高中数学高考板块2 核心考点突破拿高分 专题2 第2讲 数列求和及数列的简单应用(大题)(1)课件PPT

这是一份高中数学高考板块2 核心考点突破拿高分 专题2 第2讲 数列求和及数列的简单应用(大题)(1)课件PPT，共28页。PPT课件主要包含了内容索引，热点分类突破，真题押题精练，当n为奇数时，当n为偶数时，押题预测，真题体验等内容，欢迎下载使用。

NEIRONGSUOYIN
热点二　数列的证明问题
热点一　等差、等比数列基本量的计算
热点三　数列的求和问题
解决有关等差数列、等比数列问题，要立足于两个数列的概念，设出相应基本量，充分利用通项公式、求和公式、数列的性质确定基本量.解决综合问题的关键在于审清题目，弄懂来龙去脉，揭示问题的内在联系和隐含条件，形成解题策略.
例1　(2019·六安市第一中学模拟)已知正数数列{an}的前n项和为Sn，满足 ＝Sn＋Sn－1(n≥2)，a1＝1.(1)求数列{an}的通项公式；
∵an>0，an－1>0，∴an－an－1＝1(n≥3).
因此n＝2时，an－an－1＝1成立.∴数列{an}是等差数列，公差为1.∴an＝1＋n－1＝n.
(2)设bn＝(1－an)2－a(1－an)，若{bn}是递增数列，求实数a的取值范围.
解　bn＝(1－an)2－a(1－an)＝(n－1)2＋a(n－1)，∵{bn}是递增数列，∴bn＋1－bn＝n2＋an－(n－1)2－a(n－1)＝2n＋a－1>0，即a>1－2n恒成立，∴a>－1.∴实数a的取值范围是(－1，＋∞).
跟踪演练1　(2019·乐山调研)已知等差数列{an}中，a2＝5，a1，a4，a13成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式；
解　设等差数列{an}的公差为d，则a1＝5－d，a4＝5＋2d，a13＝5＋11d，因为a1，a4，a13成等比数列，所以(5＋2d)2＝(5－d)(5＋11d)，化简得d2＝2d，则d＝0或d＝2，当d＝0时，an＝5.当d＝2时，a1＝5－d＝3，an＝3＋(n－1)×2 ＝2n＋1(n∈N*).所以，当d＝0时，an＝5(n∈N*)；当d＝2时，an＝2n＋1(n∈N*).
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
解　由(1)知，当an＝5时，Sn＝5n.
判断数列是否为等差或等比数列的策略(1)将所给的关系式进行变形、转化，以便利用等差数列和等比数列的定义进行判断；(2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，则只需说明某连续三项(如前三项)不是等差(等比)数列即可.
例2　已知{an}是各项都为正数的数列，其前n项和为Sn，且Sn为an与 的等差中项.
当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1，代入①式得2Sn(Sn－Sn－1)－(Sn－Sn－1)2＝1，
又当n＝1时，由①式可得a1＝S1＝1(负值舍去)，
(2)求数列{an}的通项公式；
∵数列{an}的各项都为正数，
又a1＝S1＝1满足上式，
跟踪演练2　已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4.(1)证明：{Sn－n＋2}为等比数列；
证明　原式可转化为Sn－2(Sn－Sn－1)＝n－4(n≥2)，即Sn＝2Sn－1－n＋4，所以Sn－n＋2＝2[Sn－1－(n－1)＋2].由S1－2a1＝1－4，得S1＝3，所以S1－1＋2＝4，所以{Sn－n＋2}是首项为4，公比为2的等比数列.
(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.
解　由(1)知Sn－n＋2＝2n＋1，所以Sn＝2n＋1＋n－2，所以Tn＝(22＋23＋…＋2n＋1)＋(1＋2＋…＋n)－2n
1.裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次项消，有的是间隔项消.常见的裂项方式有：
2.如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，那么求数列{an·bn}的前n项和Sn时，可采用错位相减法.用错位相减法求和时，应注意：①等比数列的公比为负数的情形；②在写出“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“Sn－qSn”的表达式.
例3　(2019·河南省九师联盟模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝ (n∈N*).数列{bn}的前n项和为Tn，且满足Tn＝2－bn(n∈N*).(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
解得a2＝3或a2＝－1.若a2＝－1，则d＝－2，所以a3＝－3.
故a2＝－1不合题意，舍去.故a2＝3，所以等差数列{an}的公差d＝a2－a1＝2，故an＝2n－1.数列{bn}对任意正整数n满足Tn＝2－bn.当n＝1时，b1＝T1＝2－b1，解得b1＝1；当n>1时，bn＝Tn－Tn－1＝(2－bn)－(2－bn－1)＝bn－1－bn，
跟踪演练3　(2019·济宁模拟)等差数列{an}的公差为正数，a1＝1，其前n项和为Sn；数列{bn}为等比数列，b1＝2，且b2S2＝12，b2＋S3＝10.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
解　设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
∴an＝n，n∈N*，bn＝2n，n∈N*.
(2)设cn＝bn＋ ，求数列{cn}的前n项和Tn.
(2019·全国Ⅱ，理，19)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；
由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.又因为a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列.
(2)求{an}和{bn}的通项公式.
解　设数列{an}的公差为d，因为a7－a2＝10，所以5d＝10，解得d＝2.因为a1，a6，a21依次成等比数列，所以 ＝a1a21，即(a1＋5×2)2＝a1(a1＋20×2)，解得a1＝5.所以an＝2n＋3.
已知数列{an}为等差数列，a7－a2＝10，且a1，a6，a21依次成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式；