高中数学高考第5讲　指数与指数函数

第5讲　指数与指数函数

一、选择题

1.(2017·衡水中学模拟)若a＝，b＝x2，c＝logx，则当x>1时，a，b，c的大小关系是(　　)

A.c<a<b    B.c<b<a

C.a<b<c    D.a<c<b

解析　当x>1时，0<a＝x<，b＝x2>1，c＝logx<0，所以c<a<b.

答案　A

2.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)

A.a>1，b<0  B.a>1，b>0

C.0<a<1，b>0  D.0<a<1，b<0

解析　由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.

函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.

答案　D

3.(2017·德州一模)已知a＝，b＝，c＝，则(　　)

A.a<b<c    B.c<b<a

C.c<a<b    D.b<c<a

解析　∵y＝在R上为减函数，>，∴b<c.

又∵y＝x在(0，＋∞)上为增函数，>，

∴a>c，∴b<c<a.

答案　D

4.(2017·安阳模拟)已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，如果以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)·f(x2)等于(　　)

A.1   B.a

C.2    D.a2

解析　∵以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，

∴x1＋x2＝0.又∵f(x)＝ax，

∴f(x1)·f(x2)＝ax1·ax2＝ax1＋x2＝a0＝1.

答案　A

5.(2017·西安调研)若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)

A.(－∞，2]    B.[2，＋∞)

C.[－2，＋∞)    D.(－∞，－2]

解析　由f(1)＝，得a2＝，解得a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减.

答案　B

二、填空题

6.×＋8×－＝________.

解析　原式＝×1＋2×2－＝2.

答案　2

7.(2015·江苏卷)不等式2x2－x<4的解集为________.

解析　∵2x2－x<4，∴2x2－x<22，

∴x2－x<2，即x2－x－2<0，解得－1<x<2.

答案　{x|－1<x<2}

8.(2017·安徽江淮十校联考)已知max(a，b)表示a，b两数中的最大值.若f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}，则f(x)的最小值为________.

解析　f(x)＝

当x≥1时，f(x)＝ex≥e(x＝1时，取等号)，

当x<1时，f(x)＝e|x－2|＝e2－x>e，

因此x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝e.

答案　e

三、解答题

9.已知f(x)＝x3(a>0，且a≠1).

(1)讨论f(x)的奇偶性；

(2)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立.

解　(1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，

所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.

对于定义域内任意x，有

f(－x)＝(－x)3

＝(－x)3

＝(－x)3

＝x3＝f(x).

∴f(x)是偶函数.

(2)由(1)知f(x)为偶函数，

∴只需讨论x>0时的情况，当x>0时，要使f(x)>0，即x3>0，

即＋>0，即>0，则ax>1.

又∵x>0，∴a>1.

因此a>1时，f(x)>0.

10.已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数.

(1)求a，b的值；

(2)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0.

解　(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，

所以f(0)＝0，

即＝0，解得b＝1，

所以f(x)＝.

又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.

(2)由(1)知f(x)＝＝－＋.

由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f(x)在R上是减函数).

又因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－1)＝f(－2t2＋1).

因为f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋1，

即3t2－2t－1>0，解不等式可得t＞1或t＜－，

故原不等式的解集为.

11.若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是(　　)

A.(－∞，＋∞)    B.(－2，＋∞)

C.(0，＋∞)    D.(－1，＋∞)

解析　因为2x>0，所以由2x(x－a)<1得a>x－，

令f(x)＝x－，则函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

所以f(x)>f(0)＝0－＝－1，

所以a>－1.

答案　D

12.(2017·宜宾诊断检测)已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0，4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝a|x＋b|的图象为(　　)

解析　∵x∈(0，4)，∴x＋1>1，∴f(x)＝x＋1＋－5≥2－5＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝2时，取等号.∴a＝2，b＝1.因此g(x)＝2|x＋1|，该函数图象由y＝2|x|向左平移一个单位得到，结合图象知A正确.

答案　A

13.(2017·北京丰台一模)已知奇函数y＝如果f(x)＝ax(a>0，且a≠1)对应的图象如图所示，那么g(x)＝________.

解析　依题意，f(1)＝，∴a＝，

∴f(x)＝，x>0.当x<0时，－x>0.

∴g(x)＝－f(－x)＝－＝－2x.

答案　－2x(x<0)

14.(2017·天津期末)已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e为自然对数的底数).

(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性；

(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由.

解　(1)∵f(x)＝ex－，

∴f′(x)＝ex＋，

∴f′(x)>0对任意x∈R都成立，

∴f(x)在R上是增函数.

又∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，

∴f(x)是奇函数.

(2)存在.由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数，则f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立，

⇔f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R都成立，

⇔x2－t2≥t－x对一切x∈R都成立，

⇔t2＋t≤x2＋x＝－对一切x∈R都成立，

⇔t2＋t≤(x2＋x)min＝－⇔t2＋t＋＝≤0，

又≥0，

∴＝0，∴t＝－.

∴存在t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立.