高中数学高考第6讲　空间向量及其运算

第6讲　空间向量及其运算

一、选择题

1.(2017·黄冈模拟)已知向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数m的值等于(　　)

A.   B.－2 C.0   D.或－2

解析　∵a∥b，∴＝＝，解得m＝－2.

答案　B

2.(2017·海南模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为(　　)

A.   B. C.   D.

解析　如图，设正方体棱长为2，则易得＝(2，－2，1)，＝(2，2，－1)，∴cos〈，〉＝＝－，∴sin〈，〉＝＝.

答案　B

3.空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点，那么(　　)

A.·＜·

B.·＝·

C.·＞·

D.·与·的大小不能比较

解析　取BD的中点F，连接EF，则EF綉CD，因为〈，〉＝〈，〉＞90°，因为·＝0，∴·＜0，所以·＞·.

答案　C

4.已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)

A.－1   B.   C.   D.

解析　由题意得，ka＋b＝(k－1，k，2)，2a－b＝(3，2，－2).所以(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－2×2＝5k－7＝0，解得k＝.

答案　D

5.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　)

A.a2   B.a2   C.a2   D.a2

解析　如图，设＝a，＝b，＝c，

则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.

＝(a＋b)，＝c，

∴·＝(a＋b)·c

＝(a·c＋b·c)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2.

答案　C

二、填空题

6.已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________.

解析　由题意得，(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10.

即2a·c＋b·c＝－10，又∵a·c＝4，∴b·c＝－18，

∴cos〈b，c〉＝＝＝－，

∴〈b，c〉＝120°，∴两直线的夹角为60°.

答案　60°

7.正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为________.

解析　||2＝(＋＋)2

＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)

＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)

＝2，

∴||＝，∴EF的长为.

答案　

8.(2017·南昌调研)已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，现用基底{，，}表示向量，有＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为________.

解析　∵＝＋＝＋

＝＋(－)

＝＋

＝＋＋，

∴x＝，y＝，z＝.

答案　，，

三、解答题

9.已知空间中三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝.

(1)若|c|＝3，且c∥，求向量c.

(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值.

解　(1)∵c∥，＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)，

∴c＝m＝m(－2，－1，2)＝(－2m，－m，2m)，

∴|c|＝＝3|m|＝3，

∴m＝±1.∴c＝(－2，－1，2)或(2，1，－2).

(2)∵a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，

又∵|a|＝＝，|b|＝＝，

∴cos〈a，b〉＝＝＝－，

即向量a与向量b的夹角的余弦值为－.

10.如图，在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.

(1)写出点E，F的坐标；

(2)求证：A1F⊥C1E；

(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：＝＋.

(1)解　E(a，x，0)，F(a－x，a，0).

(2)证明　∵A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，

∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)，

∴·＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，

∴⊥，∴A1F⊥C1E.

(3)证明　∵A1，E，F，C1四点共面，

∴，，共面.

选与为在平面A1C1E上的一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使＝λ1＋λ2，

即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a，0)＋λ2(0，x，－a)

＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，

∴

解得λ1＝，λ2＝1.于是＝＋.

11.在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝(　　)

A.－1   B.0   C.1   D.不确定

解析　如图，令＝a，＝b，＝c，则·＋·＋·

＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)

＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.

答案　B

12.若{a，b，c}是空间的一个基底，且向量p＝xa＋yb＋zc，则(x，y，z)叫向量p在基底{a，b，c}下的坐标.

已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标是(　　)

A.(4，0，3)   B.(3，1，3)

C.(1，2，3)    D.(2，1，3)

解析　设p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为x，y，z.则

p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，①

因为p在{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，

∴p＝4a＋2b＋3c，②

由①②得∴

即p在{a＋b，a－b，c}下的坐标为(3，1，3).

答案　B

13.(2017·郑州调研)已知O点为空间直角坐标系的原点，向量＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，且点Q在直线OP上运动，当·取得最小值时，的坐标是__________.

解析　∵点Q在直线OP上，∴设点Q(λ，λ，2λ)，

则＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，

·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6－.即当λ＝时，·取得最小值－.此时＝.

答案　

14.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：

(1)·；(2)EG的长；

(3)异面直线AG与CE所成角的余弦值.

解　设＝a，＝b，＝c.

则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，

(1)＝＝c－a，＝－a，＝b－c，

·＝·(－a)＝a2－a·c＝，

(2)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b

  ＝－a＋b＋c，

||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，

则||＝.

(3)＝b＋c，＝＋＝－b＋a，

cos〈，〉＝＝－，

由于异面直线所成角的范围是，

所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.