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高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第8章 高考专题突破五 第2课时 定点与定值问题课件PPT
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这是一份高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第8章 高考专题突破五 第2课时 定点与定值问题课件PPT，共53页。PPT课件主要包含了答题模板，题型一定点问题，规范解答，∴直线CD的方程为，12分，题型二定值问题，1求C的方程，将①代入上式，课时精练，解得a＝2等内容，欢迎下载使用。
例1 (12分)(2020·全国Ⅰ)已知A，B分别为椭圆E： ＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点， ＝8.P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点.
(1)解 依据题意作图，如图所示，
A(－a,0)，B(a,0)，G(0,1)，
(2)证明 设P(6，y0)，
第一步：确定曲线方程(一般根据待定系数法或定义法).第二步：设直线方程并与曲线方程联立，得关于x或y的一元二次方程.第三步：写出根与系数的关系(或求出交点坐标).第四步：将第三步得出的关系代入题目条件，解决范围、最值或定点、定值等问题.第五步：反思回顾，考虑方程有解条件和图形完备性.
跟踪训练1 (2019·北京)已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1).(1)求抛物线C的方程及其准线方程；
解 由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)，得p＝2.所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.
(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
证明 抛物线C的焦点为F(0，－1).设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0).
Δ＝16k2＋16>0恒成立.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－4.
综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0，－3).
解得a2＝6，b2＝3.
(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值.
证明 设M(x1，y1)，N(x2，y2).若直线MN与x轴不垂直，
得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.
故(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，整理得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0.
整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0.因为A(2,1)不在直线MN上，所以2k＋m－1≠0，所以2k＋3m＋1＝0，k≠1.
若直线MN与x轴垂直，可得N(x1，－y1).
得(x1－2)(x1－2)＋(y1－1)(－y1－1)＝0.
若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边，
圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值.(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得.(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋m与l1，l2分别交于M，N两点，求证：∠MF1N为定值.
证明 由题意可知，l1的方程为x＝－3，l2的方程为x＝3.直线l分别与直线l1，l2的方程联立得M(－3，－3k＋m)，N(3,3k＋m)，
得(9k2＋8)x2＋18kmx＋9m2－72＝0.因为直线l与椭圆C相切，所以Δ＝(18km)2－4(9k2＋8)(9m2－72)＝0，
化简得m2＝9k2＋8.
KESHIJINGLIAN
(1)求椭圆C的标准方程；
解 由椭圆的定义，可知
(2)过点B(4,0)作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，记点P关于x轴对称的点为P′.证明：直线P′Q经过x轴上一定点D，并求出定点D的坐标.
证明 由题意，设直线l的方程为x＝my＋4(m≠0).设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则P′(x1，－y1).
可得(m2＋4)y2＋8my＋12＝0.∵Δ＝16(m2－12)>0，∴m2>12.
∴D(1,0).∴直线P′Q经过x轴上定点D，其坐标为(1,0).
2.(2020·西安模拟)设F1，F2为椭圆C： ＝1(b>0)的左、右焦点，M为椭圆上一点，满足MF1⊥MF2，已知△MF1F2的面积为1.(1)求椭圆C的方程；
解 由椭圆定义得|MF1|＋|MF2|＝4，①由MF1⊥MF2得|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2＝4(4－b2)，②
由①②③，可得b2＝1，
(2)设C的上顶点为H，过点(2，－1)的直线与椭圆交于R，S两点(异于H)，求证：直线HR和HS的斜率之和为定值，并求出这个定值.
解 依题意，H(0,1)，显然直线RS的斜率存在且不为0，设直线RS的方程为y＝kx＋m(k≠0)，代入椭圆方程并化简得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.由题意知，Δ＝16(4k2－m2＋1)>0，设R(x1，y1)，S(x2，y2)，x1x2≠0，
∵直线RS过点(2，－1)，∴2k＋m＝－1，∴kHR＋kHS＝－1.故kHR＋kHS为定值－1.
3.(2018·北京)已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；
解 因为抛物线y2＝2px过点(1,2)，所以2p＝4，即p＝2.故抛物线C的方程为y2＝4x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)，
依题意知Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，解得k<0或0
证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
4.已知P是圆F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点，F2(1,0)，线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；
解 由线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，得|QF1|＋|QF2|＝|QF1|＋|QP|＝|PF1|＝4>|F1F2|＝2，所以点Q的轨迹为以F1，F2为焦点，长轴长为4的椭圆，故2a＝4，a＝2,2c＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3.
(2)记曲线C与x轴交于A，B两点，M是直线x＝1上任意一点，直线MA，MB与曲线C的另一个交点分别为D，E，求证：直线DE过定点H(4,0).
证明 由(1)可设A(－2,0)，B(2,0)，点M的坐标为(1，m)，
(4m2＋27)x2＋16m2x＋16m2－108＝0，
直线MB的方程为y＝－m(x－2)，
(4m2＋3)x2－16m2x＋16m2－12＝0，
因为k1＝k2，所以直线DE经过定点H(4,0).
5.(2020·华中师大附中月考)如图，已知椭圆C1： ＋y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B1，B2，记四边形A1B1A2B2的内切圆为圆C2.
(1)求圆C2的标准方程；
解 因为A2，B1分别为椭圆C1： ＋y2＝1的右顶点和上顶点，
则A2，B1的坐标分别为(2,0)，(0,1)，可得直线A2B1的方程为x＋2y＝2.
(2)已知圆C2的一条不与坐标轴平行的切线l交椭圆C1于P，M两点.(ⅰ)求证：OP⊥OM；
证明 可设切线l：y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，M(x2，y2)，
又l与圆C2相切，可知原点O到l的距离
解 由(ⅰ)知OP⊥OM，①当直线OP的斜率不存在时，显然|OP|＝1，|OM|＝2，
②当直线OP的斜率存在时，设直线OP的方程为y＝k1x，
例1 (12分)(2020·全国Ⅰ)已知A，B分别为椭圆E： ＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点， ＝8.P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点.
(1)解 依据题意作图，如图所示，
A(－a,0)，B(a,0)，G(0,1)，
(2)证明 设P(6，y0)，
第一步：确定曲线方程(一般根据待定系数法或定义法).第二步：设直线方程并与曲线方程联立，得关于x或y的一元二次方程.第三步：写出根与系数的关系(或求出交点坐标).第四步：将第三步得出的关系代入题目条件，解决范围、最值或定点、定值等问题.第五步：反思回顾，考虑方程有解条件和图形完备性.
跟踪训练1 (2019·北京)已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1).(1)求抛物线C的方程及其准线方程；
解 由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)，得p＝2.所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.
(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
证明 抛物线C的焦点为F(0，－1).设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0).
Δ＝16k2＋16>0恒成立.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－4.
综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0，－3).
解得a2＝6，b2＝3.
(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值.
证明 设M(x1，y1)，N(x2，y2).若直线MN与x轴不垂直，
得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.
故(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，整理得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0.
整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0.因为A(2,1)不在直线MN上，所以2k＋m－1≠0，所以2k＋3m＋1＝0，k≠1.
若直线MN与x轴垂直，可得N(x1，－y1).
得(x1－2)(x1－2)＋(y1－1)(－y1－1)＝0.
若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边，
圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值.(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得.(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋m与l1，l2分别交于M，N两点，求证：∠MF1N为定值.
证明 由题意可知，l1的方程为x＝－3，l2的方程为x＝3.直线l分别与直线l1，l2的方程联立得M(－3，－3k＋m)，N(3,3k＋m)，
得(9k2＋8)x2＋18kmx＋9m2－72＝0.因为直线l与椭圆C相切，所以Δ＝(18km)2－4(9k2＋8)(9m2－72)＝0，
化简得m2＝9k2＋8.
KESHIJINGLIAN
(1)求椭圆C的标准方程；
解 由椭圆的定义，可知
(2)过点B(4,0)作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，记点P关于x轴对称的点为P′.证明：直线P′Q经过x轴上一定点D，并求出定点D的坐标.
证明 由题意，设直线l的方程为x＝my＋4(m≠0).设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则P′(x1，－y1).
可得(m2＋4)y2＋8my＋12＝0.∵Δ＝16(m2－12)>0，∴m2>12.
∴D(1,0).∴直线P′Q经过x轴上定点D，其坐标为(1,0).
2.(2020·西安模拟)设F1，F2为椭圆C： ＝1(b>0)的左、右焦点，M为椭圆上一点，满足MF1⊥MF2，已知△MF1F2的面积为1.(1)求椭圆C的方程；
解 由椭圆定义得|MF1|＋|MF2|＝4，①由MF1⊥MF2得|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2＝4(4－b2)，②
由①②③，可得b2＝1，
(2)设C的上顶点为H，过点(2，－1)的直线与椭圆交于R，S两点(异于H)，求证：直线HR和HS的斜率之和为定值，并求出这个定值.
解 依题意，H(0,1)，显然直线RS的斜率存在且不为0，设直线RS的方程为y＝kx＋m(k≠0)，代入椭圆方程并化简得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.由题意知，Δ＝16(4k2－m2＋1)>0，设R(x1，y1)，S(x2，y2)，x1x2≠0，
∵直线RS过点(2，－1)，∴2k＋m＝－1，∴kHR＋kHS＝－1.故kHR＋kHS为定值－1.
3.(2018·北京)已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；
解 因为抛物线y2＝2px过点(1,2)，所以2p＝4，即p＝2.故抛物线C的方程为y2＝4x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)，
依题意知Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，解得k<0或0
证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
4.已知P是圆F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点，F2(1,0)，线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；
解 由线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，得|QF1|＋|QF2|＝|QF1|＋|QP|＝|PF1|＝4>|F1F2|＝2，所以点Q的轨迹为以F1，F2为焦点，长轴长为4的椭圆，故2a＝4，a＝2,2c＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3.
(2)记曲线C与x轴交于A，B两点，M是直线x＝1上任意一点，直线MA，MB与曲线C的另一个交点分别为D，E，求证：直线DE过定点H(4,0).
证明 由(1)可设A(－2,0)，B(2,0)，点M的坐标为(1，m)，
(4m2＋27)x2＋16m2x＋16m2－108＝0，
直线MB的方程为y＝－m(x－2)，
(4m2＋3)x2－16m2x＋16m2－12＝0，
因为k1＝k2，所以直线DE经过定点H(4,0).
5.(2020·华中师大附中月考)如图，已知椭圆C1： ＋y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B1，B2，记四边形A1B1A2B2的内切圆为圆C2.
(1)求圆C2的标准方程；
解 因为A2，B1分别为椭圆C1： ＋y2＝1的右顶点和上顶点，
则A2，B1的坐标分别为(2,0)，(0,1)，可得直线A2B1的方程为x＋2y＝2.
(2)已知圆C2的一条不与坐标轴平行的切线l交椭圆C1于P，M两点.(ⅰ)求证：OP⊥OM；
证明 可设切线l：y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，M(x2，y2)，
又l与圆C2相切，可知原点O到l的距离
解 由(ⅰ)知OP⊥OM，①当直线OP的斜率不存在时，显然|OP|＝1，|OM|＝2，
②当直线OP的斜率存在时，设直线OP的方程为y＝k1x，
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