高中数学高考第07讲 指数与指数函数（练）解析版

第07讲  指数与指数函数

【练基础】

1．(2021·河北承德模拟)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　)

【答案】A

【解析】将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．

2．(2021·江西上饶摸底)已知a＝20.4，b＝90.2，c＝()3，则(　　)

A．a＜b＜c  B．a＜c＜b

C．c＜a＜b  D．c＜b＜a

【答案】A

【解析】因为c＝()3＝3＝30.75＞30.4，b＝90.2＝30.4，所以b＜c，又20.4＜30.4，即a＜b，所以a＜b＜c.

3．(2021·湖北省沙市模拟)下列各式比较大小正确的是(　　)

A．1.72.5>1.73   B．0.6－1>0.62

C．0.8－0.1>1.250.2   D．1.70.3<0.93.1

【答案】B

【解析】A中，因为函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，所以1.72.5<1.73.B中，因为y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，所以0.6－1>0.62.C中，因为0.8－1＝1.25，所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．因为y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，所以1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2.D中，因为1.70.3>1，0<0.93.1<1，所以1.70.3>0.93.1.

4．(2021·四川宜宾模拟)若函数f(x)＝2·ax＋m－n(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(－1,4)，则m＋n＝(　　)

A．3  B．1

C．－1  D．－2

【答案】C

【解析】因为函数f(x)＝2·ax＋m－n(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(－1,4)，所以－1＋m＝0，且2·a0－n＝4.解得m＝1，n＝－2，所以m＋n＝－1.

5．(2021·宁波效实中学高三质检)若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是　(　　)

A．(－∞，2]   B．[2，＋∞)

C．[－2，＋∞)   D．(－∞，－2]

【答案】B

【解析】由f(1)＝得a2＝.

又a>0，所以a＝，因此f(x)＝.

因为g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．

6．(2021·湖南省浏阳模拟)函数y＝ax(a＞0且a≠1)与函数y＝(a－1)x2－2x－1在同一个坐标系内的图象可能是(　　)

【答案】C

【解析】两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数过点(0，－1)，故排除A，D；二次函数的对称轴为直线x＝，当0＜a＜1时，指数函数单调递减，＜0，C符合题意；当a＞1时，指数函数单调递增，＞0，B不符合题意，故选C.

7．(2021·广东省深圳模拟)已知函数y＝f(x)与y＝F(x)的图象关于y轴对称，当函数y＝f(x)和y＝F(x)在区间[a，b]同时递增或同时递减时，把区间[a，b]叫作函数y＝f(x)的“不动区间”，若区间[1，2]为函数y＝|2x－t|的“不动区间”，则实数t的取值范围是(　　)

A．(0，2]   B.

C.   D.∪

【答案】C

【解析】因为函数y＝f(x)与y＝F(x)的图象关于y轴对称，

所以F(x)＝f(－x)＝|2－x－t|，

因为区间[1，2]为函数f(x)＝|2x－t|的“不动区间”，

所以函数f(x)＝|2x－t|和函数F(x)＝|2－x－t|在[1，2]上单调性相同，

因为y＝2x－t和函数y＝2－x－t的单调性相反，

所以(2x－t)(2－x－t)≤0在[1，2]上恒成立，

即1－t(2x＋2－x)＋t2≤0在[1，2]上恒成立，

即2－x≤t≤2x在[1，2]上恒成立，

即≤t≤2，故答案为C.

8．(2021·广西百色模拟)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为(　　)

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】当a＜1时，41－a＝21，所以a＝；当a＞1时，4a－1＝2a－(1－a)，无解．故选B.

【练提升】

1．(2021·四川省广元中学模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是(　　)

A．a<0，b<0，c<0     B．a<0，b≥0，c>0

C．2－a<2c             D．2a＋2c<2

【答案】D

【解析】作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，因为a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，结合图象知，0<f(a)<1，a<0，c>0，所以0<2a<1.所以f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，所以f(c)<1，所以0<c<1.所以1<2c<2，所以f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又因为f(a)>f(c)，所以1－2a>2c－1，所以2a＋2c<2，故选D.

2．(2021·山东菏泽联考)函数y＝2x－x2的值域为(　　)

A.  B.

C.  D．(0,2]

【答案】A

【解析】因为2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，所以2x－x2≥1＝.所以函数y＝2x－x2的值域为.

3．(2021·陕西省铜川模拟)已知函数f(x)＝，则此函数图象上关于原点对称的点有(　　)

A．0对   B．1对

C．2对   D．3对

【答案】B

【解析】作出函数y＝f(x)图象如图所示：

再作出－y＝f(－x)，即y＝x2－4x，恰好与函数图象位于y轴左侧部分(对数函数的图象)关于原点对称，记为曲线C，发现y＝与曲线C有且仅有一个交点，

因此满足条件的对称点只有一对，图中的A、B就是符合题意的点．故选B.

4．(2021·湖南株洲模拟)如图，四边形OABC是面积为8的平行四边形，AC⊥CO，AC与BO交于点E，某指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象经过点E，B，则a＝(　　)

A.  B.

C．2  D．3

【答案】A

【解析】设C(0，yC)，因为AC⊥CO，则设A(xA，yC)，于是B(xA，2yC)，E.

因为平行四边形OABC的面积为8，所以yC·xA＝8，因为点E，B在y＝ax的图象上，则axA＝2yC，a＝yC，所以y＝2yC，解得yC＝2或yC＝0(舍去)，则xA＝4，于是a4＝4，因为a>0，所以a＝.

5．(2021·安徽省淮南五中模拟)已知函数f(x)＝e|x|，将函数f(x)的图象向右平移3个单位后，再向上平移2个单位，得到函数g(x)的图象，函数h(x)＝若对于任意的x∈[3，λ](λ>3)，都有h(x)≥g(x)，则实数λ的最大值为________．

【解析】依题意，g(x)＝f(x－3)＋2＝e|x－3|＋2，在同一坐标系中分别作出g(x)，h(x)的图象如图所示，观察可得，要使得h(x)≥g(x)，则有4e6－x＋2≥e(x－3)＋2，故4≥e2x－9，解得2x－9≤ln 4，故x≤ln 2＋，实数λ的最大值为ln 2＋.

【答案】ln 2＋

6．(2021·福建省厦门模拟)已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.

(1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3，0]上的值域；

(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围．

【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1

＝2(2x)2－2x－1，

令t＝2x，x∈[－3，0]，则t∈.

故y＝2t2－t－1＝2－，t∈，

故值域为.

(2)关于x的方程2a(2x)2－2x－1＝0有解，

设2x＝m>0，

等价于方程2am2－m－1＝0在(0，＋∞)上有解，

记g(m)＝2am2－m－1，

当a＝0时，解为m＝－1<0，不成立．

当a<0时，开口向下，对称轴m＝<0，

过点(0，－1)，不成立．

当a>0时，开口向上，对称轴m＝>0，过点(0，－1)，必有一个根为正，综上得a>0.

7．(2021·山东省栖霞模拟)已知a>0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，求实数a的取值范围．

【解析】①当0<a<1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象如图1.

若直线y＝3a与函数y＝|ax－2|(0<a<1)的图象有两个交点，

则由图象可知0<3a<2，所以0<a<.

②当a>1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象如图2.

若直线y＝3a与函数y＝|ax－2|(a>1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a<2，此时无解．

所以实数a的取值范围是.

8．(2021·河北衡水中学模拟)已知函数f(x)＝，x∈[－1，1]，函数g(x)＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值为h(a)．

(1)求h(a)；

(2)是否存在实数m，n同时满足下列条件：

①m>n>3；

②当h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．

【解析】(1)因为x∈[－1，1]，

所以f(x)＝∈，

设t＝∈.

则y＝φ(t)＝t2－2at＋3＝(t－a)2＋3－a2.

当a<时，ymin＝h(a)＝φ＝－；

当≤a≤3时，ymin＝h(a)＝φ(a)＝3－a2；

当a>3时，ymin＝h(a)＝φ(3)＝12－6a.

所以h(a)＝

(2)假设存在m，n满足题意．

因为m>n>3，h(a)＝12－6a在(3，＋∞)上是减函数，

又因为h(a)的定义域为[n，m]，

值域为[n2，m2]，

所以两式相减得6(m－n)＝(m－n)(m＋n)，即m＋n＝6，与m>n>3矛盾，

所以满足题意的m，n不存在．