高中数学高考第6讲 数列的综合（原卷版）

第6讲 数列的综合

高考预测一：数列不等式的证明

1．（1）当时，求证：；

（2）当时，求证：．

2．若为正整数），

求证：不等式对一切正整数恒成立．

3．已知正项数列的前项和为，且，．

（Ⅰ）求，的值，并写出数列的通项公式；

（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证：．

4．等比数列的前项和为，已知对任意的，点均在函数且，，均为常数）的图象上．

（1）求的值；

（2）当时，记，证明：对任意的，不等式成立．

5．已知曲线，，2，．从点向曲线引斜率为的切线，切点为，．

（1）求数列与的通项公式；

（2）证明：．

6．已知函数．

（Ⅰ）当曲线在，（1）处的切线与直线垂直时，求的值；

（Ⅱ）求函数的单调区间．

求证：．

7．已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若恒成立，试确定实数的取值范围；

（3）证明：，．

8．已知函数．

（1）求的极值；

（2）求证：且．

9．已知函数．

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）求证：．

10．设数列的前项和为，已知，，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）证明：对一切正整数，有．

11．已知二次函数的图象过点，且．

（1）求的解析式；

（2）若数列满足，且，求数列的通项公式；

（3）对于（2）中的数列，求证：．

12．已知函数．

（1）若，求的值；

（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．

13．已知函数，（1），，令，

（1）求数列的通项公式；

（2）证明．

14．已知函数，数列满足条件：，．试比较与1的大小，并说明理由．

15．设数列的前项和为，且，．

（1）求证：数列为等比数列，并求；

（2）设数列满足，数列的前项和为，求证：．

16．已知数列满足：且，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）当时，记，设数列的前项和为，求证：．

17．设二次函数满足：的解集为；对任意都有成立．数列

满足：．，．

（1）求的值；

（2）求的解析式；

（3）求证：．