高中数学高考安徽省六安市舒城中学2019届高三数学下学期第三次仿真模拟试题理(1)

舒城中学2019届高三仿真试题（三）

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。试卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知复数满足（是虚数单位），则       （    ）

.          .          .           .

2. 《九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，某校王教师根据其中第六章“均输”问题的思想设计了如图所示的程序框图，则输出的的值为                                          （    ）        

A.          

B.         

C.           

D.

3、函数的大致图象为（    ）

4. 已知数列满足，则                （    ）

A. 6       B. 7      C. 8         D. 9

5．某样本中共有5个个体，其中四个值分别为0，1，2，3，第五个值丢失，但该样本的平均值为1，则样本方差为                                                                                                                                                                                                                  （　　）

A．2    B．   C．    D．

6． 双曲线C： 的离心率为2，焦点到渐近线的距离为 ，则C的焦距等于                                                                                                                                                                             （　　）

A．2   B．   C．4   D．

7.  在△ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，一只蚂蚁（大小忽略不计）从△ABC的内切圆的圆心出发，在三角形内部开始随机爬行，若蚂蚁在与△ABC各边距离不小于1时其行动是安全的，则这只蚂蚁在△ABC内任意行动安全的概率是                                                                                                                                            （　　）

A.      B.       C.       D.

8.  将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于y轴对称，则的最小正值是                                                        （    ）

A.         B.           C.            D.

9． 若不等式组 表示的平面区域是一个直角三角形，则该直角三角形的面积是(  )

A．    B．    C．    D．或

10．已知，则         （　　）

A．    B．    C．   D．或

11. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为 且 则此三棱锥外接球表面积的最小值为（    ）

A．      B．      C．       D．

12．已知函数 ，若对任意的 ，且 时， ，则实数 的取值范围为     （　　）

A．  B． C．   D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 在中，，为边AC中点，，则的值为       。

14.若二项式 的展开式存在常数项，则正整数的最小值        。

15．已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A，B，C，D，E这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有　   　种            。

16. 在正方体中，点为线段的中点，设点在线段上运动，直线与平面所成的角为，则的最大值为            。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22、23题为选考题，考生根据要求做答。

17. （本小题满分12分）已知等差数列 的公差为2，前 项和为 ，且，，成等比数列．

（Ⅰ）求数列 的通项公式；（Ⅱ）令 ，求数列 的前2019项和．

18. （本小题满分12分）

如图所示，为梯形底边的高，沿着把平面折起来，使得平面平面，，。

（Ⅰ）求与 的夹角；（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

19. （本小题满分12分） 随着生活节奏的加快以及我国政府提出的扩大内需背景下，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费习惯，由此催生了多个外卖点餐APP，为了抢夺用户，推广平台的用户数，各个外卖平台推出了各种不同的优惠措施来吸引顾客，已知甲外卖点餐平台对使用该平台点餐的用户给出补贴，补贴标准如下

已知小明经常用手机点外卖，现统计了小明一个月（30天）的点餐金额，得到频率分布直方图如下图所示。用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：

（Ⅰ）求小明用甲网络平台点餐每单补贴的均值；

（Ⅱ）若乙外卖点餐平台向小明的手机上发送广告，该外卖平台规定，对使用该平台点餐的用户进行抽奖，每次点餐后可抽奖三次，每次中奖的概率都为，且每次抽奖互不影响，中奖1次点餐金额打9折，中奖2次点餐金额打8折，中奖3次点餐金额打7折，假设同一组中每个数值可用该组区间的中点值代替，如果仅从每单的平均优惠的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小明作出选择，是否要改用乙网络平台点餐？

20．（本小题满分12分）给定椭圆C： ，称圆心在原点O，半径为 的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F ，其短轴上的一个端点到F 的距离为 ．

（Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；

（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线 交“准圆”于点M，N．证明： ，且线段MN的长为定值．

21．（本小题满分12分）已知函数.

（Ⅰ）若，函数f(x)的极大值为，求实数a的值；

（Ⅱ）若对任意的，f(x) bln(x＋1)在x∈[0，＋∞)上恒成立，求实数b的取值范围．

22．（本小题满分10分）已知曲线C的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 的参数方程为 （ 为参数）．

（Ⅰ）写出直线的一般方程与曲线C的直角坐标方程；

（II）将曲线C向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到曲线D，设曲线D经过伸缩变换 得到曲线E，设曲线E上任一点为 ，求 的取值范围．

23. [选修4—5：不等式选讲] （10分）已知函数。

（Ⅰ）当a=1时，求不等式的解集；

（II）若存在，使不等式成立，求 的取值范围。

答案与解析

13.

14. 4

15. 18

16.

解：（Ⅰ）∵等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，

∴Sn==n2﹣n+na1，

∵S1，S2，S4成等比数列，

∴，

∴，化为，解得a1=1．

∴an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn=（﹣1）n﹣1==．

∴Tn=﹣++…+．

当n为偶数时，Tn=﹣++…+﹣=1﹣=．

当n为奇数时，Tn=﹣++…﹣+=1+=．

∴Tn=．

18. （1）证明：因为，，所以，所以，又因为平面平面，平面平面，

，，，又因为 所以，，所以，又因为，所以；

（2）由（1）可知，两两垂直，以为轴建立空间坐标系，可得，，，平面的法向量，设平面的法向量，，，所以，即，所以，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为。

19. 解：（Ⅰ）依题意可得小明用甲网络平台点餐每单补贴的分布列为：

小明用甲网络平台点餐每单补贴的均值为（元）。（5分）

（Ⅱ）小明所点外卖平均每单的金额为

 若选择乙外卖点餐平台，设每单优惠元，则的可能取值为0，3.125，6.25，9.375。

。 ；

；；

∴（元），（10分）

∵，

∴小明应该改用乙网络平台点餐。 （12分）

（Ⅰ）解：∵椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到F的距离为．

∴，，

∴=1，

∴椭圆方程为，

∴准圆方程为x2+y2=4．

（Ⅱ）①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，

则l1：，

当l1：时，l1与准圆交于点，

此时l2为y=1（或y=﹣1），显然直线l1，l2垂直；

同理可证当l1：时，直线l1，l2垂直．

②当l1，l2斜率存在时，设点P（x0，y0），其中．

设经过点P（x0，y0）与椭圆相切的直线为y=t（x﹣x0）+y0，

∴由

得．

由△=0化简整理得，

∵，∴有．

设l1，l2的斜率分别为t1，t2，

∵l1，l2与椭圆相切，

∴t1，t2满足上述方程，

∴t1•t2=﹣1，即l1，l2垂直．

综合①②知：∵l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直．

∴线段MN为准圆x2+y2=4的直径，|MN|=4，∴线段MN的长为定值．

21.解析：(1)由题意，f′(x)＝(2ax＋1)e－x－(ax2＋x＋a)e－x＝－e－x[ax2＋(1－2a)x＋a－1]＝－e－x(x－1)(ax＋1－a)．

①当a＝0时，f′(x)＝－e－x(x－1)，

令f′(x)>0，得x<1；f′(x)<0，得x>1，

所以f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．

所以f(x)的极大值为f(1)＝≠，不合题意．

②当a>0时，1－<1，

令f′(x)>0，得1－<x<1；

f′(x)<0，得x<1－或x>1，

所以f(x)在(1－，1)上单调递增，在(－∞，1－)，(1，＋∞)上单调递减．

所以f(x)的极大值为f(1)＝＝，得a＝1.

综上所述，a＝1.

(2)令g(a)＝e－x(x2＋x)a＋xe－x，a∈(－∞，0]，

当x∈[0，＋∞)时，e－x(x2＋x)≥0，

则g(a)≤bln(x＋1)对∀a∈(－∞，0]恒成立等价于g(a)≤g(0)≤bln(x＋1)，

即xe－x≤bln(x＋1)，对x∈[0，＋∞)恒成立．

①当b≤0时，∀x∈(0，＋∞)，bln(x＋1)<0，xe－x>0，

此时xe－x>bln(x＋1)，不合题意．

②当b>0时，令h(x)＝bln(x＋1)－xe－x，x∈[0，＋∞)，

则h′(x)＝－(e－x－xe－x)＝，

其中(x＋1)ex>0，∀x∈[0，＋∞)，

令p(x)＝bex＋x2－1，x∈[0，＋∞)，

则h(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，

a．b≥1时，p(x)≥p(0)＝b－1≥0，

所以对∀x∈[0，＋∞)，h′(x)≥0，

从而h(x)在[0，＋∞)上单调递增，

所以对∀x∈[0，＋∞)，h(x)≥h(0)＝0，

即不等式bln(x＋1)≥xe－x在[0，＋∞)上恒成立．

b．0<b<1时，由p(0)＝b－1<0，p(1)＝be>0及p(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，

所以存在唯一的x0∈(0,1)使得p(x0)＝0，

且x∈(0，x0)时，p(x0)<0.

从而x∈(0，x0)时，h′(x)<0，

所以h(x)在区间(0，x0)上单调递减，

则x∈(0，x0)时，h(x)<h(0)＝0，

即bln(x＋1)<xe－x，不符合题意．

综上所述，b≥1.

 22. 解：（I）∵直线l的参数方程为（t为参数）．

∴消去数t，得直线l的一般方程为，

∵曲线C的极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12，

∴由ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，

得曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=1．

∵圆心（2，3）到直线l的距离d==r，

∴直线l和曲线C相切．

（II）曲线D为x2+y2=1．

曲线D经过伸缩变换，得到曲线E的方程为，

则点M的参数方程为（θ为参数），

∴，

∴的取值范围为[﹣2，2]．

23. 解：（1）当a=1时，，

当时，由，解得；

当-1<x<2时，由，解得，所以-1<x<2；

当时，由，解得，所以。

综上可得，原不等式的解集为。

（2）因为，所以等价于|ax-2|<2，-2<ax-2<2，

即等价于，所以由题设得 存在使得成立，

又由，可知，所以a的取值范围为（0，4）。