高中数学高考第05讲 函数的奇偶性与周期性（练）解析版

第05讲  函数的奇偶性与周期性

【练基础】

1．(2020·浙江舟山模拟)下列函数既是奇函数，又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)

A．y＝－x2　　　　　　　　　   B．y＝x3

C．y＝log2x   D．y＝－3－x

【答案】B

【解析】A.函数y＝－x2为偶函数，不满足条件．

B．函数y＝x3为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，满足条件．

C．y＝log2x的定义域为(0，＋∞)，为非奇非偶函数，不满足条件．

D．函数y＝－3－x为非奇非偶函数，不满足条件．

2．(2021·河北石家庄模拟)函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能为(　　)

【答案】A

【解析】因为f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，所以y＝f(x)·g(x)为奇函数，排除B；由两函数的图象可知当x∈时，y＝f(x)·g(x)<0；当x∈时，y＝f(x)·g(x)>0，所以只有选项A符合题意，故选A.

3．(2021·安徽省太湖中学模拟)若f(x)＝(ex－e－x)(ax2＋bx＋c)是偶函数，则一定有(　　)

A．b＝0   B．ac＝0

C．a＝0且c＝0   D．a＝0，c＝0且b≠0

【答案】C

【解析】设函数g(x)＝ex－e－x.g(－x)＝e－x－ex＝－g(x)，所以g(x)是奇函数．因为f(x)＝g(x)(ax2＋bx＋c)是偶函数．所以h(x)＝ax2＋bx＋c为奇函数．即h(－x)＋h(x)＝0恒成立，有ax2＋c＝0恒成立．所以a＝c＝0.当a＝c＝b＝0时，f(x)＝0，也是偶函数，故选C.

4．(2021·福建省福州市三中模拟)已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝(　　)

A．2  B．3

C．4  D．5

【答案】D

【解析】∵y＝f(x)＋x是偶函数，∴f(－x)＋(－x)＝f(x)＋x，∴f(－x)＝f(x)＋2x，令x＝2，则f(－2)＝f(2)＋4＝5，故选D.

5．(2021·江西省宜春中学模拟)若函数f(x)＝ln(ax＋)是奇函数，则a的值为(　　)

A．1   B．－1

C．±1   D．0

【答案】C

【解析】因为f(x)＝ln(ax＋)是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0.即ln(－ax＋)＋ln(ax＋)＝0恒成立，所以ln[(1－a2)x2＋1]＝0，即(1－a2)x2＝0恒成立，所以1－a2＝0，即a＝±1.

6．(2021·四川成都模拟)若函数f(x)＝1－的图象关于原点对称，则实数a等于(　　)

A．－2  B．－1

C．1  D．2

【答案】A

【解析】由已知得，函数f(x)为奇函数，所以f(1)＋f(－1)＝0，即1－＋1－＝0,1－a＋1＋2a＝0，解得a＝－2.

7．(2021·杭州四中模拟)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f(2)＝0，则不等式≤0的解集为(　　)

A．(－∞，－2]∪(0，2]   B．[－2，0)∪[2，＋∞)

C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)   D．[－2，0)∪(0，2]

【答案】D

【解析】因为函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f(2)＝0，所以函数f(x)在(0，2)上的函数值为正，在(2，＋∞)上的函数值为负，当x>0时，不等式≤0等价于3f(－x)－2f(x)≤0，又f(x)是奇函数，所以有f(x)≥0，所以有0<x≤2，同理当x<0时，可解得－2≤x<0.综上，不等式≤0的解集为[－2，0)∪(0，2]，故选D.

8．(2021·沈阳市高三质检)已知函数f(x)＝，实数a，b满足不等式f(2a＋b)＋f(4－3b)＞0，则下列不等关系恒成立的是(　　)

A．b－a＜2  B．a＋2b＞2

C．b－a＞2  D．a＋2b＜2

【答案】C

【解析】由题意知f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，又f(x)＝＝＝－1，所以f(x)在R上为减函数，由f(2a＋b)＋f(4－3b)＞0，得f(2a＋b)＞－f(4－3b)＝f(3b－4)，故2a＋b＜3b－4，即b－a＞2.故选C.

【练提升】

1．(2021·河北模拟)已知函数f(x)是定义在区间[－a，a](a＞0)上的奇函数，若g(x)＝f(x)＋2019，则g(x)的最大值与最小值之和为(　　)

A．0  B．1

C．2019  D．4038

【答案】D

【解析】因为函数f(x)是定义在区间[－a，a]上的奇函数，所以f(x)max＋f(x)min＝0，所以g(x)max＋g(x)min＝[f(x)max＋2019]＋[f(x)min＋2019]＝f(x)max＋f(x)min＋4038＝4038.

2．(2021·山东省聊城市三中模拟)已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝x2＋3x＋2.若当x∈[1，3]时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为　(　　)

A.   B．2

C.   D.

【答案】A

【解析】设x＞0，则－x＜0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋3(－x)＋2]＝－x2＋3x－2.所以在[1，3]上，当x＝时，f(x)max＝；当x＝3时，f(x)min＝－2.所以m≥且n≤－2.故m－n≥.

3．(2021·河南南阳模拟)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为(　　)

A．(1,3)  B．(－1,1)

C．(－1,0)∪(1,3)  D．(－1,0)∪(0,1)

【答案】C

【解析】若x∈[－2,0]，则－x∈[0,2]，∵当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，∴f(－x)＝－x－1，∵f(x)是偶函数，

∴f(－x)＝－x－1＝f(x)，即当x∈[－2,0]时，f(x)＝－x－1，即在一个周期[－2,2]内，f(x)＝若x∈[2,4]，则x－4∈[－2,0]，即f(x)＝f(x－4)＝－(x－4)－1＝－x＋3，x∈[2,4]，作出函数f(x)在[－2,4]上的图象如图：

则当x∈[－1,3]时，不等式xf(x)>0等价为或即1<x<3或－1<x<0，所以不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为(－1,0)∪(1,3)．

4．(2021·浙江宁波效实中学模拟)对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是(　　)

A．f(x)＝   B．f(x)＝x2

C．f(x)＝tan x   D．f(x)＝cos(x＋1)

【答案】D

【解析】由f(x)为准偶函数的定义可知，若f(x)的图象关于x＝a(a≠0)对称，则f(x)为准偶函数，A，C中两函数的图象无对称轴，B中函数图象的对称轴只有x＝0，而D中f(x)＝cos(x＋1)的图象关于x＝kπ－1(k∈Z)对称．

5．(2021·湖北省葛洲坝中学模拟)若函数f(x)＝x为偶函数，则a＝________.

【答案】1或－1

【解析】令u(x)＝1－，根据函数f(x)＝x为偶函数，可知u(x)＝1－为奇函数，利用u(0)＝1－＝0，可得a2＝1，所以a＝1或a＝－1.

6．(2021·石家庄二中高三质检)已知函数y＝f(x)在定义域[－1，1]上既是奇函数，又是减函数．

(1)求证：对任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0；

(2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求实数a的取值范围．

【解析】(1)证明：若x1＋x2＝0，显然不等式成立．

若x1＋x2＜0，则－1≤x1＜－x2≤1，

因为f(x)在[－1，1]上是减函数且为奇函数，

所以f(x1)＞f(－x2)＝－f(x2)，

所以f(x1)＋f(x2)＞0.

所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．

若x1＋x2＞0，则1≥x1＞－x2≥－1，

同理可证f(x1)＋f(x2)＜0.

所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．

综上得证，对任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0恒成立．

(2)因为f(1－a)＋f(1－a2)＜0⇔f(1－a2)＜－f(1－a)＝f(a－1)，所以由f(x)在定义域[－1，1]上是减函数，得即解得0≤a＜1.

故所求实数a的取值范围是[0，1)．

7．(2021·河北重点中学联考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2,0]上是增函数，下面是关于f(x)的判断：

①f(x)的图象关于点P(1,0)对称；②f(0)是函数f(x)的最大值；③f(x)在[2,3]上是减函数；④f(x0)＝f(4k＋x0)，k∈Z.

其中正确的是________(正确的序号都填上)．

【答案】①②④

【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，又f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(－x)，所以f(x)的图象关于点P(1,0)对称，所以①正确；由f(x＋2)＝－f(x)知，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(x0)＝f(4k＋x0)(k∈Z)，所以④正确；因为f(x)是以4为周期的函数，且在[－2,0]上是增函数，所以f(x)在[2,4]上也是增函数，因此③不正确；因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)在[0,2]上是减函数，所以f(x)在[－2,2]上的最大值是f(0)，又f(x)是以4为周期的函数，所以②正确．所以正确的判断是①②④.

8．(2021·山东济南高三模拟)设常数a∈R，函数f(x)＝(a－x)|x|.

(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)是奇函数，且关于x的不等式mx2＋m>f[f(x)]对所有的x∈[－2，2]恒成立，求实数m的取值范围．

【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝(1－x)|x|＝，

当x≥0时，f(x)＝(1－x)x＝－＋，

所以f(x)在内是增函数，

在内是减函数；

当x<0时，f(x)＝(x－1)x＝－，

所以f(x)在(－∞，0)内是减函数；

综上可知，f(x)的单调增区间为，

单调减区间为(－∞，0)，.

(2)因为f(x)是奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，

即(a＋1)·1＝－(a－1)·1，解得a＝0.

所以f(x)＝－x|x|，f[f(x)]＝x3|x|；

所以mx2＋m>f[f(x)]＝x3|x|，

即m>对所有的x∈[－2，2]恒成立．

因为x∈[－2，2]，所以x2＋1∈[1，5]．

所以≤＝＝x2＋1＋－2≤.

所以m>.

所以实数m的取值范围为.