中考数学二轮压轴培优专题23二次函数推理计算与证明综合问题(教师版)
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【例1】(2022•北京)在平面直角坐标系xOy中,点(1,m),(3,n)在抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上,设抛物线的对称轴为直线x=t.
(1)当c=2,m=n时,求抛物线与y轴交点的坐标及t的值;
(2)点(x0,m)(x0≠1)在抛物线上.若m<n<c,求t的取值范围及x0的取值范围.
【分析】(1)将点(1,m),(3,n)代入抛物线解析式,再根据m=n得出b=﹣4a,再求对称轴即可;
(2)再根据m<n<c,可确定出对称轴的取值范围,进而可确定x0的取值范围.
【解答】解:(1)将点(1,m),(3,n)代入抛物线解析式,
∴,
∵m=n,
∴a+b+c=9a+3b+c,整理得,b=﹣4a,
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣=2;
∴t=2,
∵c=2,
∴抛物线与y轴交点的坐标为(0,2).
(2)∵m<n<c,
∴a+b+c<9a+3b+c<c,
解得﹣4a<b<﹣3a,
∴3a<﹣b<4a,
∴<﹣<,即<t<2.
当t=时,x0=2;
当t=2时,x0=3.
∴x0的取值范围2<x0<3.
【例2】(2022•绍兴)已知函数y=﹣x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(0,﹣3),(﹣6,﹣3).
(1)求b,c的值.
(2)当﹣4≤x≤0时,求y的最大值.
(3)当m≤x≤0时,若y的最大值与最小值之和为2,求m的值.
【分析】(1)将图象经过的两个点的坐标代入二次函数解析式解答即可;
(2)根据x的取值范围,二次函数图象的开口方向和对称轴,结合二次函数的性质判定y的最大值即可;
(3)根据对称轴为x=﹣3,结合二次函数图象的性质,分类讨论得出m的取值范围即可.
【解答】解:(1)把(0,﹣3),(﹣6,﹣3)代入y=﹣x2+bx+c,
得b=﹣6,c=﹣3.
(2)∵y=﹣x2﹣6x﹣3=﹣(x+3)2+6,
又∵﹣4≤x≤0,
∴当x=﹣3时,y有最大值为6.
(3)①当﹣3<m≤0时,
当x=0时,y有最小值为﹣3,
当x=m时,y有最大值为﹣m2﹣6m﹣3,
∴﹣m2﹣6m﹣3+(﹣3)=2,
∴m=﹣2或m=﹣4(舍去).
②当m≤﹣3时,
当x=﹣3时y有最大值为6,
∵y的最大值与最小值之和为2,
∴y最小值为﹣4,
∴﹣(m+3)2+6=﹣4,
∴m=或m=(舍去).
综上所述,m=﹣2或.
【例3】(2022•青岛)已知二次函数y=x2+mx+m2﹣3(m为常数,m>0)的图象经过点P(2,4).
(1)求m的值;
(2)判断二次函数y=x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数,并说明理由.
【分析】(1)将(2,4)代入解析式求解.
(2)由判别式Δ的符号可判断抛物线与x轴交点个数.
【解答】解:(1)将(2,4)代入y=x2+mx+m2﹣3得4=4+2m+m2﹣3,
解得m1=1,m2=﹣3,
又∵m>0,
∴m=1.
(2)∵m=1,
∴y=x2+x﹣2,
∵Δ=b2﹣4ac=12+8=9>0,
∴二次函数图象与x轴有2个交点.
【例4】(2022•杭州)设二次函数y1=2x2+bx+c(b,c是常数)的图象与x轴交于A,B两点.
(1)若A,B两点的坐标分别为(1,0),(2,0),求函数y1的表达式及其图象的对称轴.
(2)若函数y1的表达式可以写成y1=2(x﹣h)2﹣2(h是常数)的形式,求b+c的最小值.
(3)设一次函数y2=x﹣m(m是常数),若函数y1的表达式还可以写成y1=2(x﹣m)(x﹣m﹣2)的形式,当函数y=y1﹣y2的图象经过点(x0,0)时,求x0﹣m的值.
【分析】(1)根据A、B两点的坐标特征,可设函数y1的表达式为y1=2(x﹣x1)(x﹣x2),其中x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标;
(2)把函数y1=2(x﹣h)2﹣2,化成一般式,求出对应的b、c的值,再根据b+c式子的特点求出其最小值;
(3)把y1,y2代入y=y1﹣y2求出y关于x的函数表达式,再根据其图象过点(x0,0),把(x0,0)代入其表达式,形成关于x0的一元二次方程,解方程即可.
【解答】解:(1)∵二次函数y1=2x2+bx+c过点A(1,0)、B(2,0),
∴y1=2(x﹣1)(x﹣2),即y1=2x2﹣6x+4.
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=.
(2)把y1=2(x﹣h)2﹣2化成一般式得,
y1=2x2﹣4hx+2h2﹣2.
∴b=﹣4h,c=2h2﹣2.
∴b+c=2h2﹣4h﹣2
=2(h﹣1)2﹣4.
把b+c的值看作是h的二次函数,则该二次函数开口向上,有最小值,
∴当h=1时,b+c的最小值是﹣4.
(3)由题意得,y=y1﹣y2
=2(x﹣m) (x﹣m﹣2)﹣(x﹣m)
= (x﹣m)[2(x﹣m)﹣5].
∵函数y的图象经过点 (x0,0),
∴(x0﹣m)[2(x0﹣m)﹣5]=0.
∴x0﹣m=0,或2(x0﹣m)﹣5=0.
即x0﹣m=0或x0﹣m=.
【例5】(2022•安顺)在平面直角坐标系中,如果点P的横坐标和纵坐标相等,则称点P为和谐点.例如:点(1,1),(,),(﹣,﹣),……都是和谐点.
(1)判断函数y=2x+1的图象上是否存在和谐点,若存在,求出其和谐点的坐标;
(2)若二次函数y=ax2+6x+c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点(,).
①求a,c的值;
②若1≤x≤m时,函数y=ax2+6x+c+(a≠0)的最小值为﹣1,最大值为3,求实数m的取值范围.
【分析】(1)设函数y=2x+1的和谐点为(x,x),可得2x+1=x,求解即可;
(2)将点(,)代入y=ax2+6x+c,再由ax2+6x+c=x有且只有一个根,Δ=25﹣4ac=0,两个方程联立即可求a、c的值;
②由①可知y=﹣x2+6x﹣6=﹣(x﹣3)2+3,当x=1时,y=﹣1,当x=3时,y=3,当x=5时,y=﹣1,则3≤m≤5时满足题意.
【解答】解:(1)存在和谐点,理由如下,
设函数y=2x+1的和谐点为(x,x),
∴2x+1=x,
解得x=﹣1,
∴和谐点为(﹣1,﹣1);
(2)①∵点(,)是二次函数y=ax2+6x+c(a≠0)的和谐点,
∴=a+15+c,
∴c=﹣a﹣,
∵二次函数y=ax2+6x+c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点,
∴ax2+6x+c=x有且只有一个根,
∴Δ=25﹣4ac=0,
∴a=﹣1,c=﹣;
②由①可知y=﹣x2+6x﹣6=﹣(x﹣3)2+3,
∴抛物线的对称轴为直线x=3,
当x=1时,y=﹣1,
当x=3时,y=3,
当x=5时,y=﹣1,
∵函数的最大值为3,最小值为﹣1;
当3≤m≤5时,函数的最大值为3,最小值为﹣1.
一.解答题(共20题)
1.(2022•瑞安市校级三模)已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣2+a2(a≠0).
(1)求这条抛物线的对称轴;若该抛物线的顶点在x轴上,求a的值;
(2)设点P(m,y1),Q(4,y2)在抛物线上,若y1<y2,求m的取值范围.
【分析】(1)把解析式化成顶点式,根据顶点式求得对称轴和顶点坐标,根据顶点在x轴上得到关于a的方程,解方程求得a的值;
(2)根据二次函数的性质,分两种情况即可求出m的范围.
【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2﹣2ax﹣2+a2=a(x﹣1)2+a2﹣a﹣2,
∴抛物线的对称轴为直线x=1.
若抛物线的顶点在x轴上,
则a2﹣a﹣2=0,
∴a=2或﹣1.
(2)∵抛物线的对称轴为直线x=1,
则Q(4,y2)关于直线x=1对称点的坐标为(﹣2,y2),
∴当a>0时,若y1<y2,m的取值范围为:﹣2<m<4;
当a<0时,若y1<y2,m的取值范围为:m<﹣2或m>4.
2.(2022•西城区校级模拟)在平面直角坐标系xOy中,点A(x1,y1)、点B(x2,y2)为抛物线y=ax2﹣2ax+a(a≠0)上的两点.
(1)求抛物线的对称轴;
(2)当﹣2<x1<﹣1且1<x2<2时,试判断y1与y2的大小关系并说明理由;
(3)若当t<x1<t+1且t+2<x2<t+3时,存在y1=y2,求t的取值范围.
【分析】(1)先化抛物线的表达式为y=a(x﹣1)2+1,依此可求抛物线的对称轴;
(2)利用二次函数性质即可求得答案;
(3)利用二次函数性质存在A到对称轴的距离与B到对称轴的距离相等即可解答.
【解答】解:(1)y=ax2﹣2ax+a=a(x﹣1)2,
∴抛物线的对称轴为x=1;
(2)∵﹣2<x1<﹣1,1<x2<2,
∴1﹣x1>1﹣x2,
∴A离对称轴越远,
若a>0,开口向上,则y1>y2,
若a<0,开口向下,则y1<y2,
(3)∵t<x1<t+1,t+2<x2<t+3,
存在y1=y2,则t+1<1且t+2>1,
∴t<0且t>1,
∴存在1﹣x1=x2﹣1,
即存在A到对称轴的距离与B到对称轴的距离相等,
∴1﹣t>t+2﹣1且1﹣(t+1)<t+3﹣1,
∴﹣1<t<0.
3.(2022•新野县三模)在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2﹣4ax+2.
(1)抛物线的对称轴为直线 x=2 ,抛物线与y轴的交点坐标为 (0,2) ;
(2)若当x满足1≤x≤5时,y的最小值为﹣6,求此时y的最大值.
【分析】(1)由对称轴方程,将对应系数代入可得,令抛物线解析式中的x=0,求得y,答案可得;
(2)利用当x满足1≤x≤5时,y的最小值为﹣6,可求得a的值,再利用二次函数图象的特点可确定y的最大值.
【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2﹣4ax+2的对称轴为直线x=﹣=2.
令x=0,则y=2.
∴抛物线y=ax2﹣4ax+2与y轴的交点为(0,2).
故答案为:x=2;(0,2).
(2)∵抛物线y=ax2﹣4ax+2的对称轴为直线x=2,
∴顶点在1≤x≤5范围内,
∵当x满足1≤x≤5时,y的最小值为﹣6,
∴当a<0时,抛物线开口向下,x=5时y有最小值﹣6,
∴25a﹣20a+2=﹣6,
解得a=﹣,
∴抛物线为y=﹣x2+x+2
当x=2时,y=﹣×22+×2+2=,
∴此时y的最大值为.
当a>0,抛物线开口向上,x=2时y有最小值﹣6,
∴4a﹣8a+2=﹣6,
解得a=2,
∴抛物线为y=2x2﹣8x+2,
当x=5时,y=2×25﹣8×5+2=12,
∴此时y的最大值12.
综上,y的最大值为12.
4.(2022•萧山区二模)在平面直角坐标系中,已知二次函数y=ax2+(a﹣1)x﹣1.
(1)若该函数的图象经过点(1,2),求该二次函数图象的顶点坐标.
(2)若(x1,y1),(x1,y2)为此函数图象上两个不同点,当x1+x2=﹣2时,恒有y1=y2,试求此函数的最值.
(3)当a<0且a≠﹣1时,判断该二次函数图象的顶点所在象限,并说明理由.
【分析】(1)直接将点(1,2)代入即可求得a的值,然后根据顶点公式求得即可;
(2)利用题意,﹣===﹣1求解a,然后把解析式化成顶点式,根据二次函数的性质即可得到结论;
(3)利用顶点公式求得x=﹣=﹣+,y==﹣,由a<0且a≠﹣1即可判断x<0,y>0,即可得到该二次函数图象的顶点在第二象限.
【解答】解:(1)∵函数图象过点(1,2),
∴将点代入y=ax2+(a﹣1)x﹣1,
解得a=2,
∴二次函数的解析式为y=2x2+x﹣1,
∴x=﹣=﹣,
∴y=2×﹣﹣1=﹣,
∴该二次函数的顶点坐标为(﹣,﹣);
(2)函数y=ax2+(a﹣1)x﹣1的对称轴是直线x=﹣,
∵(x1,y1),(x2,y2)为此二次函数图象上的两个不同点,且x1+x2=﹣2,则y1=y2,
∴﹣===﹣1,
∴a=﹣1,
∴y=﹣x2﹣2x﹣1=﹣(x+1)2≤0,
∴当x=﹣1时,函数有最大值0;
(3)∵y=ax2+(a﹣1)x﹣1,
∴由顶点公式得:x=﹣=﹣+,y==﹣,
∵a<0且a≠﹣1,
∴x<0,y>0,
∴该二次函数图象的顶点在第二象限.
5.(2022•盈江县模拟)抛物线C1:y=x2+bx+c的对称轴为x=1,且与y轴交点的纵坐标为﹣3.
(1)求b,c的值;
(2)抛物线C2:y=﹣x2+mx+n经过抛物线C1的顶点P.
①求证:抛物线C2的顶点Q也在抛物线C1上;
②若m=8,点E是在点P和点Q之间抛物线C1上的一点,过点E作x轴的垂线交抛物线C2于点F,求EF长度的最大值.
【分析】(1)根据对称轴公式x=﹣,即可求出b的值,由抛物线与y轴交点的纵坐标为﹣3即可求得c的值;
(2)①由(1)可得抛物线C1的解析式,从而可得抛物线C1的顶点P的坐标,由抛物线C2经过抛物线C1的顶点可得n=﹣m﹣3,从而可得抛物线C2为:y=﹣x2+mx﹣m﹣3,根据对称轴公式x=﹣,即可求出顶点Q的坐标,再将点Q的横坐标代入抛物线C1的解析式中,即可证明;
②先分别求出点P和点Q的横坐标,由①可得n=﹣11,设点E横坐标为x,由点E在抛物线C1上可表示出纵坐标,由题可知点F与点E横坐标相同,代入抛物线C2的解析式中可得点F纵坐标,即可求解.
【解答】(1)解:∵抛物线C1:y=x2+bx+c对称轴为x=1,且与y轴交点的纵坐标为﹣3,
∴x=﹣=1,c=﹣3,
∴b=﹣2;
(2)①证明:∵抛物线C1的解析式为:y=x2﹣2x﹣3,
∴顶点P的坐标为:(1,﹣4),
∵抛物线C2经过抛物线C1的顶点,
∴﹣4=﹣12+m+n,
∴n=﹣m﹣3,
∴抛物线C2为:y=﹣x2+mx﹣m﹣3,
∴对称轴为:直线x=﹣=,
将x=代入y=﹣x2+mx﹣m﹣3,得:
y=﹣m﹣3,
∴点Q坐标为:(,﹣m﹣3),
将x=代入y=x2﹣2x﹣3,得:
y=﹣m﹣3,
∴点Q也在抛物线C1上;
②解:由①知n=﹣m﹣3,
∵m=8,
∴n=﹣11,
∴抛物线C2的解析式为:y=﹣x2+8x﹣11,对称轴为:直线x==4,
设点E横坐标为x,
∵点E是在点P和点Q之间抛物线C1上的一点,
∴点E坐标为(x,x2﹣2x﹣3),1<x<4,
∵过点E作x轴的垂线交抛物线C2于点F,
∴点F横坐标为x,
∴点F坐标为(x,﹣x2+8x﹣11),
∴EF=﹣x2+8x﹣11﹣(x2﹣2x﹣3)
=﹣x2+8x﹣11﹣x2+2x+3
=﹣2x2+10x﹣8
=﹣2(x2﹣5x+4)
=﹣2(x2﹣5x+)+
=﹣2(x﹣)2+,
∴当x=时,EF取得最大值,最大值为,
∴EF长度的最大值为.
6.(2022•沂水县二模)抛物线y=ax2+bx经过点A(﹣4,0),B(1,5);点P(2,c),Q(x0,y0)是抛物线上的点.
(1)求抛物线的顶点坐标;
(2)若x0>﹣6,比较c、y0的大小;
(3)若直线y=m与抛物线交于M、N两点,(M、N两点不重合),当MN≤5时,求m的取值范围.
【分析】(1)利用待定系数法即可求得抛物线解析式,化成顶点式即可求得顶点坐标;
(2)根据二次函数的性质判断即可;
(3)设M、N的横坐标分别为x1、x2,则x1、x2是方程x2+4x=m的两个根,根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣4,x1x2=﹣m,由MN≤5,则(x1﹣x2)2≤25,所以(x1+x2)2﹣4x1x2≤25,即16+4m≤25,解得即可.
【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx经过点A(﹣4,0),B(1,5),
∴,解得,
∴抛物线为y=x2+4x,
∵y=x2+4x=(x+2)2﹣4,
∴抛物线的顶点坐标为(﹣2,﹣4);
(2)∵抛物线为y=x2+4x的对称轴为直线x=﹣2,且开口向上,
∴当x<﹣2时,y随x的增大而减小,
∵点P(2,c)关于对称轴的对称点为(﹣6,c),
∵x0>﹣6,
∴当﹣6<x0<2时,则c>y0;
当x0≥2时,则c≤y0;
(3)设M、N的横坐标分别为x1、x2,
∵直线y=m与抛物线交于M、N两点,(M、N两点不重合),
∴x1、x2是方程x2+4x=m的两个根,
∴x1+x2=﹣4,x1x2=﹣m,
∵MN≤5,
∴(x1﹣x2)2≤25,
∴(x1+x2)2﹣4x1x2≤25,即16+4m≤25,
解得m≤,
∵抛物线的顶点坐标为(﹣2,﹣4),
∴函数的最小值为﹣4,
∴﹣4<m≤.
7.(2022•姜堰区二模)设一次函数y1=2x+m+n和二次函数y2=x(2x+m)+n.
(1)求证:y1,y2的图象必有交点;
(2)若m>0,y1,y2的图象交于点A(x1,a)、B(x2,b),其中x1<x2,设C(x3,b)为y2图象上一点,且x3≠x2,求x3﹣x1的值;
(3)在(2)的条件下,如果存在点D(x1+2,c)在y2的图象上,且a>c,求m的取值范围.
【分析】(1)证明y1=y2时,方程2x+m+n=x(2x+m)+n有解,进而转化证明一元二次方程的根的判别式非负便可;
(2)由y1=y2,求出x1与x2,进而求得b,由b的值,求得x3的值,进而得x3﹣x1的值;
(3)把点A(x1,a)、点D(x1+2,c)代入y2=x(2x+m)+n,根据a>c得x1(2x1+m)+n﹣2(x1+2)2﹣m(x1+2)﹣n>0,化简得4x1+4+m<0,由(2)得x1=﹣,代入求解即可.
【解答】(1)证明:当y1=y2时,得2x+m+n=x(2x+m)+n,
化简为:2x2+(m﹣2)x﹣m=0,
△=(m﹣2)2+8m=(m+2)2≥0,
∴方程2x+m+n=x(2x+m)+n有解,
∴y1,y2的图象必有交点;
(2)解:当y1=y2时,2x+m+n=x(2x+m)+n,
化简为:2x2+(m﹣2)x﹣m=0,
(2x+m)(x﹣1)=0,
∵m>0,x1<x2,
∴x1=﹣,x2=1,
∴b=2+m+n,
当y=2+m+n时,y2=x(2x+m)+n=2+m+n,
化简为:2x2+mx﹣m﹣2=0,
2x2﹣2+mx﹣m=0,
2(x+1)(x﹣1)+m(x﹣1)=0,
(2x+m+2)(x﹣1)=0,
解得,x=1(等于x2),或x=,
∴x3=,
∴x3﹣x1=﹣(﹣)=﹣1;
(3)解:∵点D(x1+2,c)在y2的图象上,
∴c=(x1+2)[2(x1+2)+m]+n=2(x1+2)2+m(x1+2)+n.
∵点A(x1,a)在y2的图象上,
∴a=x1(2x1+m)+n.
∵a>c,
∴a﹣c>0,
∴x1(2x1+m)+n﹣2(x1+2)2﹣m(x1+2)﹣n>0,
化简得4x1+4+m<0,
由(2)得x1=﹣,
∴4×(﹣)+4+m<0,
﹣2m+4+m<0,
﹣m+4<0,
m>4,
∴m的取值范围为m>4.
8.(2022•西城区校级模拟)已知抛物线y=x2﹣4mx+4m2﹣1.
(1)求此抛物线的顶点的坐标;
(2)若直线y=n与该抛物线交于点A、B,且AB=4,求n的值;
(3)若这条抛物线经过点P(2m+1,y1),Q(2m﹣t,y2),且y1<y2,求t的取值范围.
【分析】(1)将二次函数解析式化为顶点式求解.
(2)由二次函数的对称性及AB=4可得点A,B坐标,进而求解.
(3)由点P坐标及抛物线对称轴可得点P关于对称轴的对称点P'坐标,由抛物线开口向下可求解.
【解答】解:(1)∵y=x2﹣4mx+4m2﹣1=(x﹣2m)2﹣1,
∴抛物线顶点坐标为(2m,﹣1).
(2)∵点A,B关于抛物线对称轴对称,AB=4,对称轴为直线x=2m,
∴抛物线经过(2m+2,n),(2m﹣2,n),
将(2m+2,n)代入y=(x﹣2m)2﹣1得n=22﹣1=3.
(3)点P(2m+1,y1)关于抛物线对称轴的对称点P'坐标为(2m﹣1,y1),
∵抛物线开口向上,
∴当2m﹣t>2m+1或2m﹣t<2m﹣1时,且y1<y2,
解得t<﹣1或t>1.
9.(2022•黄岩区一模)在平面直角坐标系中,已知抛物线y1=ax2+bx+3与直线y2=x+1.
(1)当抛物线y1=ax2+bx+3与直线y2=x+1两个交点的横坐标分别为﹣1和2时.
①求抛物线解析式;
②直接写出当y1>y2,时x的取值范围;
(2)设y=y1﹣y2,当x=m时y=M,x=n时y=N,当m+n=1(m≠n)时,M=N.求证:a+b=1.
【分析】(1)①由交点横坐标及直线解析式可得交点坐标,然后通过待定系数法求解.
②由抛物线开口方向及交点横坐标求解.
(2)由y=y1﹣y2,M=N可得m,n为方程ax2+(b﹣1)x+2=0的两个根,由一元二次方程根与系数的关系进行证明.
【解答】解:(1)①将x=﹣1和x=2分别代入y2=x+1得y2=0,y2=3,
∴抛物线经过(﹣1,0),(2,3),
∴,
解得,
∴y1=﹣x2+2x+3.
②∵抛物线y1=﹣x2+2x+3开口向下,抛物线与直线交点坐标为(﹣1,0),(2,3),
∴﹣1<x<2时,y1>y2.
(2)∵y=y1﹣y2=ax2+bx+3﹣(x+1)=ax2+(b﹣1)x+2,
∴x=m时,M=am2+(b﹣1)m+2,
x=n时,N=an2+(b﹣1)n+2,
∴m,n为方程ax2+(b﹣1)x+2=0的两个根,
由一元二次方程根与系数的关系可得m+n=﹣=1,
∴b﹣1=﹣a,
∴a+b=1.
10.(2022•路桥区一模)在平面直角坐标系中,已知二次函数y=x2﹣(m+2)x+m(m是常数).
(1)求证:不论m取何值,该二次函数的图象与x轴总有两个交点;
(2)若点A(2m+1,7)在该二次函数的图象上,求该二次函数的解析式;
(3)在(2)的条件下,若抛物线y=x2﹣(m+2)x+m与直线y=x+t(t是常数)在第四象限内有两个交点,请直接写出t的取值范围.
【分析】(1)由Δ=b2﹣4ac>0证明.
(2)将点A坐标代入解析式求解.
(3)分类讨论,通过数形结合求解.
【解答】解:(1)令x2﹣(m+2)x+m=0,
则Δ=(m+2)2﹣4m=m2+4>0,
∴方程x2﹣(m+2)x+m=0有两个不相等实数根,
∴二次函数的图象与x轴总有两个交点.
(2)将(2m+1,7)代入y=x2﹣(m+2)x+m得7=(2m+1)2﹣(m+2)(2m+1)+m,
解得m=2或m=﹣2,
当m=2时,y=x2﹣4x+2,
当m=﹣2时,y=x2﹣2.
(3)①当m=2时,y=x2﹣4x+2,
令x2﹣4x+2=0,
解得x1=2+,x2=2﹣,
∴抛物线与x轴交点坐标为(2+,0),(2﹣,0),
如图,当直线y=x+t经过(2+,0)时,2++t=0,
解得t=﹣2﹣,
当直线y=x+t与抛物线y=x2﹣4x+2只有1个公共点时,令x2﹣4x+2=x+t,整理得x2﹣5x+2﹣t=0,
则Δ=52﹣4(2﹣t)=17+4t=0,
解得t=﹣,
∴﹣<t<﹣2﹣满足题意.
②同理,当m=﹣2时,y=x2﹣2,
将x=0代入y=x2﹣2得y=﹣2,
∴抛物线经过(0,﹣2),
将(0,﹣2)代入y=x+t得t=﹣2,
令x2﹣2=x+t,
由Δ=1﹣4(﹣2﹣t)=0可得t=﹣,
∴﹣<t<﹣2满足题意.
综上所述,﹣<t<﹣2﹣或﹣<t<﹣2.
11.(2022•安徽模拟)已知:抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P.
(1)若抛物线经过(﹣1,﹣2)时,求抛物线解析式;
(2)设P点的纵坐标为yp,当yp取最小值时,抛物线上有两点(x1,y1),(x2,y2),且x1<x2≤﹣2,比较y1与y2的大小;
(3)若线段AB两端点坐标分别是A(0,2),B(2,2),当抛物线与线段AB有公共点时,直接写出m的取值范围.
【分析】(1)将(﹣1,﹣2)代入解析式求解.
(2)将x=﹣2代入解析式求出点P纵坐标,通过配方可得yp取最小值时m的值,再将二次函数解析式化为顶点式求解.
(3)分别将点A,B坐标代入解析式求解.
【解答】解:(1)将(﹣1,﹣2)代入y=x2﹣2mx+m2﹣2得﹣2=1+2m+m2﹣2,
解得m=﹣1,
∴y=x2+2x﹣1.
(2)将x=﹣2代入y=x2﹣2mx+m2﹣2得yP=m2+4m+2=(m+2)2﹣2,
∴m=﹣2时,yp取最小值,
∴y=x2+4x+2=(x+2)2﹣2,
∴x<﹣2时,y随x增大而减小,
∵x1<x2≤﹣2,
∴y1>y2.
(3)∵y=x2﹣2mx+m2﹣2=(x﹣m)2﹣2,
∴抛物线顶点坐标为(m,﹣2),
∴抛物线随m值的变化而左右平移,
将(0,2)代入y=x2﹣2mx+m2﹣2得m2﹣2=2,
解得m=2或m=﹣2,
将(2,2)代入y=x2﹣2mx+m2﹣2得2=4﹣4m+m2﹣2,
解得m=0或m=4,
∴﹣2≤m≤0时,抛物线对称轴在点A左侧,抛物线与线段AB有交点,
2≤m≤4时,抛物线对称轴在点A右侧,抛物线与线段AB有交点.
∴﹣2≤m≤0或2≤m≤4.
12.(2022•富阳区一模)已知抛物线y=a(x﹣1)(x﹣).
(1)若抛物线过点(2,1),求抛物线的解析式;
(2)若该抛物线上任意不同两点M(x1,y1)、N(x2,y2)都满足:当x1<x2<0时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)>0;当0<x1<x2时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)<0,试判断点(2,﹣9)在不在此抛物线上;
(3)抛物线上有两点E(0,n)、F(b,m),当b≤﹣2时,m≤n恒成立,试求a的取值范围.
【分析】(1)将(2,1)代入函数解析式求解.
(2)由当x1<x2<0时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)>0;当0<x1<x2时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)<0,可得抛物线对称轴为y轴,从而可得a的值,然后将x=2代入解析式判断.
(3)由b≤﹣2时,m≤n恒成立,可得抛物线开口向下,求出点E关于对称轴对称的点坐标,列不等式求解.
【解答】解:(1)将(2,1)代入y=a(x﹣1)(x﹣)得1=a(2﹣),
解得a=2,
∴y=2(x﹣1)(x﹣).
(2)∵y=a(x﹣1)(x﹣),
∴抛物线与x轴交点坐标为(1,0),(,0),
∴抛物线对称轴为直线x=,
∵x1<x2<0时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)>0,0<x1<x2时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)<0,
∴抛物线对称轴为值x=0,即1+=0,
解得a=﹣3,
∴y=﹣3(x﹣1)(x+1),
将x=2代入y=﹣3(x﹣1)(x+1)得y=﹣9,
∴点(2,﹣9)在抛物线上.
(3)∵抛物线对称轴为直线x=,
∴点E(0,n)关于对称轴对称的点E'(1+,n),
∵当b≤﹣2时,m≤n恒成立,
∴抛物线开口向下,即a<0,且﹣2≤1+,
解得a≤﹣1.
13.(2022•河东区二模)已知抛物线y=a(x+3)(x﹣4)与y轴交于点A(0,﹣2).
(Ⅰ)求抛物线y=a(x+3)(x﹣4)的解析式及顶点坐标;
(Ⅱ)设抛物线与x轴的正半轴的交点为点B,点P为x轴上一动点,点D满足∠DPA=90°,PD=PA.
(i)若点D在抛物线上,求点D的坐标;
(ii)点E(2,﹣)在抛物线上,连接PE,当PE平分∠APD时,求出点P的坐标.
【分析】(Ⅰ)将点A(0,﹣2)代入y=a(x+3)(x﹣4),即可求解;
(Ⅱ)(i)设P(t,0),分两种情况讨论:当D点在点P右侧时,过点D作DN⊥x轴交于点N,通过证明△PND≌△AOP(AAS),可得D(t+2,﹣t),再将D点代入二次函数解析式求出t的值,从而求出D的坐标;当点D在点P的左侧时,同理可得D(t﹣2,t),再将D点代入二次函数解析式求出t的值,即可求解;
(ii)分两种情况讨论:当D点在x轴下方时,当PE∥y轴时,∠OAP=45°,P(2,0);当D点在x轴上方时,过A点作AG⊥PA交PE于点G,过G点作FG⊥x轴,交于点F,可证明△GAF≌△APO(AAS),从而得到GF=2,则E点与G点重合,OP=AF=OA﹣OF=2﹣=,求出P(﹣,0).
【解答】解:(Ⅰ)将点A(0,﹣2)代入y=a(x+3)(x﹣4),
得﹣12a=﹣2,
∴a=,
∴y=(x+3)(x﹣4)=x2﹣x﹣2,
∵y=x2﹣x﹣2=(x﹣)2﹣,
∴顶点为(,﹣);
(Ⅱ)(i)令a(x+3)(x﹣4)=0,
解得x=4或x=﹣3,
∴B(4,0),
设P(t,0),
如图1,当D点在点P右侧时,过点D作DN⊥x轴交于点N,
∵∠APD=90°,
∴∠OPA+∠NPD=90°,∠OPA+∠OAP=90°,
∴∠NPD=∠OAP,
∴△PND≌△AOP(AAS),
∴OP=ND,AO=PN,
∴D(t+2,﹣t),
∴(t+5)(t﹣2)=﹣t,
解得t=1或t=﹣10,
∴D(3,﹣1)或(﹣8,10);
当点D在点P的左侧时,同理可得D(t﹣2,t),
∴t=(t﹣2+3)(t﹣2﹣4),
解得t=,
∴D(,)或(,);
综上所述:D点坐标为(3,﹣1)或(﹣8,10)或(,)或(,);
(ii)如图2,当D点在x轴下方时,
∵PE平分∠APD,
∴∠APE=∠EPD,
∵∠APD=90°,
∴∠APE=45°,
当PE∥y轴时,∠OAP=45°,
∴P(2,0);
如图3,当D点在x轴上方时,过A点作AG⊥PA交PE于点G,过G点作FG⊥x轴,交于点F,
∵∠PAF+∠FAG=90°,∠FAG+∠FGA=90°,
∴∠PAF=∠FGA,
∵PE平分∠APD,∠APD=90°,
∴∠APE=∠EPD=45°=∠AGP,
∵AP=AG,
∴△GAF≌△APO(AAS),
∴AF=OP,FG=OA,
∵OA=2,
∴GF=2,
∵E(2,﹣),
∴E点与G点重合,
∴OP=AF=OA﹣OF=2﹣=,
∴P(﹣,0);
综上所述:P点坐标为(2,0)或(﹣,0).
14.(2022•长春模拟)在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c(b、c是常数)经过点(0,﹣1)和(2,7),点A在这个抛物线上,设点A的横坐标为m.
(1)求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点C的坐标.
(2)点B在这个抛物线上(点B在点A的左侧),点B的横坐标为﹣1﹣2m.
①当△ABC是以AB为底的等腰三角形时,求OABC的面积.
②将此抛物线A、B两点之间的部分(包括A、B两点)记为图象G,当顶点C在图象G上,记图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h,求h与m之间的函数关系式.
(3)设点D的坐标为(m,2﹣m),点E的坐标为(1﹣m,2﹣m),点F在坐标平面内,以A、D、E、F为顶点构造矩形,当此抛物线与矩形有3个交点时,直接写出m的取值范围.
【分析】(1)用待定系数法求出抛物线的解析式,再将抛物线的解析式化成顶点式,即可求解;
(2)①先根据等腰三角形的性质求出A、B、C三点坐标,再根据三角形面积公式求解即可;
②按第一种情况:当点A是最高点,可得m>1或m<﹣,第二种情况:当点B是最高点,得m的取值范围,再计算纵坐标的差h即可解答;
(3)分情况讨论:①当m<﹣1时,②当﹣1≤m≤1时时,③当1<m<2时,④当2<m<3时,⑤当m=3,⑥当3≤m<4时,⑦当m=4时,⑧当m>4时,分别画出图形求解即可.
【解答】解:(1)把(0,﹣1)和(2,7)代入y=x2+bx+c,得:
,解得:,
∴抛物线对应的函数表达式为:y=x2+2x﹣1,
∵y=x2+2x﹣1=(x+1)2﹣2,
∴顶点C的坐标为(﹣1,﹣2);
(2)①当x=﹣1﹣2m时,y=(﹣1﹣2m+1)2﹣2=4m2﹣2,
∴B(﹣1﹣2m,4m2﹣2).
当△ABC是以AB为底的等腰三角形时,
则AC=BC,
又∵点C在抛物线对称轴x=﹣1上,
∴点A、点B关于直线x=﹣1对称,
∴A(2m﹣1,4m2﹣2),
∵点A的横坐标为m,
∴2m﹣1=m,
解得:m=1,
∴A(1,2),B(﹣3,2),
∵由(1)得,C(﹣1,﹣2),
∴S△ABC=[1﹣(﹣3)]×[2﹣(﹣2)]=8;
②∵A(m,(m+1)2﹣2),B(﹣1﹣2m,4m2﹣2).
∴当点A是最高点,即m>1或m<﹣时,
则h=(m+1)2﹣2﹣(﹣2)=(m+1)2;
当点B是最高点,即0≤m<1时,则h=4m2﹣2﹣(﹣2)=4m2,
综上,h与m之间的函数关系式为:h=(m+1)2(m>1或m<﹣)或 h=4m2(0≤m<1);
(3)①当m<﹣1时,则2﹣m>3,1﹣m>2,如图:
此时矩形ADEF与抛物线有3个交点;
②当﹣1≤m≤1时,则1≤2﹣m≤3,0≤1﹣m≤2,如图:
此时矩形ADEF与抛物线有2个交点;
③当1<m<2时,则0<2﹣m<1,﹣1<1﹣m<0,如图:
此时矩形ADEF与抛物线有2个交点;
④当2<m<3时,则﹣1<2﹣m<0,﹣2<1﹣m<﹣1,如图:
此时矩形ADEF与抛物线有2个交点;
⑤当m=3时,点E在抛物线上,此时矩形ADEF与抛物线有3个交点;
⑥当3<m<4时,则﹣2<2﹣m≤﹣1,﹣3<1﹣m≤﹣2,如图:
此时矩形ADEF与抛物线有4个交点;
⑦当m=4时,则2﹣m=﹣2,1﹣m=﹣3,如图:
此时矩形ADEF与抛物线有3个交点(ED经过抛物线的顶点);
⑧当m>4时,则2﹣m<﹣2,1﹣m<﹣3,如图:
此时矩形ADEF与抛物线有2个交点.
综上,当m≤﹣1或m=4时,抛物线与矩形有3个交点.
15.(2022•长春二模)在平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣2mx+m2与y轴的交点为A,过点A作直线l垂直于y轴.
(1)求抛物线的对称轴(用含m的式子表示);
(2)将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折,其余部分保持不变,组成图形G,点M(x1,y1),N(x2,y2)为图形G上任意两点.
①当m=0时,若x1<x2,判断y1与y2的大小关系,并说明理由;
②若对于x1=m﹣1,x2=m+1,都有y1>y2,求m的取值范围;
(3)当图象G与直线y=m+2恰好有3个公共点时,直接写出m的取值范围.
【分析】(1))直接利用对称轴公式x=﹣即可求出;
(2)①y1>y2利用图象法,根据函数的增减性判断即可;
②通过计算可知,点P(m﹣1,1)、Q(m+1、1)为抛物线上关于对用轴x=m对称的两点,分类讨论当m变化时,y轴与点P、Q的相对位置:当y轴在点P左侧时(含点P),作出图形,即可得出经翻折后,得到点M,N的纵坐标相同,此时y1=y2,不符题意;当y轴在点Q右侧时(含点Q),作出图形,即可得出点M、N分别和点P、Q重合,此时y1=y2,不符题意;当y轴在点P、Q之间时(不含P、Q),作出图形,即可得出经翻折后,点N在l下方,点M、P重合,在l上方,此时y1>y2,符合题意,即有m﹣1<0<m+1.即﹣1<m<m;
(3)当m>0时,图象G与直线y=m+2恰好有3个公共点时,可列不等式组,当m<0时,图象G与直线y=m+2恰好有3个公共点时,可列不等式组,分别解出即可得到结果.
【解答】解:(1)抛物线y=x2﹣2mx+m2的对称轴为直线x=﹣=m;
(2)①当m=0时,二次函数解析式是y=x2,对称轴为y轴,
∴图形G如图1所示:
:图形G上的点的横纵坐标x和y,满足y随x的增大而减小,
∵x1<x2,
∴y1>y2;
②通过计算可得,P(m﹣1,1),Q(m+1,1)为抛物线上关于对称轴x=m对称的两点,
下面讨论当m变化时,y轴与点P、Q的相对位置:
如图2所示:当y轴在点P左侧时(含点P),
经翻折后,得到点M、N的纵坐标相同,y1=y2,不符合题意;
如图3所示:当y轴在点Q右侧时(含点Q),
点M,N分别和点P、Q重合,y1=y2,不符合题意;
如图4所示:当y轴在点P、Q之间时(不含P、Q),
经翻折后,点N在l下方,点M、P重合,在l上方,y1>y2,符合题意,
此时有m﹣1<0<m+1,
∴﹣1<m<1,
综上所述:m的取值范围为﹣1<m<1;
(3)当m>0时,如图所示
∵抛物线y=x2﹣2m+m2翻折后y=﹣(x﹣m)2+2m2,
∴图象G与直线:y=m+2恰好有3个公共点在点A、B之间,
∴,
∴解得<m<2;
当m<0时,如图所示,
∴图象G与直线y=m+2恰好有3个公共点时,
∴,
∴解得:﹣2<m<﹣1.
综上所述,m的取值范围为:<m<2或﹣2<m<﹣1.
16.(2022•开福区校级一模)已知:抛物线C1:y=ax2+bx+c(a>0).
(1)若顶点坐标为(1,1),求b和c的值(用含a的代数式表示);
(2)当c<0时,求函数y=﹣2022|ax2+bx+c|﹣1的最大值;
(3)若不论m为任何实数,直线与抛物线C1有且只有一个公共点,求a,b,c的值;此时,若k≤x≤k+1时,抛物线的最小值为k,求k的值.
【分析】(1)根据抛物线顶点式可得y=a(x﹣1)2+1=ax2﹣2ax+a+1,即可得出答案;
(2)由题意可得Δ=b2﹣4ac>0,可得|ax2+bx+c|≥0,进而可得﹣2022|ax2+bx+c|﹣1≤﹣1,即可得出答案;
(3)由直线与抛物线C1有且只有一个公共点,可得方程ax2+(b﹣m)x++m+c=0有两个相等的实数根,即Δ=0,可得(b﹣m)2﹣4a(+m+c)=0,进而可得,即可求得:a=1,b=﹣2,c=1;抛物线解析式为y=x2﹣2x+1=(x﹣1)2,由于抛物线的对称轴为直线x=1,开口向上,当k≤x≤k+1时,抛物线的最小值为k,分三种情况:k<0或0≤k≤1或k>1,分别根据二次函数的性质讨论即可.
【解答】解:(1)∵抛物线的顶点坐标为(1,1),
∴y=a(x﹣1)2+1=ax2﹣2ax+a+1,
∴b=﹣2a,c=a+1;
(2)∵y=ax2+bx+c,a>0,c<0,
∴Δ=b2﹣4ac>0,
∴抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴有两个交点,
∴|ax2+bx+c|≥0,
∴﹣2022|ax2+bx+c|≤0,
∴﹣2022|ax2+bx+c|﹣1≤﹣1,
∴函数y=﹣2022|ax2+bx+c|﹣1的最大值为﹣1;
(3)∵直线与抛物线C1有且只有一个公共点,
∴方程组只有一组解,
∴ax2+(b﹣m)x++m+c=0有两个相等的实数根,
∴Δ=0,
∴(b﹣m)2﹣4a(+m+c)=0,
整理得:(1﹣a)m2﹣2(2a+b)m+b2﹣4ac=0,
∵不论m为任何实数,(1﹣a)m2﹣2(2a+b)m+b2﹣4ac=0恒成立,
∴,
∴a=1,b=﹣2,c=1.
此时,抛物线解析式为y=x2﹣2x+1=(x﹣1)2,
∴抛物线的对称轴为直线x=1,开口向上,
∵当k≤x≤k+1时,抛物线的最小值为k,
∴分三种情况:k<0或0≤k≤1或k>1,
①当k<0时,k+1<1,当k≤x≤k+1时,y随着x的增大而减小,则当x=k+1时,y的最小值为k,
∴(k+1﹣1)2=k,
解得:k=0或1,均不符合题意,舍去;
②当0≤k≤1时,当x=1时,抛物线的最小值为0,
∴k=0;
③当k>1时,y随着x的增大而增大,则当x=k时,y的最小值为k,
∴(k﹣1)2=k,
解得:k=或,
∵k>1,
∴k=,
综上所述,若k≤x≤k+1时,抛物线的最小值为k,k的值为0或.
17.(2022•安徽模拟)已知二次函数y=ax2﹣x+c的图象经过点A(﹣2,2),该图象与直线x=2相交于点B.
(1)求点B的坐标;
(2)当c>0时,求该函数的图象顶点纵坐标的最小值;
(3)点M(m,0)、N(n,0)是该函数图象与x轴的两个交点.当m>﹣2,n<3时,结合函数图象分析a的取值范围.
【分析】(1)将(﹣2,2)代入解析式求出c与a的关系,再将x=2代入解析式求解.
(2)由抛物线顶点坐标公式求出顶点纵坐标为c+,由a2+b2≥2ab可得a=b时,即c=时,c+取最小值.
(3)分类讨论图象开口向上,向下两种情况,结合图象,根据抛物线经过定点A,B求解.
【解答】解:(1)将(﹣2,2)代入y=ax2﹣x+c得2=4a+2+c,
∴4a+c=0,
将x=2代入y=ax2﹣x+c得y=4a﹣2+c=﹣2,
∴点B坐标为(2,﹣2).
(2)∵4a+c=0,
∴c=﹣4a,
∵c>0,
∴a<0,
∵y=ax2﹣x+c,
∴抛物线顶点纵坐标为=c﹣=c+,
∵a2+b2﹣2ab=(a﹣b)2≥0,
∴a2+b2≥2ab,
∴a=b时,a2+b2=2ab为最小值,
∴当c=时,c+取最小值,
解得c=﹣1(舍)或c=1,
∴c+最小值为2,即图象顶点纵坐标的最小值为2.
(3)如图,抛物线y=ax2﹣x﹣4a开口向上,
∵抛物线经过定点A(﹣2,2),B(2,﹣2),m>﹣2,n<3,
∴n=3时,y>0,
∴,
解得a>.
如图,抛物线开口向下,
点N在点A左侧,n<﹣2满足题意,
点M在点A右侧点B左侧,m>﹣2满足题意,
∴a<0符合题意.
综上所述,a>或a<0.
18.(2022•江都区一模)对某一个函数给出如下定义:如果存在实数M,对于任意的函数值y,都满足y≤M,那么称这个函数是有上界函数.在所有满足条件的M中,其最小值称为这个函数的上确界.例如,函数y=﹣(x﹣3)2+2是有上界函数,其上确界是2.
(1)函数①y=x2+2x+1和②y=2x﹣3(x≤5)中是有上界函数的为 ② (只填序号即可),其上确界为 7 ;
(2)若反比例函数y=(a≤x≤b,a>0)的上确界是b+1,且该函数的最小值为2,求a、b的值;
(3)如果函数y=﹣x2+2ax+2(﹣1≤x≤3)是以6为上确界的有上界函数,求实数a的值.
【分析】(1)y=x2+2x+1=(x+1)2≥0,则函数是没有上界函数;y=2x﹣3(x≤5)时y≤7,则函数是有上界函数,上确界为7;
(2)由题意可得≤y≤,则=b+1,=2,分别求出a、b即可;
(3)分三种情况讨论:①a≤﹣1时,1﹣2a=6,解得a=﹣;②a≥3时,6a﹣7=6,解得a=(舍);③﹣1<a<3时,x=a时,y有最大值a2+2,a2+2=6,解得a=2或a=﹣2(舍).
【解答】解:(1)∵y=x2+2x+1=(x+1)2,
∴y≥0,
∴y=x2+2x+1没有上界函数;
∵y=2x﹣3(x≤5),
∴y≤7,
∴y=2x﹣3(x≤5)有上界函数,上确界为7,
故答案为:②,7;
(2)∵y=(a≤x≤b,a>0),
∴当x=a时,y有最大值,当x=b时,y有最小值,
∴≤y≤,
∵函数上确界是b+1,
∴=b+1,
∵函数的最小值为2,
∴=2,
∴b=3,
∴a=;
(3)∵y=﹣x2+2ax+2=﹣(x﹣a)2+a2+2,
∴当x=a时,y有最大值a2+2,
①a≤﹣1时,x=﹣1,y有最大值1﹣2a,
∵6为上确界,
∴1﹣2a=6,
∴a=﹣;
②a≥3时,x=3时,y有最大值6a﹣7,
∵6为上确界,
∴6a﹣7=6,
∴a=(舍);
③﹣1<a<3时,x=a时,y有最大值a2+2,
∵6为上确界,
∴a2+2=6,
∴a=2或a=﹣2(舍);
综上所述:a的值为﹣或2.
19.(2022•亭湖区校级一模)已知抛物线y=ax2﹣(3a﹣1)x﹣2(a为常数且a≠0)与y轴交于点A.
(1)点A的坐标为 (0,﹣2) ;对称轴为 x= (用含a的代数式表示);
(2)无论a取何值,抛物线都过定点B(与点A不重合),则点B的坐标为 (3,1) ;
(3)若a<0,且自变量x满足﹣1≤x≤3时,图象最高点的纵坐标为2,求抛物线的表达式;
(4)将点A与点B之间的函数图象记作图象M(包含点A、B),若将M在直线y=﹣2下方的部分保持不变,上方的部分沿直线y=﹣2进行翻折,可以得到新的函数图象M1,若图象M1上仅存在两个点到直线y=﹣6的距离为2,求a的值.
【分析】(1)令x=0,求得对应的y值即可求得点A的坐标;利用二次函数的性质即可求得抛物线的对称轴;
(2)利用a的系数为0,求得对应的x值,将x值代入解析式即可求得结论;
(3)利用分类讨论的思想方法,用待定系数法解答即可;
(4)利用分类讨论的方法分①当a>0时和②当a<0时两种情况讨论解答,结合图象,利用轴对称的性质和待定系数法解答即可.
【解答】解:(1)令x=0,则y=﹣2,
∴A(0,﹣2);
抛物线y=ax2﹣(3a﹣1)x﹣2的对称轴为直线x=﹣=,
故答案为:(0,﹣2);x=;
(2)∵抛物线y=ax2﹣(3a﹣1)x﹣2=ax2﹣3ax+x﹣2=(x2﹣3x)a+x﹣2,
又无论a取何值,抛物线都过定点B(与点A不重合),
∴x2﹣3x=0,
∴x=3,
∵当x=3时,y=x﹣2=1,
∴B(3,1),
故答案为:(3,1);
(3)∵a<0,
∴抛物线y=ax2﹣(3a﹣1)x﹣2开口方向向下.
由(1)知:抛物线y=ax2﹣(3a﹣1)x﹣2的对称轴为直线x=,
①若≤﹣1,则a≥,与a<0矛盾,不合题意;
②若﹣1<<3,则a<﹣,
此时,抛物线的顶点为图象最高点,
即当x=时,函数y的值为2,
∴a×﹣(3a﹣1)×﹣2=0,
解得:a=﹣1或a=﹣(不合题意,舍去).
∴a=﹣1;
③若≥3,则﹣≤a<0,
此时,点(3,2)是满足﹣1≤x≤3时,图象的最高点,
∵9a﹣3(3a﹣1)﹣2=1≠2,
∴此种情况不存在,
综上,满足条件的抛物线的表达式为y=﹣x2+4x﹣2;
(4)∵B(3,1),
∴将点B沿直线y=﹣2进行翻折后得到的对称点的坐标为B′(3,﹣5),
∴点B′到直线y=﹣6的距离为1.
①当a>0时,
∵图象M1上仅存在两个点到直线y=﹣6的距离为2,
∴此时,抛物线的顶点的纵坐标为﹣4,
∴=﹣4,
解得:a=,
∴a=或;
②当a<0时,
∵点B′到直线y=﹣6的距离为1,
∴图象M1上仅存在一个点到直线y=﹣6的距离为2,
综上,若图象M1上仅存在两个点到直线y=﹣6的距离为2,a的值为或.
20.(2022•义安区模拟)已知抛物线的图象经过坐标原点O.
(1)求抛物线解析式.
(2)若B,C是抛物线上两动点,直线BC:y=kx+b恒过点(0,1),设直线OB为y=k1x,直线OC为y=k2x.
①若B、C两点关于y轴对称,求k1k2的值.
②求证:无论k为何值,k1k2为定值.
【分析】(1)先把(0,0)代入,得出c=n2,再代入即可得解;
(2)①设B(﹣t,1),C(t,1),t>0,分别代入直线OB、OC,得出kOB,kOC求解即可;
②联立,再利用根与系数的关系得出x1+x2=2k,x1x2=﹣2,进而得出,,求解即可.
【解答】(1)解:由题意,把(0,0)代入,
得0=﹣n2+c,
∴c=n2,
∴y=,
∴抛物线解析式为y=x2;
(2)解:①由题意得,B、C两点关于y轴对称,
设B(﹣t,1),C(t,1),t>0,
∴=1,解得:t=±,
∴代入OB为y=k1x,直线OC为y=k2x,
∴
∴
即;
②证明:由题知,直线BC:y=kx+1:
联立得:,
得:,
∴x1+x2=2k,x1x2=﹣2,
∵点B在直线OB上,
∴kx1+1=k1x1,即,
∵点C在直线OC上,
∴kx2+1=k2x2,即,
∴===,
即无论k为何值,k1k2为定值,值为.
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