北师大版 (2019)必修 第二册3.1 空间图形基本位置关系的认识导学案

这是一份北师大版 (2019)必修 第二册3.1 空间图形基本位置关系的认识导学案，共9页。

5.3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理(基本事实1、2、3)
课前篇·自主学习预案
1.空间点、直线、平面之间的位置关系及符号表示
(1)点与直线、点与平面的位置关系
①点与直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外．如图：
点B在直线b上，但在直线a外，记作：B∈b，B∉a.
②点与平面的位置关系有两种：点在平面内和点在平面外．如上图：
点B在平面α内，点A1在平面α外，记作：B∈α，A1∉α.(2)直线与直线、直线与平面的位置关系
①直线与直线的位置关系有两种：直线与直线相交和直线与直线不相交．如图：
直线a和直线l相交，记作：a∩l＝B1；直线b和直线l不相交，记作：b∩l＝∅.
②直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线与平面相交和直线与平面平行．如上图：
直线a在平面β内，即直线上的每个点都在平面内，记作：a⊂β；直线l与平面α相交，记作：l∩α＝A1；直线a与平面α无公共点，称直线a与平面α平行，记作：a∥α.a∥α⇔a∩α＝∅.
在画直线和平面平行时，通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外面，并且使它与平行四边形内的一条线段平行或与平行四边形的一边平行，如图：
(3)平面与平面的位置关系
平面与平面的位置关系有两种：平面与平面不相交和平面与平面相交．如图：
平面α与平面β不相交．
如图：
平面α与平面β相交．
若两个平面α与β不相交，则称这两个平面平行，记作α∥β.
α∥β⇔α∩β＝∅.
在画两个平行的平面时，通常把表示这两个平面的平行四边形的对应边画成互相平行的．如图：
2.与平面有关的3个基本事实
(1)基本事实1：过不在一条直线上的________，有且只有一个平面．如图：
(2)基本事实2：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
(3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个________，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
这样，基本事实3就可以用符号表示为
P∈α，P∈β⇔α∩β＝l，且P∈l.
3.平面性质的三个基本事实的三个推论
推论1：一条直线和该直线外一点确定一个平面．
推论2：两条相交直线确定一个平面．
推论3：两条平行直线确定一个平面．
答案：2.(1)三个点 (2)两个点 (3)公共点
课堂篇·研习讨论导案
研习1 文字语言、图形语言、符号语言的转化
[典例1] (1)如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
(2)用符号语言表示下列语句，并画出图形：
①三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；
②平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC．
[自主记]
[解] (1)图①的位置关系有：A∈a，A∈α，A∉β，B∈a，B∉α，B∈β，a∩α＝A，a∩β＝B，α∩β＝l等．
图②的位置关系有：P∈a，P∈b，P∈l，a⊂α，b⊂β，a∩b＝P，α∩β＝l等．
(2)①符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示：如图①.
②符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示：如图②.

[巧归纳] 三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
(3)转化时要注意符号的使用，“∈”或“∉”反映的是点与线、点与面的关系，而“⊂”或“⊄”反映的是直线与平面的关系．
研习2 共面问题
[典例2] 求证：两两相交且不共点的四条直线共面．
[证明] 如图，l1，l2，l3，l4两两相交，且不共点，
l1∩l2＝A，则存在平面α，满足l1⊂α，l2⊂α.
又∵l3∩l1＝B，l3∩l2＝D，
∴B∈l1，D∈l3，∴B，D∈α.
又B，D∈l3，∴l3⊂α.
同理l4⊂α，故四条直线共面．
[延伸探究]1.(变换条件)本题若改为“三条直线两两相交”，问可确定几个平面？
2.(变换条件)本题若改为“有三条直线相互平行且都与第四条直线相交”，则四条直线共面吗？
[自主记]
1.解：(1)当三条直线两两相交且不交于一点时，如图①可确定一个平面；
(2)当三条直线交于一点时有两种情况，如图②时，可确定一个平面，如图③时可确定三个平面．
故三条直线两两相交可确定一个或三个平面．

① ② ③
2.解：共面．如图设a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C．因为a∥b，所以a，b确定一个平面α.
又因为l∩a＝A，l∩b＝B，所以l上有两点A，B在α内，即直线l⊂α.于是a，b，l共面．
换句话说，若a，l确定一个平面α，过l上一点B，作b∥a，则b⊂α.
同理，过l上一点C，作c∥a，则c也在a，l确定的平面内．故a，b，c，l共面．
[巧归纳] 证明多线共面的两种方法
(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．
(2)重合法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.
研习3 点共线、线共点问题
[典例3] 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于Q，求证：D，A，Q三点共线．
[自主记]
[证明] ∵MN∩EF＝Q，
∴Q∈直线MN，Q∈直线EF.
又∵M∈直线CD，N∈直线AB，
CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴M，N∈平面ABCD，
∴MN⊂平面ABCD，∴Q∈平面ABCD.
同理，可得EF⊂平面ADD1A1，
∴Q∈平面ADD1A1.
又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，
∴Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线．
[巧归纳] 证明点共线及线共点的方法
(1)证明多点共线的方法是利用公理3，只需说明这些点都是两个平面的公共点，则必在这两个平面的交线上．
(2)证明三线共点常用的方法是：
①先说明两条直线共面且交于一点，然后说明这个点在两个平面内，于是该点在这两个平面的交线上，从而得到三线共点．
②先说明a，b相交于一点A，b与c相交于一点B，再说明A，B是同一点，从而得到a，b，c三线共点．
达标篇·课堂速测演习
1.如图所示，下列说法正确的是( )
A．可以表示a在α内
B．把平面α延展就可以表示a在平面内
C．因为直线是无限延伸的，所以可以表示直线a在平面α内
D.不可以表示直线a在平面α内，因为画法不对
答案：D
2.已知直线m⊂平面α，P∉m，Q∈m，则( )
A．P∉α，Q∈α B．P∈α，Q∉α
C．P∉α，Q∉α D．Q∈α
答案：D
解析：因为Q∈m，m⊂α，所以Q∈α.因为P∉m，所以有可能P∈α，也可能有P∉α.
3.如果两个不重合平面有一个公共点，那么这两个平面( )
A．没有其他公共点
B．仅有这一个公共点
C．仅有两个公共点
D.有无数个公共点
答案：D
解析：由公理3可知，两个不重合平面有一个公共点，它们有且只有一条过该公共点的公共直线，则有无数个公共点.
4.有以下三个命题：
①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；
②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示；
③已知平面α与β不重合，若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交．
其中真命题的序号是________．
答案：①③
解析：若直线与平面有两个公共点，则这条直线一定在这个平面内，故①正确；直线l在平面α内用符号“⊂”表示，即l⊂α，故②错误；由a与b相交，说明两个平面有公共点，因此一定相交，故③正确.
[规范解答] 证明三线共点问题
[示例] (12分)如图，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3.
求证：EF，GH，BD交于一点．
[解题流程]

新课程标准
学业水平要求
1.借助日常生活中的实物，认识空间图形的基本位置关系．
2．能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实、三个推论，理解三个基本事实和三个推论的地位与作用.
1.能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系．(直观想象)
2．能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，理解三个基本事实的地位与作用．(直观想象、逻辑推理)