高中数学高考第07讲 指数与指数函数（讲）解析版

 第07讲  指数与指数函数

【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析

【课标解读】

1.了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算。

2．理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.

3.了解指数函数的变化特征.

 【备考策略】

1.有理指数幂的运算；

2.指数函数单调性的应用，如比较函数值的大小；

3.图象过定点；

4.底数分类讨论问题.

【核心知识】

知识点一  根式

(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.

(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝

知识点二  分数指数幂

(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.

(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.

知识点三  指数函数及其性质

(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.

(2)指数函数的图象与性质

【特别提醒】

1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.

2.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大.

【高频考点】

高频考点一　指数幂的运算

例1.(2021·山东省青岛市模拟)化简a·b－2·÷(a，b>0)

【解析】原式＝－a－b－3÷

＝－a－b－3÷＝－a－·b－

＝－·＝－.

【答案】.

【方法技巧】

1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.

2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.

3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

【变式探究】(2021·河南省登封模拟)若实数a>0，则下列等式成立的是(　　)

A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝

C．(－2)0＝－1 D．(a)4＝

【答案】D

【解析】对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B,2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(a)4＝，故D正确。

高频考点二  指数函数的图像及其应用

例2.(2021·湖北省武汉市二中模拟)函数y＝(a>1)的图象大致是(　　)

【答案】B

【解析】y＝因为a>1，依据指数函数的图象特征可知选B.

【方法技巧】有关指数函数图象问题的解题思路

(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．

(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．

(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．

(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．

【变式探究】(2021·广州市番禺中学模拟)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围为________．

【答案】　

【解析】y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的．当a>1时，如图1，两个图象只有一个交点，不合题意；当0<a<1时，如图2，要使两个图象有两个交点，则0<2a<1，得0<a<.综上可知，a的取值范围为.

高频考点三   比较指数式的大小

例3．【2020·天津卷】设，则的大小关系为（  ）

A．      B．     

C．      D．

【答案】D

【解析】因为，

，

，

所以.

故选D．

【方法技巧】利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；

【变式探究】(2021·河北模拟)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a<b<c　　　　　　　　   B．a<c<b

C．b<a<c   D．b<c<a

【解析】因为函数y＝0.6x是减函数，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，

即b<a<1.因为函数y＝1.5x在(0，＋∞)上是增函数，0.6>0，所以1.50.6>1.50＝1，即c>1.综上，b<a<c.

【答案】C

高频考点四  解简单的指数方程或不等式

例4.(2020·全国卷Ⅱ)若2x－2y＜3－x－3－y，则(　　)

A．ln(y－x＋1)＞0 B．ln(y－x＋1)＜0

C．ln|x－y|＞0 D．ln|x－y|＜0

【答案】A　

【解析】(方法一)由2x－2y＜3－x－3－y，可得2x－3－x＜2y－3－y，

令f (x)＝2x－3－x，则f (x)在R上单调递增，且f (x)＜f (y)，

所以x＜y，即y－x＞0，由于y－x＋1＞1，

故ln(y－x＋1)＞ln 1＝0.

(方法二)取x＝－1，y＝0，满足2x－2y＜3－x－3－y，

此时ln(y－x＋1)＝ln 2＞0，ln|x－y|＝ln 1＝0，可排除BCD．

【方法技巧】利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解；

【变式探究】(2021·山西省阳泉市模拟)设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－3)   B．(1，＋∞)

C．(－3，1)   D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

【解析】当a<0时，不等式f(a)<1可化为－7<1，即<8，即<，因为0<<1，所以a>－3，此时－3<a<0；当a≥0时，不等式f(a)<1可化为<1，所以0≤a<1.故a的取值范围是(－3，1)．故选C.

【答案】C

高频考点五   指数函数性质的综合应用

例5.（2020·江西九江一中调研）已知函数f(x)＝.

(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)有最大值3，求a的值；

(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．

【解析】(1)当a＝－1时，f(x)＝，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．

(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝g(x)，

由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，

因此必有

解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.

(3)由指数函数的性质知，要使f(x)的值域为(0，＋∞)，

应使y＝ax2－4x＋3的值域为R，

因此只能a＝0(因为若a≠0，则y＝ax2－4x＋3为二次函数，其值域不可能为R)．

故a的值为0。

【方法技巧】解答指数函数性质的综合应用，首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解。

【变式探究】(2021·北京朝阳区二模)把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1 ℃，空气的温度是θ0 ℃，经过t分钟后物体的温度θ ℃可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数．现有80 ℃的物体，放在20 ℃的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40 ℃，则k约等于(参考数据：ln 3≈1.099)(　　)

A．0.6  B．0.5  C．0.4  D．0.3

【答案】D　

【解析】由题知，80 ℃的物体放在20 ℃的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40 ℃，则40＝20＋(80－20)e－4k.从而e－4k＝.所以－4k＝ln ＝－ln 3，得k＝ln 3≈≈0.3.故选D．