陕西省西安市高新第一中学南校区2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题

这是一份陕西省西安市高新第一中学南校区2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题，共17页。试卷主要包含了已知集合，集合，则，如果向量，，那么，已知向量，，若，则的最小值为，若向量、不共线，已知，，，则，关于函数，下列描述正确的有等内容，欢迎下载使用。
2023年高新一中南校区高一下第一次月考一．选择题（共9小题）1．已知集合，集合，则　　A． B． C． D．2．如果向量，，那么　　A．6 B．5 C．4 D．33．在平面直角坐标系中，已知向量，，，，若，则的值　　A．4 B．3 C． D．04．已知向量，，若，则的最小值为　　A． B． C． D．5．若向量、不共线，已知，，，则　　A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线6．将函数先向右平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得函数图像，若在区间上的最小值为-2，则的最小值等于　　A． B． C． D．7．已知图中的圆，圆的半径均为2，，，均是边长为的等边三角形．设点为圆上的一点，则的最小值为　　A．22 B．24 C． D．二．多选题（共3小题15分）8．已知非零平面向量，下列结论中正确的是　　A.若，则；B.若，则；C.若，则；D.若，则或．9．关于函数，下列描述正确的有　　A．函数在区间上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．若，但，则 D．函数有且仅有两个零点10．已知函数在区间，上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论，正确的是　　A．在区间上有且仅有3个不同的零点 B．的最小正周期可能是 C．的取值范围是， D．在区间上单调递增三．填空题（共4小题）11．已知向量，，若，，，则的值为　　．12．已知非零向量，，若与的夹角等于与的夹角，则　 　．13．在平行四边形中，，，为的中点．若，则的为　 　．14．已知为等边三角形，，所在平面内的点满足，的最小值为 　　．四．解答题（共5小题50分）15．已知向量，，，（1）若，求实数的值；（2）向量，互相垂直，试求的值．16．春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象．已知某火车站候车厅，候车人数与时间相关，时间（单位：小时）满足，．经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当时，候车人数会减少，减少人数与成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为．（1）求的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；（2）若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少？17．已知向量，，其中．是函数的两个零点，且（1）求函数的单调增区间；（2）记，若对于任意的，存在，使得，求实数的取值范围．18．在直角梯形中，已知，，，，，动点，分别在线段和上，线段和相交于点，且，，．（1）当时，求的值；（2）当时，求的值；（3）求的取值范围．19．已知向量，定义函数．（1）若函数为偶函数，求实数的值；（2）当时，关于的方程，在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的值．
参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．已知集合，集合，则　　A． B． C． D．【分析】求出集合，利用并集定义能求出．【解答】解：集合，集合，．故选：．2．如果向量，，那么　　A．6 B．5 C．4 D．3【分析】本由向量加法的坐标运算有：，由向量的模的运算有，得解．【解答】解：由向量，，所以，由向量的模的运算有，故选：．3．在平面直角坐标系中，已知向量，，，，若，则的值　　A．4 B．3 C． D．0【分析】由，得，推导出，由此能求出的值．【解答】解：在平面直角坐标系中，向量，，，，，，，．故选：．4．已知向量，，若，则的最小值为　　A． B． C． D．【解答】解：故选：．5．若向量、不共线，已知，，，则　　A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线【分析】先求出，再根据可得点，，三点共线．【解答】解：，，，又与有公共端点，点，，三点共线，故选：．6．将函数先向右平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得函数图像，若在区间上的最小值为-2，则的最小值等于　　A． B． C． D．【解答】解：，，则故选：．7．已知图中的圆，圆的半径均为2，，，均是边长为的等边三角形．设点为圆上的一点，则的最小值为　　A．22 B．24 C． D．【分析】先建系，再标出点的坐标，然后结合平面向量数量积的运算及三角函数最值的求法求解即可．【解答】解：由圆，圆的半径均为2，，，均是边长为的等边三角形．点为圆上的一点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，，，，，则，，，，则，，则的最小值为24，故选：．二．多选题（共3小题）8．已知非零平面向量，下列结论中正确的是　　A.若，则；B.若，则；C.若，则；D.若，则或．【分析】根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结论．【解答】解：已知非零平面向量，A，若，则，所以，或与垂直，故A错误；B，若，则同向，所以，故B正确；C，若，则，所以，则，故C正确；D，，则，所以，不能得出向量共线，故D错误．故选：C．9．关于函数，下列描述正确的有　　A．函数在区间上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．若，但，则 D．函数有且仅有两个零点【分析】根据函数图象变换，可得图像，利用图象注意检测选项，可得答案．【解答】解：由函数，轴下方图象翻折到上方可得函数的图象，将轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数的图象，将函数图象向右平移2个单位，可得函数的图象，则函数的图象如图所示．由图可得函数在区间上单调递增，正确；函数的图象关于直线对称，正确；若，但，若，关于直线对称，则，错误；函数有且仅有两个零点，正确．故选：．10．已知函数在区间，上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论，正确的是　　A．在区间上有且仅有3个不同的零点 B．的最小正周期可能是 C．的取值范围是， D．在区间上单调递增【分析】令，则，由函数在区间0，上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，可求出判断，再利用三角函数的性质可依次判断．【解答】解：由函数，令，则，函数在区间，上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，由，得，则，1，2，3，即，，故正确；对于，，，，当时，在区间上有且仅有3个不同的零点；当时，在区间上有且仅有4个不同的零点；故错误；对于，周期，由，则，，又，所以的最小正周期可能是，故正确；对于，，，又，，又，所以在区间上不一定单调递增，故错误．故选：．三．填空题（共4小题）11．已知向量，，若，，，则的值为　　．【分析】直接利用向量的坐标运算，求解即可．【解答】解：向量，，若可得，解得，，．故答案为：．12．已知非零向量，，若与的夹角等于与的夹角，则　4或　．【分析】根据平面向量的坐标运算与夹角公式，列方程求得的值．【解答】解：非零向量，，，，若与的夹角等于与的夹角，则，即，时，解得；时，解得；综上，或．故答案为：或4．13．在平行四边形中，，，为的中点．若，则的为　12　．【分析】由此根据已知条件，利用向量的数量积运算法则能求出的长．【解答】解：，，，，故答案为：12．14．已知为等边三角形，，所在平面内的点满足，的最小值为 　　．【分析】计算出的值，利用向量模的三角不等式可求得的最小值．【解答】解：，所以，，由平面向量模的三角不等式可得．当且仅当与方向相反时，等号成立．因此，的最小值为．故答案为：．四．解答题（共5小题）15．已知向量，，，（1）若，求实数的值；（2）向量，互相垂直，试求的值．【解答】解：（1）当时，，（2），则，，16．春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象．已知某火车站候车厅，候车人数与时间相关，时间（单位：小时）满足，．经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当时，候车人数会减少，减少人数与成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为．（1）求的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；（2）若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少？【分析】（1）根据已知条件，分，两种情况讨论，即可求解．（2）根据（1）的结论，求出关于的函数解析式，再结合基本不等式的公式，以及函数的单调性，即可求解．【解答】解：（1）当时，设，（6），则，，，故当天中午12点时，候车厅候车人数为4200人．（2），①当时，，仅当时等号成立，②当时，，又，所以时，需要提供的矿泉水瓶数最少．17．已知向量，，其中．是函数的两个零点，且（1）求函数的单调增区间；（2）记，若对于任意的，存在，使得，求实数的取值范围．【解答】解：（1），即，单调增区间（2）由题意可知对于任意的，存在即，单调递减，则时时，18．在直角梯形中，已知，，，，，动点，分别在线段和上，线段和相交于点，且，，．（1）当时，求的值；（2）当时，求的值；（3）求的取值范围．【分析】（1）在直角梯形中，根据几何关系求出和长度，当时，求出长度，从而可得；（2）设，以为基底用两种形式表示出，从而可得关于的方程组，解方程组可得；（3）以为基底表示出，从而表示出，求出的范围即可求出的范围．【解答】解：（1）在直角梯形中，易得，，，为等腰直角三角形，，故；（2），当时，，设，则，，不共线，，即；（3），，，由题意知，，，当时，取到最小值，当时，取到最大值，的取值范围是．19．已知向量，定义函数．（1）若函数为偶函数，求实数的值；（2）当时，关于的方程，在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的值．