2023西宁北外附属新华联外国语高级中学高三下学期开学考试数学（文）试题含答案

这是一份2023西宁北外附属新华联外国语高级中学高三下学期开学考试数学（文）试题含答案，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
西宁新华联学校2022-2023学年第二学期高三年级开学考试数学试卷（文）试卷分值：150分  考试时间：120分钟一、选择题（本题共计12小题，每题5分，共计60分）1．设复数z满足，则（    ）A．i B．－i C．1 D．2．集合，，则（    ）A． B． C． D．3．直线：，：，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件  B．必要不充分条件C．充要条件  D．既不充分也不必要条件4．基本分裂数m是一个衡量细菌分裂的参数，简单来说，在1小时内1个细菌平均可以分裂成m个细菌．已知在某种细菌培养过程中，原有细菌26个，经过了3小时后细菌增至105个，那么，参考上述数据，预计再经过（    ）小时细菌就会突破10万个．（    ）A．12 B．15 C．18 D．215．若双曲线的离心率，则m的取值范围为（    ）A． B． C． D．6．设变量x，y满足约束条件，则的最小值为（    ）A．3 B．－3 C．2 D．－27．1904年，瑞典数学家科赫构造了一种曲线，取一个正三角形，在每个边以中间的三分之一部分为一边，向外凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的三分之一部分擦掉，就成了一个很像雪花的六角星，如图所示．现在向圆中均匀散落1000粒豆子，则落在六角星中的豆子数约为（，）（    ）A．331 B．481 C．508 D．5778．将函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，然后将所得图象向左平移个单位长度，可得函数的图象，则a＋b＝（    ）A．2 B．0 C． D．9．已知，，，则（    ）A． B． C． D．10．已知边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E为AB边的中点，将△ABC沿对角线AC翻折，在翻折过程中，记直线AC与DE所成的角为，当平面ABC⊥平面ADC中，（    ）A．3 B． C． D．11．已知抛物线M的顶点在原点，焦点在y轴负半轴上．经过抛物线M的焦点作直线与抛物线M相交于A，B两点．若，线段AB的中点的纵坐标为－5，则抛物线M的标准方程为（    ）A． B． C． D．12．已知函数．若对任意，，且，都有，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．二、填空题（本题共计4小题，每题5分，共计20分）13．已知平面向量，满足，，则______．14．已知关于x，y的一组数据如表：x1m345y0.50.6n1.41.5根据表中数据得到的线性回归方程为，则的值为______．15．若是定义在R上的函数，且的图象关于直线对称，当时，，且，则不等式的解集为______．16．在△ABC中，已知，∠BAC的平分线AD与边BC相交于点D，AD＝2．则AB＋2AC的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程）17．（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，满足．（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前n项和为，求证：为定值．18．（本小题满分12分）2021年3月5日，全国两会政府工作报告中针对延迟退休给出了最新消息，两会上指出十四五期间要逐步延迟法定退休年龄．现对某市工薪阶层关于延迟退休政策的态度进行调查，随机调查了50人，他们月收入的频数分布及对延迟退休政策赞成的人数如表．月收入/百元频数510151055赞成人数123534（1）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点”对延迟退休政策的态度有差异； 月收入不低于55百元的人数月收入低于55百元的人数合计赞成   不赞成   合计   （2）若采用分层抽样从月收入在和的被调查人中选取6人进行跟踪调查，并随机给其中3人发放奖励，求获得奖励的3人中至少有1人月收入在的概率．（参考公式：，其中）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，，，平面APD⊥平面ABCD，E为AP的中点，F为CD的中点．（1）求证：平面PBC；（2）求点C到平面ABP的距离．20．（本小题满分12分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点为椭圆C上一点，过点的直线l与椭圆C交于异于点P的A，B两点，若△PAB的面积是，求直线l的方程．21．（本小题满分12分）已知函数．（1）若，求函数的单调区间；（2）若函数在区间上有两个不同的极值点，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．【选修4－4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，点，求的值．23．【选修4－5：不等式选讲】（10分）已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．参考答案1．C  解法一  因为，所以，即，所以，则，，故选C．解法二  设（x，），由，得，即，由复数相等的充要条件得，解得，所以，则，，故选C．2．B  由题意得，，则，所以．故选B．3．A  若，则，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A．4．B  由，得．设再经过x小时细菌就会突破10万个，若，则细菌数为，不超过10万个，所以A错误．若，则细菌数为，所以B正确，故选B．5．B  因为，所以，又，所以，所以，得，故选B．6．D  解法一  作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线，平移该直线，当直线经过点时，在y轴上的截距最大，则z最小，此时，故选D．解法二  由得，此时；由，得，此时；由，得，此时．所以的最小值为－2，故选D．7．D  设原正三角形的边长为3a，圆的半径为R，则由正弦定理得，即，所以．由题意，凸出来的小正三角形的边长为a，则，则，所以落在六角星中的豆子数约为，故选D．8．C  先将的图象向右平移个单位长度，得的图象，然后将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得的图象，则，，所以，故选C．9．A  ，，，所以．故选A．10．C  如图，平面ABC⊥平面ADC，取BC的中点为G，AC的中点为O，连接EG，OE，OG，OD，GD．易得，所以∠DEG（或其补角）即异面直线AC与DE所成的角．因为DO⊥AC，且平面平面ADC＝AC，平面ADC，所以DO⊥平面ABC，所以DO⊥OE，DO⊥OG．易得，，．在Rt△EDO中，．同理可得．所以在△EDG中，，所以，所以．故选C．11．B  如图，设抛物线的焦点为F，准线为l，分别过点A，B向直线l作垂线，垂足分别为，，依题意，设抛物线M的标准方程为，，，则，因为线段AB的中点的纵坐标为－5，即，所以，所以，抛物线M的标准方程为．故选B．12．A  根据题意，不妨取，则可转化为，即．令，则对任意，，且，都有，所以在上单调递增，即在上恒成立，即在上恒成立．令，，则，，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即实数a的取值范围是，故选A．13．7  ．14．0.44  根据题表中的数据可得，，，代入线性回归方程，得，整理可得．15．  ∵的图象关于直线对称，∴的图象关于直线对称，即，又是定义在R上的函数，∴是偶函数．令，则是奇函数．∵，∴且．，当时，，即，所以在上单调递减，容易画出的变化趋势如图，∴的解集为．16．  设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，因为，AD是∠BAC的平分线，，，所以，即，即，所以，则，当且仅当，即时等号成立，所以AB＋2AC的最小值为．17．解：（1）根据题意可知，当时，，解得，当时，，所以，化简得，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，即．（2）由题意及（1），得，，所以，则，两式相减，得，即，所以，又，所以，为定值．18．解：（1）完成2×2列联表如下： 月收入不低于55百元的人数月收入低于55百元的人数合计赞成71118不赞成32932合计104050则，所以没有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点”对延迟退休政策的态度有差异．（2）按照分层抽样的方法可知，月收入在的抽4人，分别记为a，b，c，d，月收入在的抽2人，分别记为A，B，则从这6人中任取3人的所有情况为{A，B，a}，{A，B，b}，{A，B，c}，{A，B，d}，{A，a，b}，{A，a，c}，{A，a，d}，{A，b，c}，{A，b，d}，{A，c，d}，{B，a，b}，{B，a，c}，{B，a，d}，{B，b，c}，{B，b，d}，{B，c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，共20种，其中至少有1人月收入在的情况有16种，所以获得奖励的3人中至少有1人月收入在的概率为．19．解：（1）如图，取BP的中点为G，连接EG，CG．又E为AP的中点，∴EG为△ABP的中位线，∴且2EG＝AB．∵底面ABCD为正方形，F为CD的中点，∴，2CF＝CD，∴且EG＝CF，∴四边形CFEG为平行四边形，得．∵平面PBC，平面PBC，∴平面PBC．（2）在△APD中，，可得AP⊥PD．∵四边形ABCD是正方形，∴AB⊥AD．又平面APD⊥平面ABCD，平面平面APD＝AD，平面ABCD，∴AB⊥平面APD，又平面APD，∴AB⊥PD，又AB，平面ABP，，∴PD⊥平面ABP，∴点D到平面ABP的距离为．∵，平面ABP，平面ABP，∴平面ABP，∴点C到平面ABP的距离与点D到平面ABP的距离相等，∴点C到平面ABP的距离为．20．解：（1）设椭圆C的半焦距为c，由题意可得，解得，．故椭圆C的标准方程为．（2）因为在椭圆C上，所以，解得．①当直线l的斜率为0时，，则△PAB的面积为．因为△PAB的面积是，所以直线l的斜率为0不符合题意．②当直线l的斜率不为0时（易知直线l的斜率存在），设直线l的方程为，，．联立得，整理得，则，．故．因为点P到直线l的距离，所以．因为△PAB的面积是，所以，整理得，解得，即．故直线l的方程为，即．21．解：（1）若，则，．令，得，所以当时，单调递增；令，得，所以当时，单调递减．综上，的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）由题意可得，，因为在上有两个不同的极值点，所以在上有两个不同的根，所以方程在上有两个不同的根，解法一  即在上有两个不同的根．令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减．又当时，，，，所以，即实数a的取值范围为．解法二  由题意知，，故原问题转化为方程在上有两个不同的根．令，则原问题转化为的图象在上与x轴有两个不同的交点，则，解得，即实数a的取值范围为．22．解：（1）由曲线C的参数方程（为参数），可得（为参数），将两式同时平方并相加，可得曲线C的普通方程为，由直线l的极坐标方程，得，由极坐标与直角坐标的互化公式可得，直线l的直角坐标方程为．（2）易知点P在直线l上，可得直线l的一个参数方程为（t为参数），将其代入椭圆C的方程，得，，设M，N对应的参数分别为，，则，，所以．23．解：（1）当时，，等价于或，解得或，所以不等式的解集为．（2）对任意的，等价于对任意的，，等价于对任意的，，即对任意的，或，从而或，即实数a的取值范围是．