高中数学高考第6章 §6 3　等比数列课件PPT

这是一份高中数学高考第6章 §6 3　等比数列课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，同一个常数，a1qn－1，am·an，探究核心题型，等比数列基本量的运算，或24，等比数列的判定与证明，易知q≠1，等比数列的性质等内容，欢迎下载使用。
1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比都等于 (不为零)，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母q表示，定义的表达式为 (n∈N*，q为非零常数).(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么 叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
2.等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝ .(2)前n项和公式：Sn＝___________________________3.等比数列的性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*).
(2)对任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q＝2k，则 ＝ .(3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外).(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为 .
2.等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，这里c≠0，q≠0.3.等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0).
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)等比数列的公比q是一个常数，它可以是任意实数.(　　)(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　)(3)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝ .(　　)(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.(　　)
设等比数列的公比为q，
2.在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a11＋2a6a8＋a3a13＝25，则a6＋a8＝___.
∵{an}是等比数列，且a1a11＋2a6a8＋a3a13＝25，
又∵an>0，∴a6＋a8＝5.
3.已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为___________.
1,3,9或9,3,1
∴这三个数为1,3,9或9,3,1.
TANJIUHEXINTIXING
例1　(1)(2020·全国Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则 等于A.2n－1 B.2－21－nC.2－2n－1 D.21－n－1
由a5－a3＝a1q4－a1q2＝12a1＝12，得a1＝1.所以an＝a1qn－1＝2n－1，
方法二　设等比数列{an}的公比为q，
将q＝2代入①，解得a3＝4.
设等比数列{an}的公比为q，
1.已知数列{an}为等比数列，a2＝6,6a1＋a3＝30，则a4＝________.
a4＝a1·q3＝2×33＝54或a4＝3×23＝3×8＝24.
2.已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn，若a2a6＝－2a7，S3＝－6，则a6等于A.－2或32 B.－2或64C.2或－32 D.2或－64
∵数列{an}为等比数列，a2a6＝－2a7＝a1a7，解得a1＝－2，设数列的公比为q，S3＝－6＝－2－2q－2q2，解得q＝－2或q＝1，当q＝－2时，则a6＝(－2)6＝64，当q＝1时，则a6＝－2.
(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn
跟踪训练1　(1)(2020·全国Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k等于A.2 B.3 C.4 D.5
a1＝2，am＋n＝aman，令m＝1，则an＋1＝a1an＝2an，∴{an}是以a1＝2为首项，q＝2为公比的等比数列，∴an＝2×2n－1＝2n.又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，
∴2k＋1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4.
(2)(2020·新高考全国Ⅱ)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8.①求{an}的通项公式；
设{an}的公比为q(q>1).
所以{an}的通项公式为an＝2n，n∈N*.
②求a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1anan＋1.
由于(－1)n－1anan＋1＝(－1)n－1×2n×2n＋1＝(－1)n－122n＋1，故a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1anan＋1＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n－1·22n＋1
例2　已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an，设bn＝(1)求b1，b2，b3；
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，
又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.
(3)求{an}的通项公式.
已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
an＋2＝2an＋1＋3an，所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，因为{an}中各项均为正数，
所以数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列.
由题意知an＋an＋1＝(a1＋a2)3n－1＝2×3n－1，因为an＋2＝2an＋1＋3an，所以an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，a2＝3a1，所以a2－3a1＝0，所以an＋1－3an＝0，故an＋1＝3an，所以4an＝2×3n－1，an＝
等比数列的三种常用判定方法
(3)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列.
跟踪训练2　Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.(1)求an及Sn；
(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.
假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列，∵S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，
例3　(1)若等比数列{an}中的a5，a2 019是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则lg3a1＋lg3a2＋lg3a3＋…＋lg3a2 023等于
由题意得a5a2 019＝3，根据等比数列性质知，a1a2 023＝a2a2 022＝…＝a1 011a1 013＝a1 012a1 012＝3，
则lg3a1＋lg3a2＋lg3a3＋…＋lg3a2 023＝lg3(a1a2a3…a2 023)
(2)已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于A.40 B.60 C.32 D.50
数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列，∴S12＝4＋8＋16＋32＝60.
设等比数列{an}的公比为q，易知q≠－1，由等比数列前n项和的性质可知S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，
又由已知得S6＝3S3，∴S9－S6＝4S3，∴S9＝7S3，
2.已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝_____.
(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要.
跟踪训练3　(1)(2022·安康模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝7，则S40等于A.5 B.10 C.15 D.－20
易知等比数列{an}的前n项和Sn满足S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30，…成等比数列.
故S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30，…均大于0.故(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，即(S20－1)2＝1·(7－S20)⇒ －S20－6＝0.因为S20>0，所以S20＝3.又(S30－S20)2＝(S20－S10)(S40－S30)，所以(7－3)2＝(3－1)(S40－7)，故S40＝15.
∵a1a2…a8＝16，∴a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝2，
KESHIJINGLIAN
1.(2022·合肥市第六中学模拟)若等比数列{an}满足a1＋a2＝1，a4＋a5＝8，则a7等于
2.已知等比数列{an}满足a1＝1，a3·a5＝4(a4－1)，则a7的值为A.2 B.4 C. D.6
3.(2022·开封模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn＝32n－1＋r，则r的值为
由等比数列前n项和的性质知，
4.(2022·天津北辰区模拟)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第四天走的路程为A.6里 B.12里C.24里 D.48里
5.(多选)设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是A.数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列B.数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列C.数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列
对于B，当q＝－1时，数列{an＋an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于C，当q＝1时，数列{an－an＋1}的项中有0，不是等比数列；
6.(多选)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)，则有
由题意，数列{an}的前n项和满足an＋1＝2Sn(n∈N*)，当n≥2时，an＝2Sn－1，两式相减，可得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＝2an，
又S1＝a1＝1，适合上式，所以数列{an}的前n项和为Sn＝3n－1，
所以数列{Sn}为首项为1，公比为3的等比数列，综上可得选项ABD是正确的.
7.(2022·嘉兴联考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则a1＝____.
由于S3＝7，S6＝63知公比q≠1，又S6＝S3＋q3S3，得63＝7＋7q3.∴q3＝8，q＝2.
8.已知{an}是等比数列，且a3a5a7a9a11＝243，则a7＝___；若公比q＝ ，则a4＝____.
9.(2022·徐州模拟)已知等差数列{an}的公差为2，其前n项和Sn＝pn2＋2n，n∈N*.(1)求实数p的值及数列{an}的通项公式；
又Sn＝pn2＋2n，n∈N*，所以p＝1，a1－1＝2，即a1＝3，所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.
因为b3＝a1＝3，b4＝a2＋4＝9，所以q＝3，所以bn＝b3·qn－3＝3n－2，
10.(2022·威海模拟)记数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋1.设bn＝an＋1－2an.(1)求证：数列{bn}为等比数列；
由Sn＋1＝4an＋1，得Sn＝4an－1＋1(n≥2，n∈N*)，两式相减得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，所以an＋1－2an＝2(an－2an－1)，
又a1＝1，S2＝4a1＋1，故a2＝4，a2－2a1＝2＝b1≠0，所以数列{bn}为首项与公比均为2的等比数列.
(2)设cn＝|bn－100|，Tn为数列{cn}的前n项和.求T10.
由(1)可得bn＝2·2n－1＝2n，
所以T10＝600－(21＋22＋…＋26)＋27＋28＋29＋210－400
＝200＋2＋28＋29＋210＝1 994.
11.(多选)(2022·滨州模拟)已知Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝a2＝1，an＝an－1＋2an－2(n≥3)，则下列结论正确的是
因为an＝an－1＋2an－2(n≥3)，所以an＋an－1＝2an－1＋2an－2＝2(an－1＋an－2)，又a1＋a2＝2≠0，所以{an＋an＋1}是等比数列，A正确；同理an－2an－1＝an－1＋2an－2－2an－1＝－an－1＋2an－2＝－(an－1－2an－2)，而a2－2a1＝－1，所以{an＋1－2an}是等比数列，B正确；
由A知{an＋an－1}是等比数列，且公比为2，因此数列a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，…仍然是等比数列，公比为4，
12.(多选)(2022·黄冈模拟)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7·a8>1，