高中数学高考第2章 §2 6　指数与指数函数

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2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
知识梳理
1．根式
(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子eq \r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)(eq \r(n,a))n＝a.
当n为奇数时，eq \r(n,an)＝a，
当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂，＝＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．
(2)指数函数的图象与性质
常用结论
1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).
2．如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)eq \r(4,－44)＝－4.( × )
(2)2a·2b＝2ab.( × )
(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．( √ )
(4)若am0，且a≠1)，则m0且a≠1)的图象恒过定点________．
答案 (1,3)
3．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．
答案 ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))0，即a>b>1，
又c＝0)，则＝________.
答案 eq \f(1,3)
解析 由＋＝3，
两边平方，得x＋x－1＝7，
再平方得x2＋x－2＝47，
∴x2＋x－2－2＝45.
＋＝＋
＝(x－1＋x－1)
＝3×(7－1)＝18.
∴＝eq \f(1,3).
教师备选
(2022·杭州模拟)化简(a>0，b>0)的结果是( )
A.eq \f(b,a) B.eq \f(a,b) C.eq \f(a2,b) D.eq \f(b2,a)
答案 B
解析 ＝
＝
＝ab－1＝eq \f(a,b).
思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
跟踪训练1 (1)已知a>0，则化为( )
A． B．
C． D．
答案 B
解析 原式＝＝
＝＝.
(2)计算：－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))0＋eq \r(4,3－π4)＋＝________.
答案 π＋8
解析 原式＝－1＋|3－π|＋23＝4－1＋π－3＋8＝π＋8.
题型二 指数函数的图象及应用
例2 (1)(多选)已知实数a，b满足等式2 021a＝2 022b，下列等式可以成立的是( )
A．a＝b＝0 B．a