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高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第2章 §2 1 第1课时 函数的概念及其表示课件PPT
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这是一份高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第2章 §2 1 第1课时 函数的概念及其表示课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了内容索引，主干梳理基础落实，题型突破核心探究，课时精练等内容，欢迎下载使用。
1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列 表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用.
ZHUGANSHULI JICHULUOSHI
1.函数的概念一般地，设A，B是非空的 ，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有 的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2.函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 ；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的 .(2)如果两个函数的 相同，并且 完全一致，我们就称这两个函数相等.
4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集.
3.函数的表示法表示函数的常用方法有 、图象法和 .
1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有多少个交点？
2.函数定义中，非空数集A，B与函数的定义域、值域有什么关系？
提示 函数的定义域即为集合A，值域为集合B的子集.
题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数.( )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( )(4)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭的曲线.( )
题组二 教材改编2.函数f(x)＝ 的定义域为________________.
解得x≥0且x≠2，∴原函数的定义域为[0,2)∪(2，＋∞).
[0,2)∪(2，＋∞)
3.已知函数f(x)＝ 则f(2)＝____.
解析 f(2)＝f(1)＝21＝2.
4.函数f(x)＝x－ 在区间[2,4]上的值域为________.
题组三 易错自纠5.下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是
解析 A选项中的值域不满足，B选项中的定义域不满足，D选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C正确.
∴f(t)＝t2＋t－1(t≥0)，∴f(x)＝x2＋x－1，x≥0.
TIXINGTUPO HEXINTANJIU
1.下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是
第1课时 函数的概念及其表示
2.(多选)下列各组函数相等的是A.f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
3.已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________.(填序号)
(1)函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同.
例1 求下列函数的解析式：(1)已知f(1－sin x)＝cs2x，求f(x)的解析式；
题型二 求函数的解析式
解 (换元法)设1－sin x＝t，t∈[0,2]，则sin x＝1－t，∵f(1－sin x)＝cs2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2].即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2].
∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；
解 (待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.
(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式.
解 (方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①②解得f(x)＝3x.
函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(4)方程思想：已知关于f(x)与f 或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).
(2)已知y＝f(x)是二次函数，若方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)＝__________.
解析 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，∴2ax＋b＝2x＋2，则a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋c，又f(x)＝0，即x2＋2x＋c＝0有两个相等实根.∴Δ＝4－4c＝0，则c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.
(3)已知f(x)满足f(x)－2f ＝2x，则f(x)＝________.
命题点1 求分段函数的函数值
命题点2 分段函数与方程、不等式问题例3 (1)(2021·长春模拟)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于A.－3 B.－1 C.1 D.3
解析 ∵f(1)＝21＝2，∴f(a)＋2＝0，∴f(a)＝－2，当a≤0时，f(a)＝a＋1＝－2，∴a＝－3，当a>0时，f(a)＝2a＝－2，方程无解，综上有a＝－3.
(2)已知函数f(x)＝ 则不等式f(x)≤1的解集为A.(－∞，2] B.(－∞，0]∪(1,2]C.[0,2] D.(－∞，0]∪[1,2]
解析 ∵当x≥1时，lg2x≤1，∴1≤x≤2.
∴f(x)≤1的解集为(－∞，0]∪[1,2].
(1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验.(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来.
跟踪训练2 (1)(2021·河北冀州一中模拟)设f(x)＝ 则f(f(－1))＝____，f(x)的最小值是________.
解析 ∵f(－1)＝2，
当x<1时，f(x)＝x2＋1≥1，x＝0时取等号，∴f(x)min＝1，
KESHIJINGLIAN
1.下列所给图象是函数图象的个数为A.1 B.2 C.3 D.4
解析 图象①关于x轴对称，x>0时，每一个x对应2个y，图象②中x0对应2个y，所以①②均不是函数图象；图象③④是函数图象.
解析 ∵f(8)＝1－lg28＝1－3＝－2，
4.如图，△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设AP＝x(0
解析 令x5＝2，则x＝ ，
8.已知函数f(x)＝ 若f(f(－1))＝3，则b＝______.
解析 ∵f(－1)＝b－1，∴f(b－1)＝3，当b－1≥1即b≥2时，2b－1－1＝3，解得b＝3，当b－1<1即b<2时，b－1＋b＝3，解得b＝2(舍)，综上有b＝3.
9.已知函数f(x)＝ 则满足f(a)>1的实数a的取值范围是__________________.
(－2,0)∪(0，＋∞)
解析 因为f(a)>1，
由①②知－20.
∵－1<0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.
(2)画出这个函数的图象；
解 这个函数的图象如图.在函数f(x)＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分，在函数f(x)＝x＋5的图象上截取01的部分.图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象.
(3)求f(x)的最大值.
解 由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6.
12.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系：y＝ ＋mx＋n(m，n是常数).如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)的关系图.(1)求出y关于x的函数解析式；
解 由题意及函数图象，
(2)如果要求刹车距离不超过25.2 m，求行驶的最大速度.
得－72≤x≤70.∵x≥0，∴0≤x≤70.故行驶的最大速度是70 km/h.
13.设函数f(x)＝ 则满足f(x＋1)
解得x<0，故x的取值范围是(－∞，0).
14.已知函数f(x)＝ 若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为______________________.
(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析 当a＝0时，显然不成立.当a>0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0等价于a2－2a>0，解得a>2.当a<0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0等价于－a2－2a<0，解得a<－2.综上所述，实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞).
1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列 表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用.
ZHUGANSHULI JICHULUOSHI
1.函数的概念一般地，设A，B是非空的 ，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有 的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2.函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 ；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的 .(2)如果两个函数的 相同，并且 完全一致，我们就称这两个函数相等.
4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集.
3.函数的表示法表示函数的常用方法有 、图象法和 .
1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有多少个交点？
2.函数定义中，非空数集A，B与函数的定义域、值域有什么关系？
提示 函数的定义域即为集合A，值域为集合B的子集.
题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数.( )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( )(4)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭的曲线.( )
题组二 教材改编2.函数f(x)＝ 的定义域为________________.
解得x≥0且x≠2，∴原函数的定义域为[0,2)∪(2，＋∞).
[0,2)∪(2，＋∞)
3.已知函数f(x)＝ 则f(2)＝____.
解析 f(2)＝f(1)＝21＝2.
4.函数f(x)＝x－ 在区间[2,4]上的值域为________.
题组三 易错自纠5.下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是
解析 A选项中的值域不满足，B选项中的定义域不满足，D选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C正确.
∴f(t)＝t2＋t－1(t≥0)，∴f(x)＝x2＋x－1，x≥0.
TIXINGTUPO HEXINTANJIU
1.下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是
第1课时 函数的概念及其表示
2.(多选)下列各组函数相等的是A.f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
3.已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________.(填序号)
(1)函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同.
例1 求下列函数的解析式：(1)已知f(1－sin x)＝cs2x，求f(x)的解析式；
题型二 求函数的解析式
解 (换元法)设1－sin x＝t，t∈[0,2]，则sin x＝1－t，∵f(1－sin x)＝cs2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2].即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2].
∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；
解 (待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.
(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式.
解 (方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①②解得f(x)＝3x.
函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(4)方程思想：已知关于f(x)与f 或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).
(2)已知y＝f(x)是二次函数，若方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)＝__________.
解析 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，∴2ax＋b＝2x＋2，则a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋c，又f(x)＝0，即x2＋2x＋c＝0有两个相等实根.∴Δ＝4－4c＝0，则c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.
(3)已知f(x)满足f(x)－2f ＝2x，则f(x)＝________.
命题点1 求分段函数的函数值
命题点2 分段函数与方程、不等式问题例3 (1)(2021·长春模拟)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于A.－3 B.－1 C.1 D.3
解析 ∵f(1)＝21＝2，∴f(a)＋2＝0，∴f(a)＝－2，当a≤0时，f(a)＝a＋1＝－2，∴a＝－3，当a>0时，f(a)＝2a＝－2，方程无解，综上有a＝－3.
(2)已知函数f(x)＝ 则不等式f(x)≤1的解集为A.(－∞，2] B.(－∞，0]∪(1,2]C.[0,2] D.(－∞，0]∪[1,2]
解析 ∵当x≥1时，lg2x≤1，∴1≤x≤2.
∴f(x)≤1的解集为(－∞，0]∪[1,2].
(1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验.(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来.
跟踪训练2 (1)(2021·河北冀州一中模拟)设f(x)＝ 则f(f(－1))＝____，f(x)的最小值是________.
解析 ∵f(－1)＝2，
当x<1时，f(x)＝x2＋1≥1，x＝0时取等号，∴f(x)min＝1，
KESHIJINGLIAN
1.下列所给图象是函数图象的个数为A.1 B.2 C.3 D.4
解析 图象①关于x轴对称，x>0时，每一个x对应2个y，图象②中x0对应2个y，所以①②均不是函数图象；图象③④是函数图象.
解析 ∵f(8)＝1－lg28＝1－3＝－2，
4.如图，△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设AP＝x(0
解析 令x5＝2，则x＝ ，
8.已知函数f(x)＝ 若f(f(－1))＝3，则b＝______.
解析 ∵f(－1)＝b－1，∴f(b－1)＝3，当b－1≥1即b≥2时，2b－1－1＝3，解得b＝3，当b－1<1即b<2时，b－1＋b＝3，解得b＝2(舍)，综上有b＝3.
9.已知函数f(x)＝ 则满足f(a)>1的实数a的取值范围是__________________.
(－2,0)∪(0，＋∞)
解析 因为f(a)>1，
由①②知－2
∵－1<0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.
(2)画出这个函数的图象；
解 这个函数的图象如图.在函数f(x)＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分，在函数f(x)＝x＋5的图象上截取0
(3)求f(x)的最大值.
解 由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6.
12.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系：y＝ ＋mx＋n(m，n是常数).如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)的关系图.(1)求出y关于x的函数解析式；
解 由题意及函数图象，
(2)如果要求刹车距离不超过25.2 m，求行驶的最大速度.
得－72≤x≤70.∵x≥0，∴0≤x≤70.故行驶的最大速度是70 km/h.
13.设函数f(x)＝ 则满足f(x＋1)
解得x<0，故x的取值范围是(－∞，0).
14.已知函数f(x)＝ 若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为______________________.
(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析 当a＝0时，显然不成立.当a>0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0等价于a2－2a>0，解得a>2.当a<0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0等价于－a2－2a<0，解得a<－2.综上所述，实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞).
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