考点29 圆的有关概念及性质（精练）

这是一份考点29 圆的有关概念及性质（精练），共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．（2022秋•郯城县校级期末）有下列四种说法：
①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．
其中，错误的说法有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
2．（2022春•潍坊期末）下列说法正确的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦，有4条
B．长度相等的弧是等弧
C．如果⊙A的周长是⊙B周长的4倍，那么⊙A的面积是⊙B面积的8倍
D．已知⊙O的半径为8，A为平面内的一点，且OA＝8，那么点A在⊙O上
3．（2022秋•郧阳区期中）下列结论正确的是（ ）
A．半径相等的两条弧是等弧
B．半圆是弧
C．半径是弦
D．弧是半圆
4．（2021秋•定西期末）小明在半径为5的圆中测量弦AB的长度，下列测量结果中一定是错误的是（ ）
A．4B．5C．10D．11
5．（2022秋•椒江区校级月考）下列图形为圆的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022秋•桃城区校级期末）如图，已知⊙O的直径为26，弦AB＝24，动点P、Q在⊙O上，弦PQ＝10，若点M、N分别是弦AB、PQ的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．7≤MN≤17B．14≤MN≤34C．7＜MN＜17D．6≤MN≤16
7．（2022秋•丰泽区校级期末）如图，⊙O的半径为10，若OP＝8，则经过点P的弦长可能是（ ）
A．10B．6C．19D．22
8．（2023•汉阳区校级一模）如图，CD为⊙O直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1，AB＝6，则CD长为（ ）
A．10B．9C．8D．5
9．（2022秋•中山市期末）点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10，最短弦的长为6，则OP的长为（ ）
A．8B．2C．5D．4
10．（2022秋•惠城区校级期末）如图，已知⊙O的半径为10，弦AB＝12，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（ ）
A．5.5B．6.5C．7.5D．8.5
11．（2022秋•平谷区期末）“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”这是《九章算术》中的一个问题，用现代的语言表述为：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，弦AB＝10寸，则⊙O的半径为多少寸（ ）
A．5B．12C．13D．26
12．（2022秋•桥西区校级月考）高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝8米，净高CD＝8米，则此圆的半径OA＝（ ）
A．5米B．112米C．6米D．132米
13．（2022秋•余庆县期末）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为数学语言：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，直径CD的长是（ ）
A．13寸B．26寸C．28寸D．30寸
14．（2022秋•桃城区校级期末）如图1，点M表示我国古代水车的一个盛水筒．如图2，当水车工作时，盛水筒的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆．若⊙O被水面截得的弦AB长为6m，则在水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度为（ ）
A．4mB．3mC．2mD．1m
15．（2022秋•黄石期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心．5米为半径的圆，旦圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（ ）
A．1米B．2米C．3米D．4米
16．（2022秋•利津县校级期末）下列语句中不正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；
④长度相等的两条弧是等弧．
A．3个B．2个C．1个D．以上都不对
17．（2022秋•天河区校级期末）如图，已知在⊙O中，BC是直径，AB＝DC，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．OA＝OB＝ABB．∠AOB＝∠COD
C．AB=DCD．O到AB、CD的距离相等
18．（2022秋•大名县校级期末）如图，C是AB的中点，弦AB＝8，CD⊥AB，且CD＝2，则AB所在圆的半径为（ ）
A．4B．5C．6D．10
19．（2022秋•天河区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立的是（ ）
A．AC=ADB．BC=BDC．OE＝BED．CE＝DE
20．（2022秋•河西区校级期末）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点H，若∠AOC＝60°，OH＝2，则弦AB的长为（ ）
A．4B．3C．23D．43
21．（2022秋•历下区期末）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若∠ACD＝56°，则∠DAB的度数为（ ）
A．34°B．36°C．46°D．54°
22．（2022秋•南关区校级期末）如图，点A、B、C在⊙O上，点D是AB延长线上一点，若∠CBD＝67°，则∠AOC的度数为（ ）
A．67B．113C．134D．137
23．（2022秋•江津区期末）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，∠P＝26°，点P在圆周上，则∠A等于（ ）
A．26°B．30°C．34°D．38°
24．（2022秋•甘井子区校级期末）如图，A、B、C为⊙O上的三个点，∠C＝30°，则∠AOB的度数为（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
25．（2022秋•河西区校级期末）如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ADC＝65°，则∠ABD的度数为（ ）
A．55°B．45°C．25°D．30°
26．（2022秋•沙坪坝区校级月考）下列条件中能够确定一个圆的是（ ）
A．已知圆心
B．已知半径
C．已知三个点
D．过一个三角形的三个顶点
27．（2021秋•呼伦贝尔期末）下列语句中正确的有（ ）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③三点确定一个圆；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．
A．1个B．2个C．3个D．4个
28．（2021秋•大荔县期末）下列说法：①等弧所对的圆心角相等；②经过三点可以作一个圆；③平分弦的直径垂直于这条弦；④圆的内接平行四边形是矩形．其中正确的有（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
29．（2021秋•凤山县期末）经过不在同一直线上的三个点可以作圆的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．无数
二、填空题
30．（2022秋•新罗区校级期中）如图，⊙O的半径为4cm，∠AOB＝60°，则弦AB的长为 cm．
31．（2022秋•青山湖区期中）过圆O内一点P的最长的弦、最短弦的长度分别是10cm，8cm，则OP＝ cm．
32．如图，OB是⊙O的半径，弦CD⊥OB于点E，若OB＝10，CD＝16，则线段OE的长为 ．
33．（2022秋•宁德期末）如图，⊙O的直径CD＝20cm，弦AB＝16cm，AB⊥CD，垂足为M，则CM的长为 ．
34．（2022秋•丰台区期末）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB＝8，OC＝3，则⊙O半径的长为 ．
35．（2022秋•莲池区校级期末）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边三角形ABC的边长为 ．
36．（2022秋•门头沟区期末）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，那么桥拱所在圆的半径OA＝ 米．
37．（2022秋•和平区校级期末）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为260cm，下雨前水面宽为100cm，一场大雨过后，水面宽为240cm，则水位上升 cm．
38．（2022秋•莱州市期末）把一条长2m的铁丝折成顶角为120°的等腰三角形，那么这个三角形外接圆的半径为 m．
39．（2022秋•河北区校级期末）蔬菜基地圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则高度CD为 m．
40．（2022秋•天河区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，点C是半圆上的一个三等分点，点D是AC的中点，点P是直径AB上一点，若⊙O的半径为2，则PC+PD的最小值是 ．
41．（2022秋•苍溪县期末）如图，正方形ABCD是⊙O的内接四边形，则∠AOD的度数是 ．
42．（2021秋•天河区期末）如图，在⊙O中，AC＝BD，若∠AOC＝120°，则∠BOD＝ ．
43．（2022秋•汉阴县期中）如图，AB为⊙O的直径，AE为⊙O的弦，C为优弧ABE的中点，CD⊥AB，垂足为D．若AE＝8，DB＝2，则⊙O的半径为 ．
44．（2022秋•滑县期中）如图，在⊙O中，点D为弧BC的中点，∠COD＝40°，则∠BAD＝ ．
45．（2022秋•红桥区校级期末）如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是AB的中点，则∠A的大小为 （度）．
46．（2022秋•襄州区期末）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，则CD的长为 ．
47．（2022秋•莱州市期末）如图，平面直角坐标系中，⊙O的半径为52，交x轴正半轴于点B，弦AB＝3，点P为y轴上一点，且PA+PB的值最小，则点P坐标为 ．
三、解答题
48．（2021秋•崆峒区期末）如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC．
（1）求∠AOB的度数．
（2）求∠EOD的度数．
49．（2022秋•邗江区期中）如图，半圆O的直径AB＝8，半径OC⊥AB，D为弧AC上一点，DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分别为E、F，求EF的长．
50．（2022秋•西城区期末）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是AB的中点，连接OC并延长交劣弧AB于点D，连接OB，DB．若AB＝4，CD＝1，求△BOD的面积．
51．（2022秋•莱州市期末）如图，AB是⊙O的直径，点P是AB上一点，且点P是弦CD的中点．
（1）依题意画出弦CD；（尺规作图不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AP＝4，CD＝16，求⊙O的半径．
52．（2022秋•朝阳区期末）圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为1m的圆，如图所示，若水面宽AB＝0.8m，求水的最大深度．
53．（2022秋•槐荫区期末）如图所示的拱桥，用AB表示桥拱．
（1）若AB所在圆的圆心为O，EF是弦CD的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心O．（不写作法，但要保留作图
痕迹）
（2）若拱桥的跨度（弦AB的长）为16m，拱高（AB的中点到弦AB的距离）为4m，求拱桥的半径R．
54．如图，AC，BD为⊙O的弦，且AC＝BD，求证AB与CD是否相等，为什么？
55．如图，已知OA，OB是⊙O的半径，C为AB的中点，M，N分别是OA，OB的中点，求证：MC＝NC．
56．（2022秋•红旗区校级期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作半圆O，分别交BC，AC于点D，E．
（1）求证：BD＝DC．
（2）若∠BAC＝40°，求DE所对的圆心角的度数．
57．（2022秋•烟台期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若CD＝42，OE＝1，求⊙O的半径．
一、选择题
1．【解答】解：①圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；
②直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；
③弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；
④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确．
其中错误说法的是①③两个．
故选：B．
2．【解答】解：A、直径是圆中最长的弦，有无数条，故该选项不符合题意；
B、在同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，故该选项不符合题意；
C、如果⊙A的周长是⊙B周长的4倍，那么⊙A的面积是⊙B面积的16倍，故该选项不符合题意；
D、已知⊙O的半径为8，A为平面内的一点，且OA＝8，那么点A在⊙O上，故该选项符合题意．
故选：D．
3．【解答】解：A、在等圆或同圆中，半径相等的两条弧是等弧，原结论不正确；
B、半圆是弧，原结论正确；
C、半径只有一个端点位于圆上，不是弦，原结论不正确；
D、根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，原结论不正确；
故选：B．
4．【解答】解：∵半径为5的圆，直径为10，
∴在半径为5的圆中测量弦AB的长度，AB的取值范围是：0＜AB≤10，
∴弦AB的长度可以是4，5，10，不可能为11．
故选：D．
5．【解答】解：根据题意得，A图形为圆．
故答案为：A．
6．【解答】解：连接OM、ON、OA、OP，如图所示：
∵⊙O的直径为26，
∴OA＝OP＝13，
∵点M、N分别是弦AB、PQ的中点，AB＝24，PQ＝10，
∴OM⊥AB，ON⊥PQ，AM=12AB＝12，PN=12PQ＝5，
∴OM=132−122=5，ON=132−52=12，
当AB∥PQ时，M、O、N三点共线，
当AB、PQ位于O的同侧时，线段MN的长度最短＝OM﹣ON＝12﹣5＝7，
当AB、PQ位于O的两侧时，线段MN的长度最长＝OM+ON＝12+5＝17，
∴线段MN的长度的取值范围是7≤MN≤17，
故选：A．
7．【解答】解：过点P作弦CE⊥OP，连接OC，
由勾股定理得，CP=OC2−OP2=6，
则CE＝2CP＝12，
∴过点P的最短的弦长为12，
∵⊙O的半径为10，
∴⊙O的直径为20，即过点P的最长的弦长为20，
∴12＜点P的弦长＜20，
故选：C．
8．【解答】解：
设⊙O的半径为R，则OE＝R﹣1，
∵AB⊥CD，AB＝6，
∴AE＝BE＝3，∠AEO＝90°，
在Rt△AEO中，由勾股定理得：AO2＝AE2+OE2，
R2＝（R﹣1）2+32，
解得：R＝5，
即CD＝10，
故选：A．
9．【解答】解：
如图，AB为直径，CD⊥AB于点P，
则AB＝10，CD＝6，
∴OC＝OA＝OB＝5，
∵AB⊥CD，
∴CP＝DP＝3，∠OPD＝90°，
由勾股定理得：OP=OC2−CP2=52−32=4，
故选：D．
10．【解答】解：连接OB，作OH⊥AB于H，
则AH＝BH＝6，
在Rt△OHB中，由勾股定理得，OH=OB2−BH2=102−62=8，
∵M是AB上任意一点，
∴8≤OM≤10，
故选：D．
11．【解答】解：∵弦AB⊥CD于点E，CE＝1，AB＝10，
∴AE＝5，OE＝OA﹣1，
在Rt△OAE中，OA2＝AE2+OE2，
即：OA2＝（OA﹣1）2+52，
解得：OA＝13，
∴直径CD＝2OA＝26寸．
故选：D．
12．【解答】解：设⊙O的半径是r米，
∵CD⊥AB，
∴AD=12AB＝4（米），
∵OA2＝OD2+AD2，
∴r2＝（8﹣r）2+42，
∴r＝5，
∴⊙O的半径OA是5米．
故选：A．
13．【解答】解：连接OA．设圆的半径是x寸，在直角△OAE中，OA＝x寸，OE＝（x﹣1）寸，
∵OA2＝OE2+AE2，
则x2＝（x﹣1）2+25，
解得：x＝13．
则CD＝2×13＝26（寸）．
故选：B．
14．【解答】解：过O点作半径OD⊥AB于E，
∴AE=BE=12AB=3m，
在Rt△AEO中，OE=OA2−AE2=52−32=4m，
∴ED＝OD﹣OE＝5﹣4＝1m．
答：水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度为1m．
故选：D．
15．【解答】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，
∴AE＝BE=12AB=12×8＝4，
在Rt△AEO中，OE=OA2−AE2=52−42=3，
∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．
故选：B．
16．【解答】解：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以①的说法错误；
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以②的说法错误；
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，所以③的说法正确；
能完全重合的两条弧是等弧，所以④的说法错误．
故选：A．
17．【解答】解：∵AB＝DC，
∴弧AB＝弧DC，
∴∠AOB＝∠COD，
∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴O到AB、CD的距离相等，
所以B、C、D选项正确，
故选：A．
18．【解答】解：设AB所在圆的圆心为点O，⊙O的半径为r，连接OD，OA，
∵CD⊥AB，点C是AB中点，
∴O，D，C三点共线，AD＝BD＝4，
∵OA2＝OD2+AD2，
∴r2＝（r﹣2）2+42，
∴r＝5，
故选：B．
19．【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，
∴弧BD＝弧BC，弧AC＝弧AD，CE＝DE，
∴选项A、B、D正确，不符合题意；
OE和BE的大小关系不能证明，故选项C符合题意；
故选：C．
20．【解答】解：∵OC⊥AB于H，
∴AH＝BH，
在Rt△AOH中，∠AOC＝60°，
∵OH＝2，
∴AH=3OH＝23，
∴AB＝2AH＝43
故选：D．
21．【解答】解：连接BC，如图
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DAB＝∠DCB＝90°﹣∠ACD＝90°﹣56°＝34°．
故选：A．
22．【解答】解：作AC所对的圆周角∠APC，如图，
∵∠P+∠ABC＝180°，∠CBD+∠ABC＝180°，
∴∠P＝∠CBD＝67°，
∴∠AOC＝2∠P＝2×67°＝134°．
故选：C．
23．【解答】解：∵半径OC⊥AB于点D，
∴AC=BC，
∴∠AOC＝2∠P＝52°，
∴△AOD是直角三角形，
∴∠A＝90°﹣∠AOC＝38°．
故选：D．
24．【解答】解：∵∠C＝30°，
∴∠AOB＝2∠C＝60°，
故选：D．
25．【解答】解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠C＝∠ABD＝90°﹣∠ADC＝90°﹣65°＝25°．
故选：C．
26．【解答】解：确定一个圆的条件是圆心和半径，过一个三角形的三个顶点即可确定一个圆，
故选：D．
27．【解答】解：①同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；
②平分弦的直径垂直于弦，被平分的弦不能是直径，故此选项错误；
③三点必须不在同一条直线上，故此选项错误；
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，此选项正确；
故正确的有1个，
故选：A．
28．【解答】解：①等弧所对的圆心角相等，正确，符合题意；
②经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故原命题错误，不符合题意；
③平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故原命题错误，不符合题意；
④圆的内接平行四边形是矩形，正确，符合题意，
故选：D．
29．【解答】解：经过不在同一直线上的三点确定一个圆．
故选：A．
二、填空题
30．【解答】解：∵OA＝OB，
而∠AOB＝60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴AB＝OA＝4cm．
故答案为4．
31．【解答】解：如图所示，CD⊥AB于点P．
根据题意，得
AB＝10cm，CD＝6cm．
∵CD⊥AB，
∴CP=12CD＝4cm．
根据勾股定理，得OP=OC2−CP2=3（cm）．
故答案为：3．
32．【解答】解：如图，连接OC．
∵OB⊥CD，OB是半径，
∴CE＝ED=12CD＝8，
∴OE=OC2−EC2=102−82=6．
故答案为：6．
33．【解答】解：连接OA，如图所示：
∵⊙O的直径CD＝20cm，
∴OA＝10cm，
∵弦AB＝16cm，AB⊥CD，
∴AM=12AB=12×16＝8（cm），
在 Rt△AOM中，由勾股定理得：OM=OA2−AM2=102−82=6（cm），
∴CM＝OC﹣OM＝10﹣6＝4（cm）．
故答案为：4cm．
34．【解答】解：连接OA，
∵OC⊥AB，
∴C为AB的中点，
∴AC=12AB=4，
在Rt△AOC中，AC＝4，OC＝3，
∴OA=AC2+OC2=5．
∴⊙O的半径5，
故答案为：5．
35．【解答】解：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，
∴BC＝2BD，
∵⊙O是等边△ABC的外接圆，
∴∠BOC=13×360°＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB=180°−∠BOC2=180°−120°2=30°，
∵⊙O的半径为2，
∴OB＝2，
∴BD＝OB•cs∠OBD＝2×cs30°＝2×32=3，
∴BC＝23．
∴等边△ABC的边长为23．
故答案为：23．
36．【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝BD＝8米，
设BO＝x米，则DO＝（x﹣4）米，
在Rt△OBD中，得：BD2+DO2＝BO2，
即82+（x﹣4）2＝x2，
解得：x＝10，
即桥拱所在圆的半径是10米．
故答案为：10．
37．【解答】解：如图所示：OE⊥CD，OF⊥AB，
由题意AB＝100cm，CD＝240cm，
根据垂径定理，
DE=12CD=120cm，BF=12AB=50cm，
直径为260cm，半径OD＝OB＝130cm，
∴在Rt△OED中，OE2＝OD2﹣DE2＝1302﹣1202＝2500，
∴OE＝50cm，
∴在Rt△OFB中，
OF2＝OB2﹣BF2＝1302﹣502＝14400，
∴OF＝120cm，
①当CD在圆心下方时，
EF＝OF﹣OE＝120﹣50＝70cm，
②当CD在圆心上方时，
EF＝OF+OE＝120+50＝170cm，
故答案为：70或170．
38．【解答】解：如图，设等腰△ABC的外接圆的圆心为O，连接OB、OA，OA交BC于点D，
则OA⊥BC，∠OAB=12∠BAC＝60°，
∴BD＝CD，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB，
∴AD=12OA，
设OA＝AB＝xm，则AD=12xm，
∴BD=AB2−AD2=x2−(12x)2=32x（m），
∴BC＝2BD=3xm，
由题意得：x+x+3x＝2，
解得：x＝4﹣23，
即这个三角形外接圆的半径为（4﹣23）m，
故答案为：（4﹣23）．
39．【解答】解：∵CD垂直平分AB，
∴AD＝8．
∴OD=102−82=6m，
∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4（m）．
故答案为：4．
40．【解答】解：作D关于AB的对称点E，连接CE交AB于点P′，连接OC，OE，
则根据垂径定理得：E在⊙O上，连接EC交AB于P′，则若P在P′时，DP+CP最小，
∵C是半圆上的一个三等分点，
∴∠AOC=13×180°＝60°，
∵D是AC的中点，
∴∠AOE=12∠AOC＝30°，
∴∠COE＝90°，
∴CE=2OC＝22，
即DP+CP＝22，
故答案为22．
41．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB=14×360°＝90°．
故答案为：90°．
42．【解答】解：∵AC＝BD，
∴AC=BD，
∴∠BOD＝∠AOC＝120°，
故答案为：120°．
43．【解答】解：如图，连接CO，延长CO交AE于点T．设⊙O的半径为r．
∵AC=CE，
∴CT⊥AE，
∴AT＝TE=12AE＝4，
∵∠ATO＝∠CDO＝90°，∠AOT＝∠COD，AO＝CO，
∴△AOT≌△COD（AAS），
∴CD＝AT＝4，
在Rt△COD中，OC2＝CD2+OD2，
∴r2＝42+（r﹣2）2，
∴r＝5，
∴⊙O的半径为5．
故答案为：5．
44．【解答】解：∵点D为弧BC的中点，
∴CD=BD，
∴∠BAD=12∠COD，
∵∠COD＝40°，
∴∠BAD＝20°，
故答案为：20°．
45．【解答】解：连接OC，
∵∠AOB＝120°，C是AB的中点，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
故答案为：60
46．【解答】解：∵AB⊥CD，
∴CE＝DE，∠OEC＝90°，
∵∠BOC＝2∠A＝2×22.5°＝45°，
∴△OCE为等腰直角三角形，
∴CE＝OE=22OC＝22，
∴CD＝2CE＝42．
故答案为：42．
47．【解答】解：B点的对称的是C点，连接AC交y轴于P，则PA+PB的值最小，
∵AC2＝BC2﹣AB2，
∴AC2＝52﹣32，
∴AC＝4，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝90°，
∵∠PCB＝∠ACB，∠COP＝∠CAB，
∴△COP∽△CAB，
∴OP：AB＝OC：CA，
∴OP：3=52：4，
∴OP=158，
∴点P的坐标是（0，158）．
故答案为：（0，158）．
三、解答题
48．【解答】解：（1）连OB，如图，
∵AB＝OC，OB＝OC，
∴AB＝BO，
∴∠AOB＝∠1＝∠A＝20°；
（2）∵∠2＝∠A+∠1，
∴∠2＝2∠A，
∵OB＝OE，
∴∠2＝∠E，
∴∠E＝2∠A，
∴∠DOE＝∠A+∠E＝3∠A＝60°．
49．【解答】解：连接OD．
∵OC⊥AB DE⊥OC，DF⊥OA，
∴∠AOC＝∠DEO＝∠DFO＝90°，
∴四边形DEOF是矩形，
∴EF＝OD．
∵OD＝OA
∴EF＝OA＝4．
50．【解答】解：设⊙O的半径是r，
∵点C是AB的中点，OC过圆心O，
∴OC⊥AB，
∵AB＝4，CD＝1，
∴BC=12AB＝2，OC＝OD﹣CD＝r﹣1，
∵OB2＝OC2+BC2，
∴r2＝（r﹣1）2+22，
∴r=52，
∴OD=52，
∴△BOD的面积=12OD•BC=12×52×2=52．
51．【解答】解：（1）画出弦CD，如图．
（2）如图，连接OD，
∵OA⊥CD于点P，AB是⊙O的直径，
∴∠OPD＝90°，PD=12CD，
∵CD＝16，
∴PD＝8．
设⊙O的半径为r，则OD＝r，OP＝OA﹣AP＝r﹣4，
在Rt△ODP中，∠OPD＝90°，
∴OD2＝OP2+PD2，
即r2＝（r﹣4）2+82，
解得r＝10，
即⊙O的半径为10．
52．【解答】解：如图，作OC⊥AB于点C，连接OA，
∴∠ACO＝90°，AC=12AB，
∵AB＝0.8m，
∴AC＝0.4m，
在Rt△ACO中，根据勾股定理，得OC=OA2−AC2=0.3（m），
∴0.3+0.5＝0.8（m），
∴水的最大深度为0.8m．
53．【解答】解：（1）作弦AB的垂直平分线，交于G，交AB于点H，交CD的垂直平分线EF于点O，则点O即为所求作的圆心．（如图1）（2分）
（2）连接OA．（如图2）
由（1）中的作图可知：△AOH为直角三角形，H是AB的中点，GH＝4，
∴AH=12AB＝8．（3分）
∵GH＝4，
∴OH＝R﹣4．
在Rt△AOH中，由勾股定理得，OA2＝AH2+OH2，
∴R2＝82+（R﹣4）2．（4分）
解得：R＝10．（5分）
∴拱桥的半径R为10m．
54．【解答】解：AB与CD相等，
理由如下：
∵AC＝BD，
∴AC=BD，
∴AC−BC=BD−BC，
∴AB=CD，
∴AB＝CD．
55．【解答】证明：连接OC，
∵C为AB的中点，
∴AC=BC，
∴∠MOC＝∠NOC，
∵M，N分别是OA，OB的中点，
∴OM=12OA，ON=12OB，
∵OA＝OB，
∴OM＝ON，
在△MOC和△NOC中，
OM=ON∠MOC=∠NOCOC=OC，
∴△MOC≌△NOC（SAS），
∴MC＝NC．
56．【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB是半⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD；
（2）解：连接OD，OE，
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴∠DAC=12∠BAC＝20°，
∴∠DOE＝2∠DAE＝40°，
∴DE所对的圆心角的度数为40°．
57．【解答】（1）证明：∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠B，
∵AC=AC，
∴∠B＝∠D，
∴∠BCO＝∠D；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，
∴CE=12CD，
∵CD＝42，
∴CE=12×42=22，
在Rt△OCE中，OC2＝CE2+OE2，
∵OE＝1，
∴OC2=(22)2+12，
解得：OC＝3（负数舍去），
∴⊙O的半径为3．