高中数学高考第6讲 函数的单调性与最值（学生版）

第6讲   函数的单调性与最值

思维导图

知识梳理

1．增函数、减函数

定义：设函数f(x)的定义域为I：

(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．

(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．

2．单调性、单调区间

若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.

3．函数的最值

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M．

(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.

那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．

核心素养分析

能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。

重点提升数学抽象、逻辑推理素养.

题型归纳

题型1    函数的单调性（区间）

【例1-1】（2019•西湖区校级模拟）函数的单调递增区间为　　

A． B． C． D．

【例1-2】（2019秋•闵行区期末）已知函数．判断在上的单调性，并给予证明．

【跟踪训练1-1】（2019秋•天津期中）函数的单调递增区间是　　

A． B． C．， D．

【跟踪训练1-2】（2019秋•河西区期中）用函数单调性的定义证明：在上是增函数（这里且

【名师指导】

判断函数单调性常用方法

(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论.

(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性.

(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.

(4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)增减性质进行判断；

②对于复合函数，先将函数y＝f(g(x))分解成y＝f(t)和t＝g(x)，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断.

题型2    函数单调性的应用

【例2-1】（2020•绵阳模拟）已知在上是减函数，若，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

【例2-2】（2020•济南二模）已知函数，若，则实数的取值范围是　　

A． B．，， 

C． D．，，

【例2-3】（2020•郑州三模）若函数在上是单调函数，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【跟踪训练2-1】（2020春•静海区校级期中）已知函数，，则，，的大小关系是　　

A． B． C． D．

【跟踪训练2-2】（2019秋•金华期末）已知函数，若，则实数的取值范围是　　              ．

【跟踪训练2-3】（2019秋•黄山期末）已知函数，若在上是增函数，则实数的取值范围是　　          ．

【名师指导】

解函数不等式的理论依据是函数单调性的定义，具体步骤是：(1)将函数不等式转化成f(x1)＞f(x2)的形式；(2)考查函数f(x)的单调性；(3)据函数f(x)的单调性去掉法则“f”，转化为形如“x1＞x2”或“x1＜x2”的常规不等式，从而得解．

题型3    函数的值域（最值）

【例3-1】（2019秋•历城区校级期末）若函数在，上的最大值与最小值的差为，则的值为　　

A． B． C．或2 D．或

【例3-2】（2020•辽宁模拟）已知函数，若的最小值为（1），则实数的值不可能是　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【跟踪训练3-1】（2020•江苏模拟）已知函数且的最大值为3，则实数的取值范围是　               ．

【跟踪训练3-2】（2020春•浙江期中）用，表示，两个数中的最小值．设，，则的最大值为　　

A． B． C． D．

【名师指导】

求函数最值的五种常用方法及其思路

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．

(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．

(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．