆及其性质
解析 连接QA(图略).由已知得|QA|＝|QP|.所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因为点A在圆内，所以|OA|<|OP|，根据椭圆的定义知，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.
∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P||PF2|－2|F1P|·|PF2|cs 60°＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，
若将本例(2)中“∠F1PF2＝60°”改成“PF1⊥PF2”，求△PF1F2的面积.
解 ∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4(a2－4)＝4a2－16，又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|·|PF2|＝8，∴ ＝4.
椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
跟踪训练1 (1)设P是椭圆 ＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为______.
(2)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________.
设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，
又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，
题型二 椭圆的标准方程
解析 由题意可知椭圆焦点在x轴上，
可得a＝2，又a2＝b2＋c2，可得b2＝3，
由c2＝a2－b2可得b2＝4.
(1)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式.(2)椭圆的标准方程的两个应用
跟踪训练2 (1)(多选)已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可以为
解析 因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，
解析 设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
所以m2＋n2＝20，mn＝8，所以(m＋n)2＝36，所以m＋n＝2a＝6，所以a＝3.
题型三 椭圆的简单几何性质
解析 如图，作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1，由∠F1F2P＝120°，
故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，
以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，
又圆与直线l有公共点，
求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：
(3)构造a，c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
命题点2 与椭圆有关的最值(或范围)问题
解析 方法一 设焦点在x轴上，点M(x，y).过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x,0).故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN)
结合03时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞).故选A.
利用椭圆的简单几何性质求值或范围的思路(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系.(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围.
跟踪训练3 (1)(2020·济南质检)设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点.若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为
∵△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，
解析 设B(x0，y0)，A(x1，y1)，
KESHIJINGLIAN
1.与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为 的椭圆方程是
解析 依题意可知，c＝b，
3.已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为
解析 设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，
由线段PF1的中垂线过点F2得|PF2|＝|F1F2|，
即3c4＋2a2c2－a4≥0，
5.(多选)(2021·湖南省衡阳八中月考)对于曲线C： ＝1，下面四个说法正确的是A.曲线C不可能是椭圆B.“1
解析 设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，因为|AF|＋|BF|为定值6，∴|AB|的取值范围是(0,6)，∴△ABF的周长的取值范围是(6,12)，B错误；
∴AF⊥BF，∴△ABF为直角三角形，C正确；
解析 如图，点P为线段AB与椭圆的交点时|PA|＋|PB|最小，
8.已知椭圆 上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是______________.
(－3,0)或(3,0)
解析 记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，由题意知a＝5，b＝3，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.
即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.所以此时点P的坐标为(－3,0)或(3,0).
9.已知椭圆 ＝1(a>b>0)，F为椭圆的右焦点，AB为过原点O的弦，则△ABF面积的最大值为___________.
解析 如图，设E为椭圆的左焦点，
10.(2019·全国Ⅲ)设F1，F2为椭圆C： ＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为__________.
因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.
解 若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
11.如图所示，已知椭圆 ＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
解 由题意知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)，
12.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.(1)求椭圆离心率的范围；
在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncs 60°＝(m＋n)2－3mn
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
13.已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为
解析 ∵过F1的直线MF1是圆F2的切线，∴∠F1MF2＝90°，|MF2|＝c，∵|F1F2|＝2c，
14.已知椭圆 ＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________.
解析 如图，左焦点F(－2,0)，右焦点F′(2,0).线段PF的中点M在以O(0,0)为圆心，2为半径的圆上，因此|OM|＝2.
所以|PF′|＝4.根据椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝6，所以|PF|＝2.又因为|FF′|＝4，所以在Rt△MFF′中，
15.(多选)(2020·德州模拟)1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c，下列结论正确的是A.卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]B.卫星在左半椭圆弧上的运行时间大于其在右半椭圆弧上的运行时间C.卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D.卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
解析 根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]，A正确；当卫星在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，速度更慢，运行时间更长，B正确；
根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D正确.
16.(2021·商洛模拟)如图，椭圆 ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.
设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，
(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.
解 连接F1Q，如图所示，由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|.设|PF1|＝m，所以|QF1|＝4a－2m，|QF2|＝2m－2a，|PF2|＝2a－m，又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，
1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决 实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方 程及简单几何性质.
ZHUGANSHULI JICHULUOSHI
1.椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 (大于|F1F2|)的点的轨迹.(2)焦点：两个定点F1，F2.(3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|；半焦距：焦距的一半.
2.椭圆的简单几何性质
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
1.在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，动点P的轨迹如何？
提示 当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时动点P的轨迹是不存在的.
2.椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？
3.焦点弦的弦长最短是什么？
题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( )(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.( )(3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).( )
题组二 教材改编2.已知F1(－3,0)，F2(3,0)，若点P到F1，F2的距离之和为10，则P点的轨迹方程是____________.
解析 因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，
解析 当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0，10－m－(m－2)＝4，∴m＝4.当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8.∴m＝4或8.
4.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为 .过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为___________.
由椭圆的定义可知，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，又△ABF2的周长为16，所以|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝16，
5.已知点P是椭圆 上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为____________________.
解析 设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0).由题意可得点P到x轴的距离为1，
6.若方程 表示椭圆，则m满足的条件是________________.
由点A(－2,0)，B(0,1)且焦点在x轴上，得a＝2，b＝1，
TIXINGTUPO HEXINTANJIU
例1 (1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.圆
题型一 椭圆的定义及应用
第1课时 椭圆及其性质
解析 连接QA(图略).由已知得|QA|＝|QP|.所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因为点A在圆内，所以|OA|<|OP|，根据椭圆的定义知，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.
∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P||PF2|－2|F1P|·|PF2|cs 60°＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，
若将本例(2)中“∠F1PF2＝60°”改成“PF1⊥PF2”，求△PF1F2的面积.
解 ∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4(a2－4)＝4a2－16，又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|·|PF2|＝8，∴ ＝4.
椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
跟踪训练1 (1)设P是椭圆 ＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为______.
(2)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________.
设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，
又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，
题型二 椭圆的标准方程
解析 由题意可知椭圆焦点在x轴上，
可得a＝2，又a2＝b2＋c2，可得b2＝3，
由c2＝a2－b2可得b2＝4.
(1)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式.(2)椭圆的标准方程的两个应用
跟踪训练2 (1)(多选)已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可以为
解析 因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，
解析 设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
所以m2＋n2＝20，mn＝8，所以(m＋n)2＝36，所以m＋n＝2a＝6，所以a＝3.
题型三 椭圆的简单几何性质
解析 如图，作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1，由∠F1F2P＝120°，
故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，
以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，
又圆与直线l有公共点，
求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：
(3)构造a，c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
命题点2 与椭圆有关的最值(或范围)问题
解析 方法一 设焦点在x轴上，点M(x，y).过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x,0).故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN)
结合0
故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞).故选A.
利用椭圆的简单几何性质求值或范围的思路(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系.(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围.
跟踪训练3 (1)(2020·济南质检)设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点.若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为
∵△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，
解析 设B(x0，y0)，A(x1，y1)，
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1.与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为 的椭圆方程是
解析 依题意可知，c＝b，
3.已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为
解析 设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，
由线段PF1的中垂线过点F2得|PF2|＝|F1F2|，
即3c4＋2a2c2－a4≥0，
5.(多选)(2021·湖南省衡阳八中月考)对于曲线C： ＝1，下面四个说法正确的是A.曲线C不可能是椭圆B.“1
解析 设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，因为|AF|＋|BF|为定值6，∴|AB|的取值范围是(0,6)，∴△ABF的周长的取值范围是(6,12)，B错误；
∴AF⊥BF，∴△ABF为直角三角形，C正确；
解析 如图，点P为线段AB与椭圆的交点时|PA|＋|PB|最小，
8.已知椭圆 上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是______________.
(－3,0)或(3,0)
解析 记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，由题意知a＝5，b＝3，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.
即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.所以此时点P的坐标为(－3,0)或(3,0).
9.已知椭圆 ＝1(a>b>0)，F为椭圆的右焦点，AB为过原点O的弦，则△ABF面积的最大值为___________.
解析 如图，设E为椭圆的左焦点，
10.(2019·全国Ⅲ)设F1，F2为椭圆C： ＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为__________.
因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.
解 若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
11.如图所示，已知椭圆 ＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
解 由题意知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)，
12.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.(1)求椭圆离心率的范围；
在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncs 60°＝(m＋n)2－3mn
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
13.已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为
解析 ∵过F1的直线MF1是圆F2的切线，∴∠F1MF2＝90°，|MF2|＝c，∵|F1F2|＝2c，
14.已知椭圆 ＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________.
解析 如图，左焦点F(－2,0)，右焦点F′(2,0).线段PF的中点M在以O(0,0)为圆心，2为半径的圆上，因此|OM|＝2.
所以|PF′|＝4.根据椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝6，所以|PF|＝2.又因为|FF′|＝4，所以在Rt△MFF′中，
15.(多选)(2020·德州模拟)1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c，下列结论正确的是A.卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]B.卫星在左半椭圆弧上的运行时间大于其在右半椭圆弧上的运行时间C.卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D.卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
解析 根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]，A正确；当卫星在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，速度更慢，运行时间更长，B正确；
根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D正确.
16.(2021·商洛模拟)如图，椭圆 ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.
设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，
(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.
解 连接F1Q，如图所示，由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|.设|PF1|＝m，所以|QF1|＝4a－2m，|QF2|＝2m－2a，|PF2|＝2a－m，又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，
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