高中数学高考第3讲　函数的奇偶性与周期性

第3讲　函数的奇偶性与周期性

一、选择题

1.(2017·肇庆三模)在函数y＝xcos x，y＝ex＋x2，y＝lg，y＝xsin x中，偶函数的个数是(　　)

A.3   B.2   C.1   D.0

解析　y＝xcos x为奇函数，y＝ex＋x2为非奇非偶函数，y＝lg与y＝xsin x为偶函数.

答案　B

2.(2015·湖南卷)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　　)

A.奇函数，且在(0，1)内是增函数

B.奇函数，且在(0，1)内是减函数

C.偶函数，且在(0，1)内是增函数

D.偶函数，且在(0，1)内是减函数

解析　易知f(x)的定义域为(－1，1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，则y＝f(x)为奇函数，

又y＝ln(1＋x)与y＝－ln(1－x)在(0，1)上是增函数，

所以f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)在(0，1)上是增函数.

答案　A

3.(2017·赣中南五校联考)已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为(　　)

A.5   B.1   C.－1   D.－3

解析　∵y＝f(x)是奇函数，且f(3)＝6.∴f(－3)＝－6，则9－3a＝－6，解得a＝5.

答案　A

4.已知函数f(x)＝x，若f(x1)<f(x2)，则(　　)

A.x1>x2    B.x1＋x2＝0

C.x1<x2    D.x<x

解析　∵f(－x)＝－x＝f(x).

∴f(x)在R上为偶函数，

f′(x)＝ex－＋x，

∴x>0时，f′(x)>0，∴f(x)在[0，＋∞)上为增函数，

由f(x1)<f(x2)，得f(|x1|)<f(|x2|)，

∴|x1|<|x2|，∴x<x.

答案　D

5.(2017·西安一模)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为(　　)

A.2   B.1   C.－1   D.－2

解析　∵f(x＋1)为偶函数，

∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，则f(－x)＝f(x＋2)，

又y＝f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)＝f(x＋2)，且f(0)＝0.

从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，y＝f(x)的周期为4.

∴f(4)＋f(5)＝f(0)＋f(1)＝0＋2＝2.

答案　A

二、填空题

6.若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.

解析　由于f(－x)＝f(x)，

∴ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，

化简得2ax＋3x＝0(x∈R)，则2a＋3＝0，

∴a＝－.

答案　－

7.(2017·合肥质检)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝则f＋f＝________.

解析　由于函数f(x)是周期为4的奇函数，

所以f＋f＝f＋f＝－f－f＝－＋sin ＝.

答案　

8.定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，则满足f(x)>0的x的集合为________.

解析　由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，得函数y＝f(x)在(－∞，0)上递增，且f＝0，

∴f(x)>0时，x>或－<x<0.

答案　

三、解答题

9.设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.

(1)判定f(x)的奇偶性；

(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式.

解　(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，

∴f(－x)＝f(2＋x).

又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x).

又f(x)的定义域为R，

∴f(x)是偶函数.

(2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]，

则f(x)＝f(－x)＝x；

进而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，

f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.

故f(x)＝

10.已知函数f(x)＝是奇函数.

(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.

解　(1)设x<0，则－x>0，

所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.

又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x).

于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，

所以m＝2.

(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，

结合f(x)的图象知所以1<a≤3，

故实数a的取值范围是(1，3].

11.(2017·石家庄一模)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为(　　)

A.(－1，4)    B.(－2，0)

C.(－1，0)    D.(－1，2)

解析　∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，

∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，

∵f(1)<1，f(5)＝，

∴<1，即<0，

解得－1<a<4.

答案　A

12.对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2 015)＋f(2 016)＝(　　)

A.0   B.2   C.3   D.4

解析　y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，则函数y＝f(x)的图象关于x＝0对称，即函数f(x)是偶函数，

令x＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)，

∴f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0，

则f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，

即f(x＋2)＝f(x)，

则函数的周期是2，又f(0)＝2，

则f(2 015)＋f(2 016)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2.

答案　B

13.(2017·东北四市联考)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.

解析　因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x.

又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，

则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.

又f(1)＝0，

∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，

故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个.

答案　7

14.设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.

(1)求f(π)的值；

(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.

解　(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，

所以f(x)是以4为周期的周期函数，

所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.

(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，

得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x).

故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.

又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如下图所示.

当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.