高中数学高考第2讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式

这是一份高中数学高考第2讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式，共17页。试卷主要包含了同角三角函数的基本关系，三角函数的诱导公式，计算等内容，欢迎下载使用。

1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2x＋cs2x＝1．
(2)商数关系：tan x＝eq \f(sin x,cs x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
2．三角函数的诱导公式
常用结论
1．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq \f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．
2．同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin2α＝1－cs2α＝(1＋cs α)(1－cs α)；
cs2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α.
(2)sin α＝tan αcs αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
(3)sin2α＝eq \f(sin2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(tan2α,tan2α＋1)；
cs2α＝eq \f(cs2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(1,tan2α＋1).
常见误区
1．同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系求三角函数值，进行开方时要根据角的范围，判断符号后，正确取舍．
2．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意的角α，β，都有sin2α＋cs2β＝1.( )
(2)若α∈R，则tan α＝eq \f(sin α,cs α)恒成立．( )
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )
(4)若cs(nπ－θ)＝eq \f(1,3)(n∈Z)，则cs θ＝eq \f(1,3).( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．(易错题)已知cs(π＋α)＝eq \f(2,3)，则tan α＝( )
A．eq \f(\r(5),2) B．eq \f(2\r(5),5)
C．±eq \f(\r(5),2) D．±eq \f(2\r(5),5)
解析：选C.因为cs(π＋α)＝eq \f(2,3)，
所以cs α＝－eq \f(2,3)，
则α为第二或第三象限角，
所以sin α＝±eq \r(1－cs2α)＝±eq \f(\r(5),3).
所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(±\f(\r(5),3),－\f(2,3))＝±eq \f(\r(5),2).
3．已知sin αcs α＝eq \f(1,2)，则tan α＋eq \f(1,tan α)＝( )
A．2 B．eq \f(1,2)
C．－2 D．－eq \f(1,2)
解析：选A.tan α＋eq \f(1,tan α)＝eq \f(sin α,cs α)＋eq \f(cs α,sin α)＝eq \f(sin2α＋cs2α,sin αcs α)＝eq \f(1,\f(1,2))＝2.
4．sin 2 490°＝________；cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(52π,3)))＝________．
解析：sin 2 490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin 30°＝－eq \f(1,2).
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(52π,3)))＝cseq \f(52π,3)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(16π＋π＋\f(π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,3)))＝－cseq \f(π,3)＝－eq \f(1,2).
答案：－eq \f(1,2) －eq \f(1,2)
5．化简eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)π＋α)))·cs(2π－α)的结果为________．
解析：原式＝eq \f(sin α,cs α)·cs α＝sin α.
答案：sin α
同角三角函数的基本关系式
角度一 “知一求二”问题
(2020·北京市适应性测试)已知α是第四象限角，且tan α＝－eq \f(3,4)，则sin α＝( )
A．－eq \f(3,5) B.eq \f(3,5) C.eq \f(4,5) D．－eq \f(4,5)
【解析】 因为tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(3,4)，
所以cs α＝－eq \f(4,3)sin α ①.
sin2α＋cs2α＝1 ②，由①②得sin2α＝eq \f(9,25)，又α是第四象限角，所以sin α0，则sin α－cs α0 B．sin θ0
C．sin θ