高中数学高考第4讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
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这是一份高中数学高考第4讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用,共8页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
第4讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用一、选择题1.(2016·全国Ⅱ卷)若将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )A.x=-(k∈Z) B.x=+(k∈Z)C.x=-(k∈Z) D.x=+(k∈Z)解析 由题意将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y=2sin,由2x+=kπ+得函数的对称轴为x=+(k∈Z),故选B.答案 B2.(2017·衡水中学金卷)若函数y=sin(ωx-φ)(ω>0,|φ |<)在区间上的图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )A.ω=2,φ= B.ω=2,φ=-C.ω=,φ= D.ω=,φ=-解析 由图可知,T=2=π,所以ω==2,又sin=0,所以-φ=kπ(k∈Z),即φ=-kπ(k∈Z),而|φ|<,所以φ=,故 选A.答案 A3.(2017·昆明市两区七校模拟)将函数f(x)=sin x-cos x的图象沿着x轴向右平移a(a>0)个单位后的图象关于y轴对称,则a的最小值是( )A. B.C. D.解析 依题意得f(x)=2sin,因为函数f(x-a)=2sin的图象关于y轴对称,所以sin=±1,a+=kπ+,k∈Z,即a=kπ+,k∈Z,因此正数a的最小值是,选B.答案 B4.(2016·长沙模拟)函数f(x)=3sinx-logx的零点的个数是( )A.2 B.3 C.4 D.5解析 函数y=3sinx的周期T==4,由logx=3,可得x=.由logx=-3,可得x=8.在同一平面直角坐标系中,作出函数y=3sinx和y=logx的图象(如图所示),易知有5个交点,故函数f(x)有5个零点.答案 D5.(2017·呼和浩特调研)如图是函数f(x)=sin 2x和函数g(x)的部分图象,则g(x)的图象可能是由f(x)的图象( )A.向右平移个单位得到的B.向右平移个单位得到的C.向右平移个单位得到的D.向右平移个单位得到的解析 由函数f(x)=sin 2x和函数g(x)的部分图象,可得g(x)的图象位于y轴右侧的第一个最高点的横坐标为m,则有-m=-,解得m=,故把函数f(x)=sin 2x的图象向右平移-=个单位,即可得到函数g(x)的图象,故选B.答案 B二、填空题6.(2016·龙岩模拟)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+Acos(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高为28 ℃,12月份的月平均气温最低为18 ℃,则10月份的平均气温为________℃.解析 因为当x=6时,y=a+A=28;当x=12时,y=a-A=18,所以a=23,A=5,所以y=f(x)=23+5cos,所以当x=10时,f(10)=23+5cos=23-5×=20.5.答案 20.57.(2016·全国Ⅲ卷)函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=sin x+cos x的图象至少向右平移________个单位长度得到.解析 y=sin x-cos x=2sin,y=sin x+cos x=2sin,因此至少向右平移个单位长度得到.答案 8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2,且过点,则函数f(x)的解析式为________.解析 据已知两个相邻最高和最低点距离为2,可得=2,解得T=4,故ω==,即f(x)=sin.又函数图象过点,故f(2)=sin=-sin φ=-,又-≤φ≤,解得φ=,故f(x)=sin.答案 f(x)=sin三、解答题9.已知函数f(x)=sin ωx+cos,其中x∈R,ω>0.(1)当ω=1时,求f的值;(2)当f(x)的最小正周期为π时,求f(x)在上取得最大值时x的值.解 (1)当ω=1时,f=sin +cos =+0=.(2)f(x)=sin ωx+cos=sin ωx+cos ωx-sin ωx=sin ωx+cos ωx=sin.∵=π,且ω>0,得ω=2,∴f(x)=sin.由x∈,得2x+∈,∴当2x+=,即x=时,f(x)max=1.10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻最高点的距离为π.(1)求f的值;(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后,得到y=g(x)的图象,求g(x)的单调递减区间.解 (1)因为f(x)的图象上相邻最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω==2.又f(x)的图象关于直线x=对称,所以2×+φ=kπ+(k∈Z),因为-≤φ<,所以k=0,所以φ=-=-,所以f(x)=sin,则f=sin=sin =.(2)将f(x)的图象向右平移个单位后,得到f的图象,所以g(x)=f=sin=sin.当2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈Z),即kπ+≤x≤kπ+(k∈Z)时,g(x)单调递减.因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z).11.(2017·西安调研)设函数f(x)=sin,则下列结论正确的是( )A.f(x)的图象关于直线x=对称B.f(x)的图象关于点对称C.f(x)的最小正周期为π,且在上为增函数D.把f(x)的图象向右平移个单位,得到一个偶函数的图象解析 对于函数f(x)=sin,当x=时,f=sin =,故A错;当x=时,f=sin =1,故不是函数的对称点,故B错;函数的最小正周期为T==π,当x∈时,2x+∈,此时函数为增函数,故C正确;把f(x)的图象向右平移个单位,得到g(x)=sin=sin 2x,函数是奇函数,故D错.答案 C12.(2017·承德一模)已知函数f(x)=2sin ωx在区间上的最小值为-2,则ω的取值范围是( )A.∪[6,+∞) B.∪C.(-∞,-2]∪[6,+∞) D.(-∞,-2]∪解析 当ω>0时,-ω≤ωx≤ω,由题意知-ω≤-,即ω≥;当ω<0时,ω≤ωx≤-ω,由题意知ω≤-,∴ω≤-2.综上可知,ω的取值范围是(-∞,-2]∪.答案 D13.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为,则f(x)的最小正周期为________.解析 f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin.由2sin=1得sin=,∴ωx+=2kπ+或ωx+=2kπ+π(k∈Z).令k=0,得ωx1+=,ωx2+=π,∴x1=0,x2=.由|x1-x2|=,得=,∴ω=2.故f(x)的最小正周期T==π.答案 π14.(2017·郑州模拟)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:ωx+φ0π2πx Asin(ωx+φ)05 -50(1)请将上表数据补充完整,并求出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象.若关于x的方程g(x)-(2m+1)=0在区间上有两个不同的解,求实数m的取值范围.解 (1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-.数据补全如下表:ωx+φ0π2πxAsin(ωx+φ)050-50且函数表达式为f(x)=5sin.(2)通过平移,g(x)=5sin,方程g(x)-(2m+1)=0可看成函数y=g(x)和函数y=2m+1的图象在上有两个交点,当x∈时,2x+∈,为使直线y=2m+1与函数y=g(x)的图象在上有两个交点,结合函数y=g(x)在[0,]上的图象,只需≤2m+1<5,解得≤m<2.即实数m的取值范围为.
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