北师大版高中数学必修第二册1-4-2单位圆与正弦函数、余弦函数的性质学案

1.4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的性质

课前篇·自主学习预案

1.正弦函数、余弦函数的基本性质

根据正弦函数v＝sin α和余弦函数u＝cos α的定义，我们不难从单位圆看出它们具有以下性质：

(1)定义域是R；

(2)最大值是1，最小值是－1，值域是[－1,1]；

(3)它们是周期函数，其周期是2kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为2π；

(4)正弦函数v＝sin α在区间

(k∈Z)上是增加的，

在区间(k∈Z)上是减少的．

余弦函数u＝cos α在区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的，在区间[2kπ，2kπ＋π(k∈Z)上是减少的．

2.正弦函数、余弦函数在各象限的符号

注意：按正值简记为：正弦一、二象限全为正；余弦偏在一、四中．

课堂篇·研习讨论导案

研习1　正弦函数与余弦函数的性质　　　　　　　　　　

[典例1]　(1)求下列函数的单调区间．

①V＝sin α　α∈[0,2π]

②v＝cos α　v∈[0,2π]　如果α∈R呢？

(2)求下列函数的值域，并写出取得最大值时的自变量α的值．

①y＝sin α　α∈

②y＝ cos α　α∈[－2π，0)

(3)求下列函数定义域

①y＝

②y＝

[自主记]

[分析]　根据单位圆，画图得知．

[解]　(1)①单增区间，；单减区间.

②单增区间[π，2π]，单减区间[0，π)．

(2)①值域

取得最大值时，α＝.

②值域

当α＝－2π时，取得最大值.

(3)①需解不等式cos x≥

定义域为(k∈Z)．

②需解不等式sin α≠1.{α|α≠＋2kπ，k∈Z}

[巧归纳]　1.研究正余弦函数性质，要充分利用单位圆，另外要注意角的范围．

2.解三角不等式的方法

一般先根据三角函数值的范围找出角的终边所在的区域，在找角的终边所在的区域时，要注意对于正弦要在单位圆上找纵坐标，对余余弦应在单位圆上找横坐标，根据这些坐标找出单位圆上满足要求的弧，即可找到角的终边所在的区域，再根据角的终边所在的区域写出角的范围.

[练习1]　(1)求y＝sin α，α∈的单调区间，值域．

(2)求函数y＝lg(2sin x－)的定义域．

解：(1)单调增区间，值域.

(2)定义域为(2kπ＋，2kπ＋)(k∈Z)．

研习2  判断符合求值

[典例2]　(1)确定sin 105°·cos 230°符号．

(2)求值：sin(－1740°)cos 1470°＋cos(－660°)·sin 750°

[自主记]

(1)[分析]　正弦值取决于终边与单位圆交点的纵坐标符号．

余弦值取决于终边与单位圆交点的横坐标符号．

[解]　负

(2)[分析]　利用诱导公式(一)，将任意角的三角函数转化为0～2π(或0°～360°)角的三角函数．

[解]　原式＝sin(60°－5×360°)·cos(30°＋4×360°)＋cos(60°－2×360°)·sin(30°＋2×360°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°

＝×＋×＝1.

[巧归纳]　1.正弦值，余弦值符号记忆：一全正，二正弦，三全负，四余弦．

2.熟记特殊角三角函数值对今后学习大有益处.

[练习2]　计算：sin 390°－cos π＋3cos(－660°)．

答案：1

研习3  三角函数在单位圆中的妙用

[典例3]　(1)在(0,2π)内，使用sin x>cos x成立的x的取值范围是(　　)

A.∪   B.

C.   D.∪

(2)若θ∈，则下列各式错误的是(　　)

A.sin θ＋cos θ<0   B．sin θ－cos θ>0

C.|sin θ|<|cos θ|   D．sin θ＋cos θ>0

[自主记]

(1)[分析]　在(0,2π)内，先找到sin x＝cos x的x的取值，然后画出三角函数线进行求解．

[解析]　当sin x＝cos x时，在(0,2π)内，x的取值为或，在单位圆内作出正弦线易得结论．

[答案]　C

(2)[答案]　D

[巧归纳]　准确应用单位圆中的三角函数线来求解角的范围，熟记并充分应用以下几种情形：

[练习3]　已知cos α≤sin α，那么角α的终边落在第一象限内的范围是(　　)

A.

B.

C.，k∈Z

D.，k∈Z

答案：C

达标篇·课堂速测演习

1.函数y＝sin x，x∈的最大值和最小值分别是(　　)

A.1，－1   B．1，

C.，－   D．1，－

答案：C

2.不等式sin x－1≥0的解集为________．

答案：{x

3.函数y＝的定义域为________．

答案：，k∈Z

4.求y＝－2sin x，x∈的值域．

解：由x∈，得sin x∈，

∴y∈[－2,1]，

∴y＝－2sin x，x∈的值域为[－2,1]．

[误区警示]　对定义域的求解取交集失误

[示例]　求函数y＝＋lg(2sin x＋)的定义域．

[错解]　要使函数有意义，则需满足1＋2cos x≥0，且2sin x＋>0，即cos x≥－，且sin x>－，所以2kπ＋≤x≤2kπ＋，且2kπ－<x<2kπ＋，其中k∈Z.其交集为空集，故无定义域．

[错因分析]　因两个不等式中的k各自独立，因此上述两集合是有公共部分的，如图所示．

[思路分析]　解三角不等式组时，先解每个三角不等式，再取它们的交集．取交集时，要注意各自解集中k的独立性．

[正解]要使函数有意义，则需同时满足1＋2cos x≥且2sin x＋>0，

即cos x≥－，且sin x>－.

由cos x≥－，知2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.

由sin x>－，知2nπ－<x<2nπ＋，n∈Z，

∴x的取值范围是{x.