北师大版高中数学选择性必修第一册1-2-3直线与圆的位置关系课件

第一章内容索引自主预习 新知导学合作探究 释疑解惑自主预习 新知导学一、直线与圆的位置关系1.直线Ax+By+C=0(A,B不全为0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断表1-2-22.直线x-3y+1=0与圆x2+y2= 的位置关系是(　　).A.相离 B.相切C.相交且过圆心 D.相交但不过圆心解析:圆心(0,0)到直线x-3y+1=0的距离 ,故直线与圆相交,但不过圆心.答案:D二、圆的切线1.(1)经过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为 x0x+y0y=r2 .(2)经过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 .答案:C 合作探究 释疑解惑【例1】 若直线4x-3y+a=0与圆x2+y2=100有如下关系:(1)相交;(2)相切;(3)相离,试分别求实数a的取值范围.解法二:(代数法)得25x2+8ax+a2-900=0.Δ=(8a)2-4×25(a2-900)=-36a2+90 000.(1)当直线和圆相交时,Δ>0,即-36a2+90 000>0,解得-5050,即a的取值范围为(-∞,-50)∪(50,+∞).直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.(2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.(3)直线系法:若直线恒过定点,可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系.【例2】 过点M(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1引切线,求切线的方程.解:由于(2-1)2+(4+3)2=50>1,因此点M在圆外.当切线斜率存在时,设切线方程是y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0,因为直线与圆相切,故所求切线方程为24x-7y-20=0.当切线斜率不存在时,直线x=2与圆相切.综上所述,所求切线方程为24x-7y-20=0或x=2.在本例中,若所给点M的坐标是(1,-4),圆的方程不变,求切线方程.解:由于(1-1)2+(-4+3)2=1,因此点(1,-4)在圆上,圆心为点(1,-3),所以切线斜率为0,所以切线方程为y=-4,即y+4=0.求圆的切线方程的三种方法(1)几何法:设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,求出未知量.此种方程需要注意斜率不存在的情况,要单独验证,若符合题意,则直接写出切线方程.(2)代数法:设出切线方程后与圆的方程联立消元,利用判别式等于零,求出未知量.若消元后的方程为一元一次方程,则说明要求的切线中,有一条切线的斜率不存在,可直接写出切线方程.(3)设切点坐标:利用切线的性质求出切点坐标,再利用直线的两点式写出切线方程.【例3】 求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长. 解法二:设直线l与圆C的交点分别为点A,B.圆C的方程x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5,其圆心坐标为(0,1),半径2.若本例改为:直线l被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦AB恰被圆内的点M(1,2)平分,试求直线l的方程.解:由题意知,AB⊥CM,因为直线CM的斜率kCM=1,所以直线l的斜率kAB=-1,故直线l的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.求直线与圆相交所得弦长的两种方法 图1-2-3 图1-2-4 忽视斜率不存在致误【典例】 已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=4,直线l过点H(2,3)且与圆C交于A,B两点,且|AB|=2 ,求直线l的方程.错解:设直线l的方程为y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0.作CM⊥AB于点M,如图1-2-5.图1-2-5 提示:上述解法的错误在于漏掉了斜率不存在的情况,因考虑不全面造成 漏解.正解:当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0.作CM⊥AB于点M,如图1-2-6.图1-2-6 即3x-4y+6=0.当直线l的斜率不存在时,过点(2,3)的直线l的方程为x=2.圆心C(1,1)到此直线的距离为1,则可得该直线被圆C截得的弦长为2 ,符合题意.故直线l的方程为3x-4y+6=0或x=2.当直线斜率k待求时,最好画出草图用数形结合思想判断直线的条数,防止漏掉斜率不存在的情况.