2023届福建省莆田市高三下学期高考第二次教学质量检测数学试题及答案

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设全集，，则（ ）
A B. C. D.
2. 设i为虚数单位，，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
3. 某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%．若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为（ ）
A. 0.23B. 0.47C. 0.53D. 0.77
4. 已知F为抛物线的焦点，A为C上的一点，中点的横坐标为2，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
5. 若，则（ ）
A. 是等差数列B. 是等比数列
C. 是等差数列D. 是等比数列
6. 某校科技社利用3D打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的体积为，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（ ）（）
A. B. C. D.
7. 已知函数，将其图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．的顶点都是与图象的公共点，则面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 在正方体中，点M，N分别是上的动点，当线段的长最小时，直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知圆，点，点M在x轴上，则（ ）
A. B不在圆C上B. y轴被圆C截得的弦长为3
C. A，B，C三点共线D. 的最大值为
10. “50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，某地区高三男生的“50米跑”测试成绩（单位：秒）服从正态分布，且．从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在间的个数记为X，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知正四面体的棱长为，S是及其内部的点构成的集合．若，集合，则T表示的区域可以是（ ）
A. B.
C. D.
12. 已知函数定义域为R，且为偶函数，则（ ）
A. B. 偶函数
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，为单位向量，，夹角为，则_______．
14. 的展开式中的系数为_______（用数字作答）
15. 直线l经过点，且与曲线相切，写出l的一个方程_______．
16. 已知椭圆的上、下顶点分别为A，B，右焦点为F，B关于直线的对称点为．若过A，，F三点的圆的半径为a，则C的离心率为_______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知正项数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）设，记数列的前n项和为，证明：．
18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为的中点，且．
（1）证明：；
（2）若，求的面积．
19. 如图，直三棱柱的侧面为正方形，，E，F分别为，的中点，．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
20. 互花米草是禾本科草本植物，其根系发达，具有极高的繁殖系数，对近海生态具有较大的危害．为尽快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印发了《莆田市互花米草除治攻坚实施方案》，对全市除治攻坚行动做了具体部署．某研究小组为了解甲、乙两镇的互花米草根系分布深度情况，采用按比例分层抽样的方法抽取样本．已知甲镇的样本容量，样本平均数，样本方差；乙镇的样本容量，样本平均数，样本方差．
（1）求由两镇样本组成的总样本的平均数及其方差；
（2）为营造“广泛发动、全民参与”的浓厚氛围，甲、乙两镇决定进行一次“互花米草除治大练兵”比赛，两镇各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲镇举行．比赛规则：
每场比赛直至分出胜负为止，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．
当比赛在甲镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为，当比赛在乙镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为．假设每场比赛结果相互独立.甲镇代表队的最终得分记为X，求．
参考数据：．
21. 如图，正六边形的边长为2．已知双曲线的焦点为A，D，两条渐近线分别为直线．
（1）建立适当平面直角坐标系，求的方程；
（2）过A的直线l与交于M，N两点，，若点P满足，证明：P在一条定直线上．
22. 已知函数．
（1）若的最小值为0，求a；
（2）设函数，若是增函数，求a的取值范围．