高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第8章 §8 7　抛物线课件PPT

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第八章　解析几何§8.7　抛物线1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何 性质.2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.考试要求内容索引主干梳理　基础落实题型突破　核心探究课时精练ZHUGANSHULI JICHULUOSHI主干梳理 基础落实11.抛物线的概念(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹.(2)焦点： 叫做抛物线的焦点.(3)准线： 叫做抛物线的准线.相等点F直线l2.抛物线的标准方程和简单几何性质x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈Rx轴y轴(0,0)11.抛物线定义中，若l经过点F，则点的轨迹会怎样？提示　若l经过点F，则到F与到l距离相等的点的轨迹是过点F且与l垂直的直线.微思考2.怎样计算抛物线的焦半径(抛物线上的点到焦点的距离)？抛物线的焦点弦的最小值是多少？提示　抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点的距离(焦半径)为x0＋ ；抛物线的焦点弦的最小值是2p(通径的长度).题组一　思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(　　)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.(　　)(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.(　　)××××题组二　教材改编2.过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于A.9 B.8 C.7 D.6√解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.3.抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点的个数为______.解析　设P(x1，y1)，则|PF|＝x1＋2＝5，得x1＝3，y1＝±2 .故满足条件的点的个数为2.24.已知A(2,0)，B为抛物线y2＝x上一点，则|AB|的最小值为______.解析　设点B(x，y)，则x＝y2≥0，题组三　易错自纠5.(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点P(－2,3)的抛物线的标准方程是√√解析　设抛物线的标准方程是y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，6.设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_________.[－1,1]解析　Q(－2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1.TIXINGTUPO HEXINTANJIU2题型突破 核心探究题型一　抛物线的定义和标准方程自主演练1.(2020·全国Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p等于A.2 B.3 C.6 D.9√又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，2.设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为A.x＝－4 B.x＝－3C.x＝－2 D.x＝－1解析　直线2x＋3y－8＝0与x轴的交点为(4,0)，∴抛物线y2＝2px的焦点为(4,0)，∴准线方程为x＝－4.√3.动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.解析　设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.y2＝4x4.(2020·佛山模拟)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，点P(4，y0)在抛物线上，K为l与y轴的交点，且|PK|＝ |PF|，则y0＝___，p＝___.24解析　作PM⊥l，垂足为M，由抛物线定义知|PM|＝|PF|，又知|PK|＝ |PF|，∴∠PKM＝45°，∴△PMK为等腰直角三角形，∴|PM|＝|MK|＝4，又知点P在抛物线x2＝2py(p>0)上，(1)应用抛物线定义的两个关键点①由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.②抛物线焦点到准线的距离为p.(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.思维升华题型二　抛物线的几何性质及应用多维探究命题点1　焦半径和焦点弦例1　(1)已知抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为A.4 B.9 C.10 D.18√所以该抛物线的焦点到准线的距离为10.(2)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为√方法一　联立直线方程与抛物线方程化简得Δ>0显然成立，命题点2　与抛物线有关的最值问题例2　(1)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为_____.2解析　由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依据抛物线定义知，当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________.解析　如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，(1)由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离，从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程.(2)与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.思维升华跟踪训练1　(1)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为√解析　由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|＋|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2，故选D.(2)若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是√解析　由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离.∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1,0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，题型三　直线与抛物线师生共研(1)求直线AP斜率的取值范围；解　设直线AP的斜率为k，所以直线AP斜率的取值范围是(－1,1).(2)求|PA|·|PQ|的最大值.所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，(1)求解直线与抛物线问题，一般利用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则可用弦长公式.思维升华跟踪训练2　(1)(2020·济南期末)直线y＝x＋b交抛物线y＝ x2于A，B两点，O为抛物线顶点，OA⊥OB，则b的值为A.－1 B.0 C.1 D.2√化简可得x2－2x－2b＝0，故x1＋x2＝2，x1x2＝－2b，所以y1y2＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝b2.又OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，即－2b＋b2＝0，则b＝2或b＝0，经检验b＝0时，不符合题意，故b＝2.(2)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为A.16 B.14 C.12 D.10√解析　抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.同理得|DE|＝4＋4k2，故|AB|＋|DE|的最小值为16.KESHIJINGLIAN3课时精练12345678910111213141516A.2 B.3 C.4 D.8√123456789101112131415162.(2020·全国Ⅲ)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为√解析　方法一　∵抛物线C关于x轴对称，∴D，E两点关于x轴对称.又∵OD⊥OE，12345678910111213141516方法二　∵抛物线C关于x轴对称，∴D，E两点关于x轴对称.∵OD⊥OE，∴D，E两点横、纵坐标的绝对值均相等.不妨设点D(2,2)，将点D的坐标代入C：y2＝2px，123456789101112131415163.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧.一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m.若水面下降1 m，则水面宽度为解析　由题意，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意知，抛物线经过点A(－4，－2)和点B(4，－2)，代入抛物线方程解得p＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y，√123456789101112131415164.(2020·北京)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l.P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线A.经过点O B.经过点PC.平行于直线OP D.垂直于直线OP√解析　如图所示，P为抛物线上异于O的一点，则|PF|＝|PQ|，∴QF的垂直平分线经过点P.1234567891011121314151612345678910111213141516√√√1234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415166.(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，斜率为 且经过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则以下结论正确的是A.p＝2 B.F为AD的中点C.|BD|＝2|BF| D.|BF|＝2√√√12345678910111213141516解析　如图.得12x2－20px＋3p2＝0.12345678910111213141516∴抛物线方程为y2＝4x.∴|BD|＝2|BF|，故选ABC.123456789101112131415167.(2020·新高考全国Ⅰ)斜率为 的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________.解析　如图，由题意得，抛物线焦点为F(1,0)，得3x2－10x＋3＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，12345678910111213141516123456789101112131415168.已知直线l是抛物线y2＝2px(p>0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O和焦点F与l相切，则抛物线的方程为________.y2＝8x解析　∵半径为3的圆与抛物线的准线l相切，∴圆心到准线的距离等于3，9.直线l过抛物线C：y2＝2px (p > 0)的焦点F(1,0)，且与C交于A，B两点，则p＝____， ＝_____.1234567891011121314151621所以抛物线方程为y2＝4x.当直线AB的斜率不存在时，将x＝1代入抛物线方程，解得|AF|＝|BF|＝2，当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y＝k(x－1)，整理，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，123456789101112131415161234567891011121314151610.点P为抛物线y2＝4x上的动点，点A(2,1)为平面内定点，F为抛物线焦点，则：(1)|PA|＋|PF|的最小值为_____；123456789101112131415163解析　如图1，由抛物线定义可知，|PF|＝|PH|，|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PH|，从而最小值为A到准线的距离为3.(2)|PA|－|PF|的最小值为________，最大值为________.12345678910111213141516解析　如图2，当P，A，F三点共线，且P在FA延长线上时，|PA|－|PF|有最小值为－|AF|＝－ .当P，A，F三点共线，且P在AF延长线上时，|PA|－|PF|有最大值为|AF|＝ .11.定长为3的线段AB的端点A，B在抛物线y2＝x上移动，求AB的中点到y轴距离的最小值，并求出此时AB中点的坐标.12345678910111213141516解　如图所示，F是抛物线y2＝x的焦点，过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为C，D，过AB的中点M作准线的垂线MN，垂足为N，连接AF，BF，由抛物线的定义知|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|，12345678910111213141516当弦AB过点F时等号成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2x.123456789101112131415161234567891011121314151612.(2021·沈阳模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，且l1与l2交于点M.(1)求p的值；焦点到准线的距离为2，即p＝2.12345678910111213141516(2)若l1⊥l2，求△MAB面积的最小值.12345678910111213141516解　由(1)知抛物线的方程为x2＝4y，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，即x1x2＝－4.12345678910111213141516设直线l的方程为y＝kx＋m，与抛物线方程联立，所以x2－4kx－4m＝0，Δ＝16k2＋16m>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m＝－4，所以m＝1，即l：y＝kx＋1.12345678910111213141516当k＝0时，△MAB的面积取得最小值4.√1234567891011121314151612345678910111213141516解析　由抛物线的定义可得|AF|＝|AH|，∵AH垂直于准线，∴∠FAH＝60°，故△AHF为等边三角形.过F作FM⊥AH于M，则在Rt△FAM中，12345678910111213141516123456789101112131415164则线段AB的垂直平分线过点D.所以y1＋y2＝2，所以|AB|＝y1＋y2＋2＝4.123456789101112131415161234567891011121314151615.(2020·湖南名校大联考)已知P为抛物线C：y＝x2上一动点，直线l：y＝2x－4与x轴、y轴交于M，N两点，点A(2，－4)且 则λ＋μ的最小值为_______.解析　由题意得M(2,0)，N(0，－4)，设P(x，y)，12345678910111213141516∴x－2＝－2μ，y＋4＝4λ.1234567891011121314151616.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作一条倾斜角为 的直线与抛物线相交于A，B两点.(1)用p表示A，B之间的距离；1234567891011121314151612345678910111213141516(2)证明：∠AOB的大小是与p无关的定值，并求出这个值.解　在△AOB中，由余弦定理可知，12345678910111213141516本课结束更多精彩内容请登录：www.xinjiaoyu.com