2023年高考数学冲刺模拟卷第5套（理科，解析卷）

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2023年高考数学冲刺模拟卷理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间为120分钟，满分150分第Ⅰ卷（选择题  共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则为（    ）A.         B.       C.       D.【答案】B【解析】试题分析:,,所以，故选B.考点：1.不等式的解法；2.集合的运算.2．已知复数，则（    ）A.  B.            C.         D. 【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算求得复数z，可得其共轭复数，根据模的计算可得答案.【详解】复数，故，所以，故选：C 3． 为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值），关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是（    ）A. 甲班众数小于乙班众数 B. 乙班成绩的75百分位数为79C. 甲班的中位数为74 D. 甲班平均数大于乙班平均数估计值【答案】D【解析】【分析】根据已知数据图，判断A；根据频率分布直方图计算乙班成绩75百分位数，判断B；求出甲班的中位数，判断C；求出两个班级的平均分，即可判断D.【详解】由甲、乙两个班级学生的物理成绩的数据图可知甲班众数为79，由频率分布直方图无法准确得出乙班众数，A错误；对于乙班物理成绩的频率分布直方图， 前三个矩形的面积之和为 ，故乙班成绩的75百分位数为80，B错误；由甲班物理成绩数据图可知，小于79分的数据有9个，79分的数据有6个，故甲班的中位数为79，C错误；甲班平均数为，乙班平均数估计值为，即甲班平均数大于乙班平均数估计值，D正确，故选：D 4．已知定义在上的函数是奇函数且满足，，则（    ）A.  B. 0 C. 2 D. 3【答案】B【解析】【分析】由且是奇函数可得是的一个周期，根据已知条件利用周期性和奇偶性即可求解.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，，且，，即，所以是的一个周期，所以，故选：B 5．已知，则等于（    ）A.       B.       C.         D.【答案】A【解析】试题分析：因为，所以，故选A.考点：三角恒等变换与诱导公式.6． “烂漫的山花中，我们发现你.自然击你以风雪，你报之以歌唱.命运置你于危崖，你馈人间以芬芳.不惧碾作尘，无意苦争春，以怒放的生命，向世界表达倔强.你是岸畔的桂，雪中的梅”.这是给感动中国十大人物之一的张桂梅老师的颁奖词，她用实际行动奉献社会，不求回报，只愿孩子们走出大山.受张桂梅老师的影响，有大量志愿者到乡村学校支教，现有6名志愿者要到4个学校参加支教活动，要求甲､乙两个学校各安排一个人，剩下两个学校各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（    ）A. 156种 B. 168种 C. 172种 D. 180种【答案】A【解析】【分析】利用间接法来求得不同的安排方案的数量.【详解】根据题意，设剩下的2个学校为丙学校和丁学校，先计算小李和小王不受限制的排法数目：先在6位志愿者中任选1个，安排到甲学校，有种情况，再在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙学校，有种情况，最后将剩下的4个志愿者平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个学校，有种情况，则小李和小王不受限制的排法有6×5×6=180种，若小李和小王在一起，则两人去丙学校或丁学校，有2种情况，在剩下的4位志愿者中任选1个，安排到甲学校，有种情况，再在剩下的3个志愿者中任选1个，安排到乙学校，有种情况，最后2个安排到剩下的学校，有1种情况，则小李和小王在一起的排法有2×4×3=24种.所以小李和小王不在一起排法有180-24=156种.故选：A 7．设，则对任意实数，若，则（    ）A.         B.       C.         D.【答案】B【解析】试题分析：定义域为，∵，∴是奇函数，∵在上是增函数，故在上为增函数，而，所以,故选B.考点：函数的奇偶性与单调性.8．某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据如下表所示：345634若根据表中数据得出关于的线性回归方程为，则表中的值为（    ）A.        B.       C.         D.【答案】D【解析】试题分析：，由回归方程：，解之得,故选D.考点：线性回归.9．将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为，则函数的单调递增区间（    ）A.         B.       C.         D.【答案】A.【解析】试题分析：函数的周期，所以，函数的图象向右平移后所得函数的解析式为，由得函数的单调递增区间为,故选A.考点：1.图象的平移变换；2.三角函数的图象与性质.10．在直三棱柱中，，且，若直线与侧面所成的角为，则异面直线与所成的角的正弦值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设，利用线面角的向量求法求出的值，再求异面直线所成角即可.【详解】因为直三棱柱，所以底面，又因为，所以两两垂直，以为轴建立如图所示坐标系，设，则，，，，所以，，，设平面的法向量，则，解得，所以直线与侧面所成的角的正弦值，解得，所以，，设异面直线与所成的角为，则，所以异面直线与所成的角的正弦值为.故选：D 11．以抛物线的焦点F为端点的射线与C及C的准线l分别交于A，B两点，过B且平行于x轴的直线交C于点P，过A且平行于x轴的直线交l于点Q，且，则△PBF的周长为（    ）A. 16 B. 12 C. 10 D. 6【答案】B【解析】【分析】因，则，准线为.由，可得坐标，直线AF方程，进而可得B，P坐标，后由两点间距离公式及抛物线定义可得答案.【详解】因，则，准线为.由，如图，设，则，得，则.得直线AF方程：，代入，得，将代入，可得.则周长，则.故.故选：B 12．设函数，其中，若有且只有一个整数使得，则的取值范围是（    ）A.         B.        C.         D.【答案】D【解析】试题分析：设，，则，∴，，单调递减；，，单调递增，所以处取得最小值，所以，，直线恒过定点且斜率为，所以，∴而，∴的取值范围考点：1.导数与函数的单调性、极值；2.函数与方程、不等式.【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、极值，函数与方程、不等式，属难题；导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，主要考查证明不等式、不等式恒成立或不等式恒成立求参数范围等问题，证明不等式可通过构造两个函数的差函数，证明差函数恒大于（或小于）证明，利用导数解决不等式恒成立问题时，首先要构造函数，利用导数研究所构造函数的单调性、最值，进而得到相应的含参不等式，求出范围即可.  二、填空题13．在边长为1的正三角形中，设，则          .【答案】【解析】试题分析：因为，所以为的中点即，∵，∴，∴考点：向量线性运算与数量积的几何运算.14．在的展开式中，的系数为______．【答案】【解析】【分析】根据乘积形式分别求出、对应系数，然后相乘即可得的系数.【详解】由中对应系数为，由中对应系数为，所以的系数为.故答案为： 15．在三棱锥中， ，PC=2，AB=1，BC=3，，过BC中点D作四面体外接球的截面，则过点D的最大截面与最小截面的面积和为______．【答案】##【解析】【分析】由题意确定，故可构造方长体，将三棱锥置于其中，利用长方体的外接球可求得过点D的最大截面与最小截面的面积，进而求得答案.【详解】由，AB=1，BC=3得，,由于 ,，则,故 ,由此可将三棱锥中置于长宽高分别为的长方体中，如图示：则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，外接球半径为 ,过BC中点D作四面体外接球的截面，当截面过球心O时，截面圆面积最大，最大值为 ；当截面与OD垂直时，截面圆面积最小，而 ,故此时截面圆的半径为 ，则截面面积最小值为，故过点D的最大截面与最小截面的面积和为，故答案为： 16．设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的拐点，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数，利用上述探究结果计算：          .【答案】【解析】试题分析：由，∴所以，由得.∴函数的对称中心为，∴，故设，则，两式相加得考点：1.新定义问题；2.导数的运算；3.函数的对称性.【名师点睛】本题考查新定义问题、导数的运算、函数的对称性，属难题；解决新定义问题首先要对新概念迅速理解，并学以致用，本题注意经过两次求导得到的零点为函数的拐点，也是函数的对称中心，再就是对函数中心对称的性质在掌握，即若函数关于点成中心对称，则. 三、解答题17．已知数列是公差为2的等差数列，数列满足，若时，.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，求的前项和.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）当时，由可求出，由等差数列的通项公式可求数列的通项公式，将代入整理可得是以1为首项，以为公比的等比数列，从而求出数列的通项公式；（Ⅱ）由可知，数列的通项是由一个等差数列与一个等比数列对应的项相乘得到的，所以用错位法求其前项和即可.试题解析：（Ⅰ）由数列满足，，当时，，即，又因为数列是公差为2的等差数列，所以  （3分）由得，化简得：，即，即数列是以1为首项，以为公比的等比数列，所以.    （6分）（Ⅱ）.∴，，∴，整理得：    （10分），所以.     （12分考点：1.等差数列、等比数列的定义与性质；2.错位相减法求和.【名师点睛】本题考查等差数列、等比数列的定义与性质以及错位相减法求和，属中档题；，本题易错点在于错位相减后求和时，弄错数列的项数. 本题在考查等差数列、等比数列等基础知识的同时，考查考生的计算能力,本题是教科书及教辅材料常见题型，能使考生心理更稳定，利于正常发挥.18．甲、乙两位射击运动员，在某天训练中已各射击10次，每次命中的环数如下：甲     7  8  7  9  5  4  9  10  7  4乙     9  5  7  8  7  6  8  6   7  7（Ⅰ）通过计算估计，甲、乙二人的射击成绩谁更稳；（Ⅱ）若规定命中8环及以上环数为优秀，以频率作为概率，请依据上述数据估计，求甲在第11至第13次射击中获得优秀的次数的分布列和期望.【答案】（Ⅰ）乙比甲的射击成绩稳定；（Ⅱ）的分布列：0123【解析】试题分析：（Ⅰ）分别计算甲乙二人射击的平均成绩与方差，比较其大小即可；（Ⅱ）由题意得甲运动员命中环及以上的概率为，分别计算时的概率，即可得到相应的概率分布列与期望.试题解析：（Ⅰ）∵，，∴，，∵，∴乙比甲的射击成绩稳定.（Ⅱ）由题意得：甲运动员命中8环及以上的概率为，则甲在第11至13次射击中获得优秀次数的情况为取得，∴；，，.∴的分布列：0123∴ 考点：离散型随机变量的概率分布列、期望与方差.【名师点睛】本题考查离散型随机变量的概率分布列、期望与方差，属中档题；离散型随机变量的概率分布列、期望与方差一直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以关注.29．如图，三棱柱中，侧面，，且.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：作的中点，因为，且为的中点可得，又侧面底面，由此可证底面,以为坐标原点，、、所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.（Ⅰ）写出相应点的坐标，求出与，由可证；（Ⅱ）求出平面的法向量与平面的法向量，由向量知识求即可.试题解析：（Ⅰ）作的中点，因为，且为的中点，∴，又侧面，其交线为，且，∴    （2分）以为坐标原点，、、所在直线分别为轴建立空间直角坐标系：由已知得：，，，，，，则有：，，，∴    （6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得可设平面的法向量为，同理平面的法向量为，则满足：    ，解得：，，则.∴二面角的余弦值为.   （12分） 考点：1.空间直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质；2.空间向量的应用. 20. 已知椭圆，过焦点且垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴的两端点构成等边三角形.（1）求椭圆的方程.（2）过左焦点的直线交椭圆于，两点，线段的中垂线交轴于点（不与重合），是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说出理由.【答案】（1）    （2）存在，【解析】【分析】(1)根据椭圆的定义求出，，即可写出椭圆的方程；(2)由题意分析特殊情况直线是否符合条件，然后根据直线过焦点，设直线的方程为，与椭圆方程联立，消去得方程，利用方程表示出的中点，写出的中垂线的方程，表示出点坐标，计算弦长，，由此求出的值.【小问1详解】因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以，因为焦点与短轴的两端点构成等边三角形，所以，联立解得，，所以椭圆方程为.【小问2详解】若直线与轴垂直，此时线段的垂直平分线为轴，不符合题意；若直线与轴重合，此时线段的垂直平分线为轴，则点与坐标原点重合，则.若直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，设点，，联立，可得，，故，，则，所以线段的中点为，线段的垂直平分线所在直线的方程为.令，可得，故点，所以，由弦长公式可得，所以综上，存在，使得恒成立.  21．已知函数是的导数，为自然对数的底数），.（Ⅰ）求的解析式及极值；（Ⅱ）若，求的最大值.【答案】（Ⅰ）；的极大值为，无极小值；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）求函数的导数，令，可求得，令得，从而求得，即可求出函数的解析式；（Ⅱ），求函数的导数，讨论函数的单调性与最小值，由得，,令,各求得，即可得到的最大值为.试题解析：（Ⅰ）由已知得，令，得，即      （1分）又，∴，从而   （2分）∴，又在上递增，且，∴当时，；时，，故为极值点，∴   （2分）（Ⅱ）得，①当时，在上单调递增，时，与相矛盾；②当时，，得：当时，，即，∴，    （9分）令，则，∴，，当时，，即当，时，的最大值为，∴的最大值为.   （12分） 考点：1.导数的运算；2.导数与函数的单调性；3.函数与不等式.22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数），现以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）写出直线和曲线的普通方程；（Ⅱ）已知点为曲线上的动点，求到直线的距离的最小值.【答案】（Ⅰ）直线的普通方程，曲线的直角坐标方程为；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）直线方程中消去参数即可得到普通方程，在方程两边同乘以，由极坐标与直角坐标互化公式转化即可得到曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）求出圆心到直线的距离减去半径即可得到到直线的距离的最小值.试题解析： （Ⅰ）直线：消去参数得普通方程   （2分）由得，由，以及，整理得：    （2分）（Ⅱ）由得圆心坐标为，半径，则圆心到直线的距离为：，而点在圆上，即（为圆心到直线的垂足点）所以到直线的距离最小值为.考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.极坐标与直角坐标的互化；3.直线与圆的位置关系.23．选修4-5：不等式选讲已知是常数，对任意实数，不等式都成立.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，求证：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）由绝对值不等式的性质可得,,从而可求得；（Ⅱ）先作差得，再利用基本不等式可证之即可.试题解析：（Ⅰ），，∵对任意实数，不等式都成立，∴       （4分）（Ⅱ）证明：，∵，∴，∴，即       （10分） 考点：1.绝对值不等式的性质；2.不等式的证法；3.基本不等式.