考点24 特殊平行四边形（精练）

这是一份考点24 特殊平行四边形（精练），共51页。

1．（2021秋•崇左期末）如图所示，在菱形ABCD中，DE⊥AB，csA=35，AD＝10cm，则BE的长度是（ ）
A．1cmB．2cmC．4cmD．6cm
2．（2022秋•青羊区校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AO＝3，OB＝6，则菱形ABCD的面积是（ ）
A．9B．18C．36D．72
3．（2022•丰泽区校级模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝AB，将△ABO沿着BD方向平移BO的长度得到△EOD，连接EC，则cs∠CEO的值为（ ）
A．5147B．277C．11421D．1721
4．（2022春•海曙区期末）已知四边形ABCD对角线互相平分，添加以下哪个条件可以使它成为菱形（ ）
A．一组对边相等B．对角线相等
C．对角线垂直D．一个内角为90°
5．（2022•上海模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，平行四边形BCDE的顶点E在边AB上，联结CE、AD．添加一个条件，可以使四边形ADCE成为菱形的是（ ）
A．CE⊥ABB．CD⊥ADC．CD＝CED．AC＝DE
6．（2022春•花都区期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是菱形
D．对角线相等的平行四边形是菱形
7．（2022•秦淮区二模）如图，已知菱形ABCD与菱形AEFG全等，菱形AEFG可以看作是菱形ABCD经过怎样的图形变化得到？下列结论：①经过1次平移和1次旋转；②经过1次平移和1次翻折；③经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点共有3个．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
8．（2022春•江北区期末）如图是一个由5张纸片拼成的菱形ABCD，相邻纸片之间互不重叠也无空隙，其中周围四张小平行四边形纸片都全等，中间一张纸片的面积为S1．连结BE，BG，DE，DG，四边形BEDG的面积为S2，若S2=53S1，则周围小平行四边形的宽与长的比值为（ ）
A．24B．14C．23D．13
9．（2022春•南岗区校级期中）如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，CD＝2OB，E为CD延长线上一点，使得DE＝CD，连结BE，分别交AC、AD于点F、G，连结OG，AE，则下列结论：①∠ABC＝120°；②OG=12AB；③四边形ODEG与四边形OBAG的面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．其中正确的结论个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
10．（2022春•张家港市校级月考）已知：如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF等于（ ）
A．6B．5C．6013D．6012
11．（2022秋•芗城区校级期中）长方形ABCD中，AB＝12，AD＝17，E，F分别在边BC，CD上，BE＝5，DF＝7，则∠AEB+∠AFD等于（ ）
A．105°B．120°C．90°D．135°
12．（2022秋•崂山区期中）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝120°，CE∥BD，DE∥AC，若AD＝2，则四边形CODE的周长为（ ）
A．4B．8C．10D．12
13．（2022春•孟村县期末）已知在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，添加下列条件后，能够得到四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．OA＝OCB．OB＝OD
C．AB∥CDD．AB2+BC2＝AC2
14．（2022春•临海市期末）下列测量方案能判定四边形台面为矩形的是（ ）
A．测量得出对角线相等
B．测量得出对角线互相平分
C．测量得出两组对边分别相等
D．测量得出对角线交点到四个顶点的距离相等
15．（2022春•内江期末）如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值是（ ）
A．125B．3C．245D．52
16．（2022•南京模拟）下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形的对角互补
B．有一组邻边相等的四边形为菱形
C．矩形的对角线相等且互相垂直
D．四个内角相等的四边形为矩形
17．（2022春•江夏区校级月考）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝9，BC＝12，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（ ）
A．3B．3.6C．3.75D．4
18．（2022•砀山县模拟）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC的延长线上，连接DE，F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若CE＝2，OF＝3，则点D到CF的距离为（ ）
A．235B．435C．255D．455
19．（2021秋•松山区期末）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE＝AF，AC与EF相交于点G．下列结论：①AC垂直平分EF；②BE+DF＝EF；③当∠DAF＝15°时，△AEF为等边三角形；④当∠EAF＝60°时，∠AEB＝∠AFD．其中正确的结论是（ ）
A．①③B．②④C．①③④D．②③④
20．（2022春•秦淮区期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，连结AP、EF，以下结论中：①AP＝EF；②AP⊥EF；③EF的最小值为2．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
21．（2022春•宾阳县期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AC＝BD时，它是正方形
D．当∠ABC＝90°时，它是矩形
22．（2022春•武安市期末）下列判定错误的是（ ）
A．平行四边形的对边相等
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线相等的菱形是正方形
23．（2022春•港北区期末）下列判断错误的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．四条边都相等的四边形是菱形
24．（2022•鼓楼区校级开学）如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，AE＝BF＝CM＝DN，则四边形EFMN的形状是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
25．（2022春•襄州区期末）如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则下列判断：
①四边形AEDF一定是平行四边形；
②若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是正方形；
③若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形；
④若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形．
正确的是（ ）
A．①②③④B．①④C．①③④D．①②④
26．（2022春•丹江口市期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，边AB＝BC＝6，点E在AB边上，∠DCE＝45°，DE＝5，则BE长为（ ）
A．2B．3C．4D．2或3
27．（2022春•武进区期中）顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是正方形，则四边形ABCD一定满足（ ）
A．对角线相等B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直D．对角线相等且相互垂直
28．（2022秋•中原区校级月考）若顺次连接某四边形的四边中点得到一个矩形，则原四边形一定是（ ）
A．任意四边形
B．对角线相等的四边形
C．平行四边形
D．对角线互相垂直的四边形
29．（2022春•黄山期末）下列说法中，正确的有（ ）
（1）对角线相等且互相垂直的四边形是菱形；
（2）有一个内角是60°的平行四边形是菱形；
（3）对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形；
（4）邻边相等的平行四边形是正方形；
（5）顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题
30．（2022春•太仓市期末）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝4，动点E，F分别在线段AB，AD上，且BE＝AF．则EF长度的最小值等于 ．
31．（2022春•同安区期中）如图，在Rt△ABF中，∠BAF＝90°，∠B＝30°，将Rt△ABF沿着BE方向平移到Rt△DEC的位置，此时点E恰为边BF的中点，若AE＝2，则四边形AEFD的面积为 ．
32．（2022春•惠民县期末）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形，转动其中一张纸条，则下列相等关系：
①AD＝AB；
②AD＝BC；
③∠DAC＝∠ACD；
④AO＝BO，
其中一定成立的是 .（只填序号）
33．（2022秋•工业园区校级月考）如图：两张宽度都为5cm的纸条交叉重叠在一起，两张纸条交叉的夹角为α（见图中的标注），则重叠（阴影）部分的面积表示为 ．
34．（2022•商城县三模）如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝4：5，点P是直线BC上一动点，作点D关于AP的对称点D'，当点D'落在直线PC上时，tan∠APB的值是 ．
35．（2022•椒江区二模）如图，BD是矩形ABCD的对角线，CE⊥BD于点E，连接AE，已知tan∠ABD＝2，则tan∠AEB＝ ．
36．（2022春•成都期末）如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交∠ABM和∠ABN的平分线于点C，D，连接AC，AD．添加一个适当的条件：当 时，四边形ACBD为矩形．
37．（2022•雁塔区校级模拟）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A作AF⊥DE于F，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG．若DE＝6，AF＝4，则△ABC的面积是 ．
38．（2022春•武安市期末）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点P是AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，连接EF．
（1）四边形PECF的形状是 ；
（2）线段EF的最小值为 ．
39．（2022春•长丰县期末）如图，正方形ABCD中，对角线AC＝10，M是AB上任意一点，由M点作ME⊥OA，MF⊥OB，垂足分别为E、F点，则ME+MF的值为 ．
40．（2022春•郯城县期末）如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：
①AG＝AD；
②AG⊥GH；
③∠DAG＝60°；
④∠AGE＝∠BCE．
其中正确的有 ．
41．（2020春•会同县期末）已知如图：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，请添加一条件，使菱形为正方形，这个条件是 ．
42．（2022春•溆浦县期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥AD，AB＝10，AD＝6，O为BD的中点，E为边AB上一点，直线EO交CD于点F，连结DE、BF．下列说法：
①四边形DEBF为平行四边形
②若AE＝3.6，则四边形DEBF为矩形
③若AE＝5，则四边形DEBF为菱形
④若AE＝4.8，则四边形DEBF为正方形
正确的有： （填序号）．
43．（2022•息烽县二模）在一次综合实践活动课上，小明探究“有一个角为45°的三角形的面积”问题．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，小明过点A作AD⊥BC，垂足为D，若BD＝3，CD＝2，则△ABC的面积为 ．
44．（2022•南召县模拟）如图，在四边形CDEF中，∠C＝∠D＝90°，CF+DE＝CD＝4，G为DE的中点，点H在EF上，且EH=14EF，连接GH，则GH的长为 ．
45．（2022春•徐州期中）若顺次连接一个四边形各边中点得到的图形为矩形，则原四边形可能是 ．
46．（2022春•石阡县期中）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝8，CD＝6，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是 ．
三．解答题
47．（2022•青海）如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点（不与点A，C重合），连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE．
（1）求证：△DCE≌△BCE；
（2）求证：∠AFD＝∠EBC．
48．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，连接BD，过点B作BE∥AC，且BE＝BD，连接CE．求证：四边形BECD为菱形．
49．（2022•吉林一模）如图，在△ABC中，作AC边的垂直平分线分别交AC，BC于点D和点E，过点A作AF∥BC交ED延长线于点F，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°．
①四边形AECF是 形；
②若CF＝2，则AB＝ ．
50．（2022秋•市北区校级月考）如图所示，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，∠1＝∠2，OB＝6厘米．
（1）求∠BOC的度数；
（2）求矩形ABCD的面积．
51．（2022春•丹阳市期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AB的中点，连接CE并延长CE交DA的延长线于点F，连接AC，BF．
（1）求证：四边形AFBC是平行四边形；
（2）若∠D＝50°，则当∠AEC的度数为 °时，四边形AFBC是矩形．
52．（2022春•东莞市期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE=12AC，连接CE、OE，OE交DC于点F．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若AD＝6，求OF的长．
53．（2022春•花都区期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD的点．若AB＝4，BE＝2，CF＝1．
（1）请求出AF的长；
（2）求证：∠AEF＝90°．
54．（2021秋•永丰县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD．
（2）当D为AB中点时，证明：四边形BECD是菱形．
（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？说明你的理由．
55．（2022秋•薛城区校级月考）如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
（1）判断四边形EFGH的形状．并说明理由．
（2）当四边形ABCD的对角线添加条件 时，四边形EFGH是矩形．
（3）在（2）的条件下，说明四边形EFGH是矩形．
一．选择题
1．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝10cm，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
∴csA=35=AEAD，
∴AE=35AD=35×10＝6（cm），
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4（cm），
故选：C．
2．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AO＝3，OB＝6，
∴AC＝2AO＝6，BD＝2OB＝12，
∴S菱形ABCD=12AC•BD=12×6×12＝36，
故选：C．
3．【解答】解：如图，连接AE，过点E作EG⊥CD交CD延长线于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，AC⊥BD，
∵AC＝AB，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC和△ADC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ADC＝60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠BDC＝30°，
设OA＝1，
则AC＝AB＝CD＝2，
∴OB＝OD=3，
由平移可知：∠ODE＝∠BOA＝90°，AE＝OD=3，
∴CE=AE2+AC2=7，
∵∠BDC＝30°，∠ODE＝90°，
∴∠EDG＝60°，
∵ED＝AO＝1，
∴DG=12ED=12，
∴CG＝CD+DG=52，
∴cs∠ECG=CGCE=527=5714，
∵AB∥CD∥OE，
∴∠CEO＝∠ECG，
∴cs∠CEO＝cs∠ECG=5714，
故选：A．
4．【解答】解：∵四边形ABCD对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故A不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C符合题意；
D、一个内角为90°的平行四边形是矩形，故D不符合题意；
故选：C．
5．【解答】解：添加CD＝CE，可以使四边形ADCE成为菱形，理由如下：
如图，设AC于ED交于点O，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴DE∥BC，BE∥CD，
∴∠AOE＝∠ACB＝90°，
∴AC⊥DE，
∵CD＝CE，
∴OD＝OE，
∵AB∥CD，
∴∠EAO＝∠DCO，
在△AOE和△COD中，
∠EAO=∠DCO∠AOE=∠CODOE=OD，
∴△AOE≌△COD（AAS），
∴OA＝OC，
∵OD＝OE，
四边形ADCE是平行四边形，
∵CE＝CD，
∴四边形ADCE是菱形．
因为添加其他条件，都不可以使四边形ADCE成为菱形．
故选：C．
6．【解答】解：A、四边相等的四边形是菱形，故该选项符合题意；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故该选项不符合题意；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故该选项不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意；
故选：A．
7．【解答】解：①如图1，先将菱形ABCD向右平移，再绕着点E顺时针旋转得到菱形AEFG，故①正确；
②如图2，将菱形ABCD先平移，再沿直线l翻折可得菱形AEFG，故②正确；
③如图3，经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点有A和G，共有2个，故③不正确；
故选：A．
8．【解答】解：如图，过点D作DP⊥BC，交BC的延长线于P，交MG的延长线于Q，
设小平行四边形的宽是x，长是x，DQ＝h，PQ＝h1，
∵周围四张小平行四边形纸片都全等，
∵EH＝GH＝FG＝EF＝y﹣x，
∴四边形EFGH是菱形，
∵S2=53S1，
∴S2S1=53，即(x+y)(ℎ+ℎ1)−2yℎ1−2xℎ1(y−x)(ℎ−ℎ1)=53，
∴(x+y)(ℎ−ℎ1)(y−x)(ℎ−ℎ1)=53，
∴xy=14．
故选：B．
9．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD＝AB，AB∥CD，OB＝OD，
∵CD＝2OB，
∴AC＝DC＝AD，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠BCD＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠ABC＝120°，故①正确；
∵AB∥CD，
∴∠BAG＝∠EDG，
∵AB＝CD，CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
∠BAG=∠EDG∠AGB=∠DGEAB=DE，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，BG＝GE，
∵BO＝DO，AB∥DE，
∴OG∥AB∥DE，OG=12AB，OG到AB之间的距离＝OG到DE之间的距离（设距离为h），
∵四边形ODEG的面积S=12（DE+OG）h，四边形OBAG的面积S′=12（AB+OG）h，AB＝DE，
∴四边形ODEG与四边形OBAG的面积相等，故②正确，③正确；
∵AG＝DG，BG＝GE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵DE＝CD＝BD，
∴四边形ABDE是菱形，故④正确；
即正确的个数是4，
故选：A．
10．【解答】解：连接PO，
∵矩形ABCD的两边AB＝5，BC＝12，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝60，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC=AB2+BC2=52+122=13，
∴S△AOD=14S矩形ABCD＝15，OA＝OD=12AC=132，
∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP=12OA•PE+12OD•PF=12OA（PE+PF）=12×132×（PE+PF）＝15，
∴PE+PF=6013，
故选：C．
11．【解答】解：如图，连接EF，
在长方形ABCD中，DC＝AB＝12，BC＝AD＝17，
∵BE＝5，DF＝7，
∴CE＝12，CF＝5，
∴AB＝EC，BE＝CF，
∵∠B＝∠C＝90°，
在△ABE和△ECF中，
AB=EC∠B=∠C=90°BE=CE，
∴△ABE≌△ECF（SAS），
∴∠EAB＝∠CEF，AE＝FE，∠AEB＝∠EFC，
∵∠EAB+∠AEB＝90°，
∴∠CEF+∠AEB＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AFE＝45°，
∴∠AEB+∠AFD＝∠EFC+∠AFD＝180°﹣45°＝135°．
故选：D．
12．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC，DO＝BO，AO＝CO，
∴OD＝OA，
∵∠AOB＝120°，
∴∠DOA＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴DO＝AO＝AD＝OC＝2，
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC＝4×2＝8，
故选：B．
13．【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，故选项A不符合题意；
B、四边形ABCD是平行四边形，添加条件OB＝OD后，
不能判定四边形ABCD是矩形，故选项B不合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，故选项C不符合题意；
D、∵AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，故选项D符合题意．
故选：D．
14．【解答】解：A、∵对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，
∴对角线相等的四边形不是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，故选项B不符合题意；
C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵对角线交点到四个顶点的距离都相等，
∴对角线互相平分且相等，
∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
15．【解答】解：如图，连接CM，
∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，
∴∠CPM＝∠CQM＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，∠BCD＝90°，
∴四边形PCQM是矩形，
∴PQ＝CM，
由勾股定理得：BD=BC2+CD2=32+42=5，
当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，
此时，S△BCD=12BD•CM=12BC•CD，
∴CM=BC⋅CDBD=3×45=125，
∴PQ的最小值为125，
故选：A．
16．【解答】解：A．∵平行四边形的对角相等，
∴选项A不符合题意；
B．∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴选项B不符合题意；
C．∵矩形的对角线相等且互相平分，
∴选项C不符合题意；
D．∵四个内角相等的四边形为矩形，
∴选项D符合题意．
故选：D．
17．【解答】解：连接BP，如图所示：
∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，
∴四边形BMPN是矩形，AC=AB2+BC2=92+122=15，
∴BP＝MN，BP与MN互相平分，
∵点O是MN的中点，
∴BO=12MN，
当BP⊥AC时，BP最小=AB×BCAC=9×1215=7.2，
∴MN＝7.2，
∴BO=12MN＝3.6，
故选：B．
18．【解答】解：如图过D作DH⊥CF的延长线于H，
∵正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，F是DE的中点，
∴OF是△DBE的中位线，
∴G为CD的中点，
∵CE＝2，
∴GF＝1，
而OF＝3，
∴OG＝2，
∴AD＝CD＝2DG＝2OG＝4，
在△CDE中，DE=DC2+CE2=25，
∴CF=5，
又S△DCF=12CD×GF=12CF×DH，
∴DH=455，
∴点D到CF的距离为455．
故选：D．
19．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D＝90°，∠ACD＝∠ACB＝45°，
∵AB＝AD，AE＝AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
∴CE＝CF，
又∵∠ACD＝∠ACB＝45°，
∴AC垂直平分EF，故①正确；
∵CE＝CF，∠BCD＝90°，AC垂直平分EF，
∴EG＝GF，
∵BE＝DF，
∵EB⊥AB，EG⊥AC，
∴当AE平分∠BAC时，BE＝EG，即BE+DF＝EF，而题干中没有此条件，故②错误；
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠DAF＝∠BAE＝15°，
∴∠EAF＝60°，
又∵AE＝AF，
∴△AEF是等边三角形，故③正确；
∵Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠AEB＝∠AFD，故④正确；
故选：C．
20．【解答】解：①连接PC，EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝∠CDP，
在△ADP和△CDP中，
AD=CD∠ADP=∠CDPDP=DP，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴AP＝PC，
∴AP＝EF；
故①正确；
②延长FP与AB交于点M，延长AP与EF交于点H，
∵BD平分∠ABC，PM⊥AB，PE⊥BC，
∴PM＝PE，
∵AP＝EF，∠AMP＝∠EPF＝90°，
∴△AMP≌△FPE（HL），
∴∠BAP＝∠PFE，
∵∠AMP＝90°，
∴∠BAP+∠APM＝90°，
∵∠APM＝∠HPF，
∴∠PFH+∠HPF＝90°，
∴AP⊥EF，
故②正确；
③由EF＝PC＝AP，
∴当AP最小时，EF最小，
则当AP⊥BD时，即AP=12BD＝22时，EF的最小值等于22；
故③不正确；
综上，①②正确．
故选：A．
21．【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
故选：C．
22．【解答】解：A．平行四边形的对边相等，正确，故不符合题意；
B．对角线相等的四边形是矩形，错误，故符合题意；
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，故不符合题意；
D．对角线相等的菱形是正方形，正确，故不符合题意；
故选：B．
23．【解答】解：A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故A正确，不符合题意；
B．四个内角都相等的四边形是矩形，故B正确，不符合题意；
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故C错误，符合题意；
D．四条边都相等的四边形是菱形，故D正确，不符合题意；
故选：C．
24．【解答】解：四边形EFMN是正方形．
证明：∵AE＝BF＝CM＝DN，
∴AN＝DM＝CF＝BE．
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△ANE≌△DMN≌△CFM≌△BEF（SAS）．
∴EF＝EN＝NM＝MF，∠ENA＝∠DMN．
∴四边形EFMN是菱形．
∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°，
∴∠ENA+∠DNM＝90°．
∴∠ENM＝90°．
∴四边形EFMN是正方形．
故选：D．
25．【解答】解：①∵D是BC的中点，E是AB的中点，
∴DE∥AC．
∵D是BC的中点，F是AC的中点，
∴DF∥AB．
∴四边形AEDF是平行四边形．
∴①正确；
②如图，
由①知：AE∥DF，
∴∠EAD＝∠ADF．
若AD平分∠BAC，
则∠EAD＝∠FAD．
∴∠FAD＝∠ADF，
∴AF＝FD，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形．
∴②不正确；
③如图，
若AD⊥BC，
∵D是BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC．
∵AD⊥BC，E是AB的中点，
∴DE=12AB．
同理：DF=12AC，
∴DE＝DF．
由①知：四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形．
∴③正确；
④若∠A＝90°，如图，
由①知：四边形AEDF是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∴④正确；
综上可得，正确的结论有：①③④，
故选：C．
26．【解答】解：如图：过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G，
∵AB＝BC＝6，
∴四边形ABCG是正方形，
∴∠BCG＝90°，BC＝CG，
∵∠DCE＝45°，
∴∠DCG+∠BCE＝45°，
延长AB到BH使BH＝DG，
在△CDG与△CHB中，
BC=CG∠G=∠CBHDG=BH，
∴△CDG≌△CHB（SAS），
∴CH＝CD，∠BCH＝∠GCD，
∴∠DCE＝∠HCE，
在△CEH和△CED中，
CH=CD∠HCE=∠DCECE=CE，
∴△CEH≌△CED（SAS），
∴DE＝EH＝BE+DG，
设BE＝x，则BH＝DG＝5﹣x，AE＝AB﹣BE＝6﹣x，
∴AD＝AG﹣DG＝6﹣（5﹣x）＝1+x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2＝DE2，
∴（1+x）2+（6﹣x）2＝52，
解得x＝2或3．
∴BE＝2或3．
故选：D．
27．【解答】解：如右图所示，四边形ABCD的各边中点分别是I、E、F、G，且四边形EFGI是正方形，
∵四边形EFGI是正方形，
∴∠IGF＝90°，IE＝EF＝FG＝IG，
又∵G、F是AD、CD中点，
∴GF是△ACD的中位线，
∴GF∥AC，GF=12AC，
同理有IG∥BD，IG=12BD，
∴12AC=12BD，
即AC＝BD，
∵GF∥AC，∠IGF＝90°，
∴∠IHO＝90°，
又∵IG∥BD，
∴∠BOC＝90°，
即AC⊥BD，
故四边形ABCD的对角线互相垂直且相等．
故选：D．
28．【解答】解：∵顺次连接任意四边形的四边中点得到一个平行四边形，
∴A选项不符合题意；
∵顺次连接对角线相等的四边形的四边中点得到一个菱形，
∴B选项的结论不符合题意；
∵顺次连接一个平行四边形的四边中点得到一个平行四边形，
∴C选项的结论不符合题意；
∵顺次连接对角线互相垂直的四边形的四边中点得到一个矩形，
∴D选项的结论正确，
故选：D．
29．【解答】解：（1）反例：；
（2）反例：
（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
对角线相等且垂直的平行四边形既是菱形又是矩形，极为正方形；
故（3）是正确的；
（4）反例：；
（5）根据中位线的性质知：顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形．
而菱形的对角线是互相垂直，故顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形；
故选：B．
二．填空题
30．【解答】解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝4，AD∥BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠CAF＝∠ACB＝60°，
∴∠B＝∠CAF，
在△BCE和△ACF中，
BE=AF∠B=∠CAFBC=AC，
∴△BCE≌△ACF（SAS），
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∴∠ACF+∠ACE＝∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF＝CE，
∴当CE最小时，EF也最小，
当CE⊥AB时，CE最小，
此时∠BCE＝90°﹣∠B＝30°，
∴BE=12BC＝2，
∴CE=BC2−BE2=42−22=23，
∴EF的最小值为23，
故答案为：23．
31．【解答】解：由平移得：
AD∥BE，AD＝BE，
∵点E为边BF的中点，
∴BE＝EF，
∴AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵∠BAF＝90°，
∴AE＝EF=12BF，
∴四边形AEFD是菱形，
∴四边形AEFD的面积＝2△AEF的面积，
∵AE＝2，
∴BF＝2AE＝4，
∵∠B＝30°，
∴AF=12BF＝2，AB=3AF＝23，
∴△ABF的面积=12AB•AF=12×23×2＝23，
∵△ABF的面积＝2△AEF的面积，
∴四边形AEFD的面积＝△ABF的面积＝23；
故答案为：23．
32．【解答】解：由题意可知：AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，
故答案为：②．
33．【解答】解：如图，过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，AE＝AF＝5cm，
∵AD∥CB，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝α，BC•AE＝CD•AF，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵AEAB=sinα，
∴BC＝AB=AEsinα=5sinα，
∴重叠部分（图中阴影部分）的面积＝BC•AE=5sinα×5=25sinα，
故答案为：25sinα．
34．【解答】解：连接DD′，DD′与AP的交点记为点O，CD与AP的交点记为点E，
设AB＝4x，BC＝5x，由对称可得AD＝AD′＝5，
∴BD=AD'2−AB2=3x，
∴CD′＝5x﹣3x＝2x，
∴DD′=CD'2+CD2=25x，
由对称可得，DO＝OD′＝25x，∠AOD＝90°，
∵∠ODE＝∠CDD′，∠DOE＝∠DCD′，
∴△DOE∽△DCD′，
∴DOCD=DEDD'，
∴5x4x=DE25x，
∴DE=52x，
∴tan∠EAD=DEAD=12，
∵AD∥BP，
∴∠APB＝∠EAD，
∴tan∠APB＝tan∠EAD=12，
如图：
∴AD′＝AD＝5，
∴BD′＝3，
∴∠APD′＝∠DAP＝∠D′AP，
∴PD′＝AD′＝5，
∴BP＝PD′﹣BD′＝2，
∴tan∠APB=ABBP=2，
故答案为：12或2．
35．【解答】解：过点A作AF⊥BD于F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CDE，
∵CE⊥BD，
∴∠AFB＝∠CED＝90°，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴AF＝CE，BF＝DE，
∵tan∠ABD＝2，
∴ADAB=AFBF=2，
∴AD＝2AB，AF＝2BF，
∴BD=AD2+AB2=5AB，AB=AF2+BF2=5BF，
∴BF=55AB，
∴EF＝BD﹣2BF=5AB−255AB=355AB，
∴tan∠AEB=AFEF=255AB355AB=23，
故答案为：23．
36．【解答】解：添加条件为：O是AB的中点，理由如下：
∵CD∥MN，
∴∠OCB＝∠CBM，
∵BC平分∠ABM，
∴∠OBC＝∠CBM，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴OC＝OB，
同理可证：OB＝OD，
∴OB＝OC＝OD，
∵O是AB的中点，
∴OA＝OB，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∵CD＝OC+OD，AB＝OA+OB，
∴AB＝CD，
∴平行四边形ACBD是矩形，
故答案为：O是AB的中点．
37．【解答】解：由题意，BG＝CH＝AF＝4，DG＝DF，EF＝EH，
∴DG+EH＝DE＝6，
∴BC＝GH＝6+6＝12，
∴△ABC的边BC上的高为8，
∴S△ABC=12×12×8＝48，
故答案为：48．
38．【解答】解：（1）∵PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，
∴∠PEC＝∠PFC＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴四边形PECF是矩形，
故答案为：矩形；
（2）如图，连接CP，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，
∴AB=AC2+BC2=42+42=42，
由（1）得：四边形PECF是矩形，
∴EF＝CP，
由垂线段最短可得：当CP⊥AB时，线段CP的值最小，
∵AC＝BC，CP⊥AB，
∴AP＝BP，
∵∠ACB＝90°，
∴CP=12AB＝22，
∴线段EF的最小值为22，
故答案为：22．
39．【解答】解：已知正方形ABCD中，对角线AC＝10，M是AB上任意一点，由M点作ME⊥OA，MF⊥OB，
∴∠MEO＝∠EOF＝∠OFM＝90°，
∴四边形EMFO为矩形，
∴MF＝OE，
∵∠BAC＝45°，
∴△AEM是等腰直角三角形，
∴AE＝EM，
∴ME+MF＝AE+OE＝AO，
又正方形ABCD中，对角线AC＝10，
∴ME+MF＝AO=12AC=12×10＝5．
故答案为：5．
40．【解答】解：如图，延长DA，CE交于点P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，
∴BE＝AE＝BF＝CF＝CH＝DH，
在△BEC和△CFD中，
BE=CF∠ABC=∠BCDBC=CD，
∴△BEC≌△CFD（SAS），
∴∠BCE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠DFC＝90°，
∴∠BCE+∠CFD＝90°，
∴∠CGF＝90°＝∠DGE，
∵AD∥BC，
∴∠P＝∠BCE，
在△AEP和△BEC中，
∠P=∠BCE∠AEP=∠CEBAE=BE，
∴△AEP≌△BCE（AAS），
∴AP＝BC，
∴AP＝AD，
又∵∠DGE＝90°，
∴AG＝AP＝AD，故①正确；
∴∠AGD＝∠ADG，
∵CH＝DH，∠DGC＝90°，
∴GH＝DH＝CH，
∴∠HDG＝∠HGD，
∵∠ADG+∠HDG＝∠ADC＝90°，
∴∠AGD+∠DGH＝90°，
∴∠AGH＝90°，
∴AG⊥GH，故②正确；
∵AG＝AP＝AD，
∴∠P＝∠AGE，
∴∠AGE＝∠BCE，故④正确；
∵CD＝2CF，
∴DF≠2DF，
∴∠CDF≠30°，
∴∠ADG≠60°，
∴∠DAG≠60°，故③错误，
故答案为：①②④．
41．【解答】解：添加∠ABC＝90°．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：∠ABC＝90°（答案不唯一）．
42．【解答】解：∵O为BD的中点，
∴OB＝OD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CDO＝∠EBO，∠DFO＝∠OEB，
∴△FDO≌△EBO（AAS），
∴OE＝OF，
∴四边形DEBF为平行四边形，
故①正确；
若AE＝3.6，AD＝6，
∴AEAD=3.66=35，
又∵ADAB=610=35，
∴AEAD=ADAB，
∵∠DAE＝∠BAD，
∴△DAE∽△BAD，
∴∠AED＝∠ADB＝90°．
∴四边形DEBF为矩形．
故②正确；
∵AB＝10，AE＝5，
∴BE＝5，
又∵∠ADB＝90°，
∴DE=12AB＝5，
∴DE＝BE，
∴四边形DEBF为菱形．
故③正确；
∵AE＝3.6时，四边形DEBF为矩形，AE＝5时，四边形DEBF为菱形，
∴AE＝4.8时，四边形DEBF不可能是正方形．
故④错误．
故答案为：①②③．
43．【解答】解：如图，将△ABD绕着点A逆时针旋转90°得△AFQ，延长FQ、BC交于点E，连接CQ，
由旋转可得△ABD≌△AQF，
∴AB＝AQ，∠BAD＝∠FAQ，BD＝QF＝3，∠F＝∠ADC＝∠DAF＝90°＝∠E，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BAD+∠DAC＝45°，
∴∠DAC+∠FAQ＝45°，
∠DAF＝90°，
∴∠CAQ＝45°，
∴∠BAC＝∠CAQ，
在Rt△BAC和Rt△QAC中，
AB=AQ∠BAC=∠QACAC=AC，
∴△BAC≌△QAC（SAS），
∴BC＝CQ＝BD+CD＝5，
设AD＝x，
则QE＝x﹣3，CE＝x﹣2，
在Rt△CQE中，CE2+QE2＝CQ2，
∴（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52，
解得x1＝6，x2＝﹣1（舍去），
∴AD＝6，
∴△ABC的面积=12×BC•AD＝15，
故答案为：15．
44．【解答】解：如图，延长DE至点A，使得EA＝CF，延长CF至点B，使得BF＝DE，连接AB．
∵CF+DE＝CD，
∴AD＝BC＝CD．
∵∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD为正方形．
连接AC交EF于点O，
∵∠EAO＝∠FCO＝45°，
∵∠AOE＝∠COF，EA＝FC，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AO＝CO，EO＝FO，
∴O为AC和EF的中点，
连接OD，则H为EO的中点，G为DE的中点，
∴GH为△EOD的中位线，
∴GH=12OD，OD=12AC，AC=2CD=42，
∴OD＝22，
∴GH=12OD=2．
故答案为：2．
45．【解答】解：AC⊥BD，E，F，G，H是AB，BC，CD，DA的中点，
∵EH∥BD，FG∥BD，
∴EH∥FG，
同理；EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
∵AC⊥BD，
∴EH⊥EF，
∴四边形EFGH是矩形．
所以顺次连接对角线相互垂直的四边形的各边中点是矩形．
故答案是：对角线相互垂直．
46．【解答】解：∵BD⊥CD，BD＝8，CD＝6，
∴BC=BD2+CD2=82+62=10．
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH＝FG=12AD，EF＝GH=12BC，
∴四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，
又∵AD＝7，
∴四边形EFGH的周长＝7+10＝17．
故答案是：17．
三．解答题
47．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠DCE＝∠BCE，
∵CE＝CE，
∴△DCE≌△BCE（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AF，
∴∠CDF＝∠AFD，
∵△DCE≌△BCE，
∴∠CDF＝∠EBC，
∴∠AFD＝∠EBC．
48．【解答】证明：在Rt△ABC中，
∵∠ABC＝90°，D为AC的中点，
∴BD=12AC＝CD．
又∵BE∥AC，
∴四边形BECD为平行四边形．
∵BE＝BD，
∴四边形BECD为菱形．
49．【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC，
∴AF＝CF，AD＝CD，
∵AF∥BC，
∴∠FAD＝∠ECD，
又∵∠ADF＝∠CDE，
∴△ADF≌△CDE（ASA），
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AF＝CF，
∴平行四边形AECF是菱形．
（2）解：①由（1）可知，四边形AECF是菱形，
∴AF＝CE，AC⊥EF，
∵∠BAC＝90°，
∴AC⊥AB，
∴AB∥EF，
∵AF∥BC，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴AF＝BE，
∴CE＝BE，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴菱形AECF是正方形，
故答案为：正方；
②由①可知，四边形AEF是正方形，
∴CE＝CF＝2，∠ECF＝90°，
∴EF=2CF＝22，
由①可知，四边形ABEF是平行四边形，
∴AB＝EF=22，
故答案为：22．
50．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，
∴AO＝BO，
∵AE⊥BD，∠1＝∠2，
∴∠ABO＝∠AOB，
∴AB＝AO，
∴AO＝BO＝AB，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝120°；
（2）∵△ABO是等边三角形，
∴AB＝OB＝AO＝6cm，
∴AC＝12cm，
∴BC=AC2−AB2=144−36=63（cm），
∴矩形ABCD的面积＝AB×BC＝6×63=363（cm2）．
51．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DA∥CB，
∴∠EAF＝∠EBC，
∵点E是边AB的中点，
∴AE＝BE，
在△AEF和△BEC中，
∠EAF=∠ECBAE=BE∠AEF=∠BEC，
∴△AEF≌△BEC（ASA），
∴EF＝EC，
又∵AE＝BE，
∴四边形AFBC是平行四边形；
（2）解：当∠AEC的度数为100度时，四边形AFBC是矩形，
理由：∵四边形AFBC是矩形，
∴AB＝CF，
∴EC＝EB，
∴∠ECB＝∠EBC，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝50°，
∴∠D＝∠EBC＝50°，
∴∠ECB＝50°，
∴∠AEC＝∠ECB+∠EBC＝50°+50°＝100°，
故答案为：100．
52．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC=12AC，AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∵DE=12AC，
∴OC＝DE，
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵∠COD＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
（2）解：由（1）可知，OA＝DE，
∵DE∥AC，
∴四边形OADE是平行四边形，
∴OE＝AD＝6，
∵四边形OCED是矩形，
∴OF=12OE＝3．
53．【解答】（1）解：在正方形ABCD中，AB＝4．
∴AD＝BC＝DC＝AB＝4，∠B＝∠C＝∠D＝90°．
∵CF＝1．
∴DF＝DC﹣CF＝4﹣1＝3．
在Rt△ADF中，AF=AD2+DF2=42+32=5．
即AF的长为5．
（2）证明：在Rt△ABE中，BE＝2，AB＝4．
∴AE2＝AB2+BE2＝16+4＝20．
在Rt△EFC中，CE＝BC﹣BE＝4﹣2＝2，CF＝1．
∴EF2＝CE2+CF2＝4+1＝5．
由（1）得，AF2＝25．
∴AE2+EF2＝AF2．
∴△AEF是以AF为斜边的直角三角形．
∴∠AEF＝90°．
54．【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）证明：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD，
∴四边形BECD是菱形；
（3）解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，
理由：∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
由（2）可知，四边形BECD是菱形，
∴∠ABC＝∠CBE＝45°，
∴∠DBE＝90°，
∴四边形BECD是正方形．
55．【解答】（1）解：四边形EFGH为平行四边形，
理由如下：连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF=12AC，EF∥AC，GH=12AC，GH∥AC，
∴EF＝GH，EF∥GH，
∴四边形EFGH为平行四边形；
（2）解：当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形，
故答案为：AC⊥BD；
（3）证明：∵E、H分别是AB、DA的中点，
∴EH∥BD，
∴EF∥AC，EH∥BD，AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴平行四边形EFGH为矩形．
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