高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第二章 平面向量及其应用3 从速度的倍数到向量的数乘3.1 向量的数乘运算背景图课件ppt

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第二章 平面向量及其应用3 从速度的倍数到向量的数乘3.1 向量的数乘运算背景图课件ppt，共19页。PPT课件主要包含了自主预习·新知导学，合作探究·释疑解惑，探究一，探究二，探究三等内容，欢迎下载使用。

一、数乘向量的定义及其几何意义【问题思考】1.实数与向量相乘结果是实数还是向量?提示:向量.2.一物体做匀速直线运动,1 s的位移对应的向量为a,那么在同一方向上3 s的位移对应的向量为3a,在相反方向上3 s的位移对应的向量为-3a,那么向量3a,-3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系?提示:3a的长度是a的长度的3倍,它的方向与向量a的方向相同.-3a的长度是a的长度的3倍,它的方向与向量a的方向相反.
3.(1)实数λ与向量a的乘积是一个向量,记作λa.满足以下条件:①当λ>0时,向量λa与向量a的方向相同;当λ<0时,向量λa与向量a的方向相反;当λ=0时,0a=0.②|λa|=|λ||a|.这种运算称为向量的数乘.
(2)向量数乘的几何意义如图2-3-1,由实数与向量数乘λa的定义可以看出,它的几何意义是:当λ>0时,表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的|λ|倍;当λ<0时,表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍.
(3)单位向量:在非零向量a方向上的单位向量是 .它表明一个非零向量除以它的模(乘它的模的倒数)的结果是一个与原向量同方向的单位向量,这一过程称为向量的单位化.
二、数乘向量的运算律【问题思考】1.类比实数的运算律,向量数乘有怎样的运算律?提示:结合律、分配律.
2.(1)向量数乘的运算律:设λ,μ为实数,a,b为向量,那么根据向量的数乘定义,可以得到以下运算律:①(λ+μ)a= λa+μa ;②λ(μa)=(λμ)a;③λ(a+b)=λa+λb.(2)线性运算:向量的加法、减法和数乘的综合运算,通常称为向量的线性运算(或线性组合).
3.下列各式计算正确的有(　　).①(-7)6a=-42a;②7(a+b)-8b=7a+15b;③a-2b+a+2b=2a;④4(2a+b)=8a+4b.A.1个B.2个C.3个D.4个解析:①③④正确.答案:C
【例1】 (1)计算(5a-4b+c)-2(3a-2b+c);
分析:(1)根据数乘向量的运算法则求解;(2)先化简,再代入计算.解:(1)原式=5a-4b+c-6a+4b-2c=-a-c.
反思感悟 向量数乘的运算类似于代数多项式的运算,主要是“合并同类项”“提取公因式”,这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看成向量的系数.
【例2】 设x,y是未知向量.(1)解方程5(x+a)+3(x-b)=0;
解:(1)原方程可变形为5x+5a+3x-3b=0,即8x=-5a+3b,
反思感悟 向量也可以通过列方程(组)来解,把所求向量当作未知数,利用解代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.