高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第8章 高考专题突破五 第3课时　证明与探索性问题课件PPT

这是一份高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第8章 高考专题突破五 第3课时　证明与探索性问题课件PPT，共49页。PPT课件主要包含了题型一证明问题，1求C的离心率，设∠BAF＝θ，题型二探索性问题，课时精练等内容，欢迎下载使用。

解　设双曲线的离心率为e，焦距为2c，
所以a2＋ac＝b2＝c2－a2，所以e2－e－2＝0，所以e＝2.
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
设B(x，y)(x>0，y>0)，
因为0≤2∠BAF≤π，0≤∠BFA≤π，所以∠BFA＝2∠BAF.当x＝c时，
综上，∠BFA＝2∠BAF.
圆锥曲线中的证明问题常见的有(1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等.(2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等.在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明.
跟踪训练1　已知顶点是坐标原点的抛物线Γ的焦点F在y轴正半轴上，圆心在直线y＝ x上的圆E与x轴相切，且点E，F关于点M(－1,0)对称.(1)求E和Γ的标准方程；
因为E，F关于M(－1,0)对称，
所以抛物线Γ的标准方程为x2＝4y.因为圆E与x轴相切，故半径r＝|a|＝1，所以圆E的标准方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝1.
(2)过点M的直线l与圆E交于A，B两点，与Γ交于C，D两点，求证：|CD|> |AB|.
证明　由题意知，直线l的斜率存在，设l的斜率为k，那么其方程为y＝k(x＋1)(k≠0).
因为l与E交于A，B两点，所以d2Δ＝16k2＋16k>0恒成立，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4k，
例2　(2019·全国Ⅰ)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切.(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；
解　因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a).因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.由已知得|AO|＝2.又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4.故⊙M的半径r＝2或r＝6.
(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由.
解　存在定点P(1,0)，使得|MA|－|MP|为定值.理由如下：设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2.由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2,化简得M的轨迹方程为y2＝4x.因为曲线C：y2＝4x是以点P(1,0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以|MP|＝x＋1.因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.
探索性问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.
跟踪训练2　(2021·皖北协作区联考)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点.(1)求椭圆C的方程；
且可知左焦点F′的坐标为(－2,0).
又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，
(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
解　不存在，理由如下.假设存在符合题意的直线l，
整理得3x2＋3tx＋t2－12＝0.因为直线l与椭圆C有公共点，所以Δ＝(3t)2－4×3×(t2－12)≥0，
所以符合题意的直线l不存在.
在圆锥曲线问题中，常见各种含两直线斜率k1，k2的双斜率问题，齐次化处理是解决这类问题的重要策略.
双斜率问题的齐次化处理
例　已知A，B为抛物线y2＝4x上异于顶点的两动点，且满足以AB为直径的圆过顶点.求证：直线AB过定点.
证明　当直线AB斜率存在时，设直线AB：y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
整理得，by2－4xy＋4kx2＝0，
∴y＝kx＋b＝k(x－4)，故直线AB过定点(4,0).当直线AB的斜率不存在时，由对称性可知∠AOx＝45°.直线OA和抛物线y2＝4x的交点为(4,4)，直线AB的方程为x＝4，直线AB过点(4,0).综上，直线AB过定点(4,0).
KESHIJINGLIAN
(1)求椭圆C的方程；
解　由题意知，c＝1，
又a2＝b2＋c2＝b2＋1，解得a2＝4，b2＝3，
(2)已知点M(－4,0)，过F作直线l交椭圆于A，B两点，求证：∠FMA＝∠FMB.
证明　当l与x轴垂直时，直线MF恰好平分∠AMB，则∠FMA＝∠FMB；当l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，
∵Δ>0恒成立，∴设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线MA，MB的斜率之和为
∴kMA＋kMB＝0，故直线MA，MB的倾斜角互补，综上所述，∠FMA＝∠FMB.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线.
证明　当直线AB，CD的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M，N在x轴上，O，M，N三点共线，当直线AB，CD的斜率存在时，设其斜率为k，且设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
∴O，M，N三点共线.
(1)求椭圆C1的方程；
证明　由(1)得A(－2,0)，B(2,0)，设D(x0，y0)，所以E(x0,0)，
所以P为DE的中点，|PD|＝|PE|.
证明　设直线l的方程为y＝kx＋t，
消去y得(4k2＋3)x2＋8ktx＋4t2－12＝0，则Δ＝64k2t2－4(4t2－12)(3＋4k2)>0，得4k2＋3>t2，①
因为M(1，m)，F(1,0)，所以P的坐标为(1，－2m).
5.(2020·衡水模拟)已知点P在圆O：x2＋y2＝6上运动，点P在x轴上的投影为Q，动点M满足 .(1)求动点M的轨迹E的方程；
解　设M(x，y)，P(x0，y0)，
又点P(x0，y0)在圆O：x2＋y2＝6上，
(2)过点(2,0)的动直线l与曲线E交于A，B两点，问：在x轴上是否存在定点D，使得 的值为定值？若存在，求出定点D的坐标及该定值；若不存在，请说明理由.
解　当直线l的斜率存在时，设l：y＝k(x－2)，
(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
根据题意，假设x轴上存在定点D(m,0)，
＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1－2)(x2－2)＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋(4k2＋m2)
要使上式为定值，即与k无关，则3m2－12m＋10＝3(m2－6)，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，